精品解析：安徽2025-2026学年高一上学期2月初期末质量检测数学（北师大版）试题

2025级高一上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 10 B. C. e D. 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对名学生进行抽样，先将名学生进行编号，，，……，，.从中抽取个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右依次选取三个数字读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 8. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C 与对立 D. 与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的40%分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 10. 下列说法正确是（ ） A. “”的否定是“” B. C. 若，且，则 D. 若，则有最大值 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意，总有，则称具有性质.下列说法正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则实数的取值范围为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 13. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 14. 已知实数满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求实数取值范围； （2）若只有1个整数，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且. （1）若函数的图象过点和，求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 18. 已知函数. （1）若，设，若关于方程在上有解，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. （1）甲第二次闯关获得奖品的概率； （2）乙获得奖品的概率； （3）求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再求出补集即可. 【详解】由题意得，集合，且，所以. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. 10 B. C. e D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出再求即可. 【详解】由题意得， 所以． 故选：D． 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对名学生进行抽样，先将名学生进行编号，，，……，，.从中抽取个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右依次选取三个数字读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据随机数表取样本编号，对超出样本编号范围、重复则剔除，进而可得所求样本编号. 【详解】因为从表中第5行第6列开始向右依次选取三个数字读取数据， 所以依次得样本编号为，，（舍去，不在样本编号范围内）， （舍去，不在样本编号范围内），（舍去，不在样本编号范围内），（重复，舍去），，， 所以得到的第3个样本编号为. 故选：C 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出大小关系. 【详解】由题意得，， 即， ， 所以． 故选：C． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】，由，得， 所以，充分性成立； 若，满足，但不满足，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 7. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 8. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的40%分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、百分位数、极差、标准差逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据从小到大为6，6，7，8，9，9，9，10， 由知40%分位数为8，故B错误； 对于C，这组数据极差是，故C正确； 对于D，这组数据的平均数是， 方差是， 所以这组数据的标准差是，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. C. 若，且，则 D. 若，则有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由命题的否定定义判断A选项；由基本不等式判断B选项；通过“巧用1”由基本不等式求得最小值判断C选项；由基本不等式建立不等式，解得的最值判断D选项. 【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，且只否定结论，则“”的否定是“”，故A错误； ，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故B正确； 因为，且，所以，且， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 由，得，又，所以， 设，则，解得， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D错误. 故选：BC. 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意，总有，则称具有性质.下列说法正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判断A;根据函数的值域可判断B，利用基本不等式结合可判断C;根据已知条件可得出,化简可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围,可判断D. 【详解】由为偶函数，得，故A正确； 若，则， 所以不存在实数，使得恒成立，故B错误； 当时，； 当时，，当且仅当， 即时，等号成立，故对任意恒成立， 所以具有性质，故C正确； ， 则.令，则，且， 所以为偶函数.当时，， 所以的值域为，所以，所以，又, 则,故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 13. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数定义得的值，及函数在上的单调性，从而知道及的解集，即可求得的解集. 【详解】由题意得，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当或时，. 不等式等价于或，解得或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 令，则， 因为在上单调递增， 所以，所以． 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若只有1个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得出，再根据交集分类计算求参数； （2）先得出补集，再根据交集计算求解. 【小问1详解】 由题意得，. 由，得 若，此时，解得； 若，此时，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）得，或， 若只有1个整数，则这个整数是5，所以， 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知函数，且. （1）若函数的图象过点和，求的解析式； （2）若函数在区间上最大值比最小值大，求的值. 【答案】（1） （2）或2. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组计算即可求解； （2）分，两种情况根据指数函数性质结合题意计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得， 则； 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减， 此时， 所以，解得或（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时， 所以，解得或（舍去）. 综上，的值为或2. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有直方图的面积之和为可求出的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本的平均数；设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，即可解出的值； （3）利用总体的平均数和方差公式可求得和的值. 【小问1详解】 由题意得，解得． 【小问2详解】 平均数为 设中位数为， 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以，则，解得，故中位数为75． 【小问3详解】 由题意得，成绩在有人，成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 18. 已知函数. （1）若，设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由得函数解析式，由题意得到方程，整理出关系式，由函数在的单调性，求得实数的取值范围. （2）整理函数解析式，讨论的取值，当时，由函数单调性得是否存在最小值，时由复合函数单调性得函数在定义域上的单调性，判断函数是否存在最小值，当时，借助基本不等式判断函数是否存在最小值.然后再令求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 则，即. 易得函数在上单调递减，则当时，， 即，故实数的取值范围是. 【小问2详解】 由题意得，， 当时，，在上单调递增，无最小值. 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则在上单调递增， 所以在上单调递增，无最小值. 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，令，解得. 综上，当时，存在最小值，且最小值小于. 19. 在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. （1）甲第二次闯关获得奖品的概率； （2）乙获得奖品的概率； （3）求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率. 【答案】（1） （2） （3）0.99 【解析】 【分析】（1）甲第二次闯关获得奖品意味着甲第一次闯关失败且第二次闯关成功．根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）乙获得奖品有两种情况：第一次闯关成功或者第一次闯关失败但第二次闯关成功．根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）“甲和乙两人中至少一人获得奖品”的对立事件是“甲和乙两人都没有获得奖品”．根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得． 【小问1详解】 设事件“甲第次闯关成功”，， 则． 甲第二次闯关获得奖品事件为且与相互独立， 所以甲第二次闯关获得奖品的概率为 ． 【小问2详解】 设事件“乙第次闯关成功”，，则. 设事件“乙获得奖品”，事件“乙未获得奖品”，则， 乙获得奖品的概率为 【小问3详解】 事件“甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”． 设事件“甲和乙两人中至少一人获得奖品”，则 ． 故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $