专题07 复数的概念12考点复习指南（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题07 复数的概念12考点复习指南 知识1：数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识2：复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 考点1 复数的分类及辨析 1．（2026高二·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 2．（2026高一·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 3．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 4．（2026高一·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，可得答案. 【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 考点2 已知复数的类型求参数 6．（2026高二·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 8．（2026高三·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 9．（2026高三·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 10．（2026高三·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在 【分析】（1）根据z为实数，得到，求出； （2）根据z为虚数，有且有意义，求出答案； （3）根据z为纯虚数，有，得到答案. 【详解】（1）z为实数时，有， 由得或6，由得， 综上，当时，z为实数； （2）z为虚数时，则有且有意义，解得且且， 所以当时，z为虚数； （3）z为纯虚数时，则有， 由得且，由得， 故不存在实数m使z为纯虚数. 考点3 复数的实部和虚部 11．（2026高三·山西吕梁·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用复数的基本概念即可求解. 【详解】根据复数的基本概念可得复数的虚部为. 故选：A． 12．（2026高三·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得复数的虚部为. 故答案为： 13．（2026高三·广东汕头·月考）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数实部、虚部的定义写出所求复数即可. 【详解】的虚部为的实部为， 所以所求复数为. 故选：A 14．（2026高二·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 15．（2026高二·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 16．（2026高三·上海宝山·月考）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，找到复数的虚部、实部，得到不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念列方程即可求解. 【详解】因为复数的实部、虚部互为相反数，所以，解得， 故的实部是． 故选：D. 考点4  复数比较大小问题 18．（2026高一·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 19．（2026高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再列式计算即得. 【详解】由只能是实数才能比较大小，得为实数，因此，解得， 所以. 故答案为：2 20．（2026高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据复数的概念，列出方程组，求得，进而验证，即可求解. 【详解】由题意知，可得，解得， 当时，可得，此时满足， 所以实数x的取值范围. 21．（2026高二·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. 【详解】（1）化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 （2）因为， 则，解得. 考点5 复数的相等 22．（2026高三·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 23．（2026高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 24．（2026高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意以及复数相等，建立方程组，可得答案. 【详解】由定义运算，得， 故有. 因为x，y为实数，所以有，得，得. 所以. 故答案为： 25．（2026高一·江苏盐城·期中）已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到关于的关系式，再根据的范围，结合二次函数图像与性质即可得解. 【详解】因为，，， 所以，消去，得， 则， 因为， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 所以. 故选：D. 考点6 复数的坐标表示 26．（2026高三·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先在复平面内找到对应的坐标,再利用复数的几何意义写出复数即可. 【详解】根据复数的几何意义，若，则在复平面内对应的点的坐标为. 依据已知显然的坐标为，所以. 故选：A. 27．（2026高三·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义易得． 【详解】因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 28．（2026高三·山东潍坊·开学考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，即可得答案. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以复数，则的虚部是4. 故选：C. 29．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 考点7判断复数对应的点所在的象限 30．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】直接根据复数的几何意义判断可得. 【详解】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 31．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的几何意义求出. 【详解】由题意得，，其在复平面内对应的点为，所以位于第二象限． 故选：B． 32．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 33．（2026高三·山东·月考）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数在复平面内对应的点来求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以， 则复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 考点8 根据复数对应的点特征求参数 34．（2026高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内的对应点在第三象限，列出相应不等式组求解即可． 【详解】若复数在复平面内的对应点在第三象限，则 ， 解得：， 故答案为：． 35．（2026高一·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 36．（2026高一·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 37．（2026高一·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 38．（2026高二·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 考点9 复数的向量表示 39．（2026高三·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 40．（2026高二·黑龙江·开学考试）在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．i D．－i 【答案】B 【分析】先表示出向量，，求出，然后可得答案. 【详解】由题知，，可得， 所以向量对应的复数为，其虚部为1． 故选：B． 41．（2026高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 42．（2026高一·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 43．【多选】（2026高一·广东清远·期末）在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再逐项判断即得. 【详解】依题意，向量， 对于A，点位于第二象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，向量对应的复数为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：AD 考点10 复数的模的计算 44．（2026·湖南湘潭·模拟预测） ． 【答案】 【分析】根据复数模的计算公式求解. 【详解】. 故答案为： 45．（2026高三·广西河池·期末）已知复数，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据复数模的定义计算可得. 【详解】复数，则, 故选：A. 46．（2026高三·云南曲靖·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的模计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 47．（陕西省商洛市2025-2026学年高三学期2月期末数学试题）已知，，为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数相等的意义列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：D 48．（2026高三·河北秦皇岛·月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义及复数模计算即可. 【详解】由复数的几何意义可知，， 所以，. 故选：A 考点11 由复数的模求参数 49．（2026高二·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 50．（2026·上海闵行·模拟预测）若复数的实部为1，虚部为正数，且，则 【答案】 【分析】根据复数的相关概念，以及复数的模长公式，建立方程，可得答案. 【详解】由复数的实部为1，虚部为正数，设，其中， 由，则，解得，所以. 故答案为： 51．（2026高二·广西崇左·期末）若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 52．（2026高三·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 53．（2026高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由复数的模转化为，再得解得. 【详解】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 54．（2026高一·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 考点12 复数的模的几何意义 55．（2026高二·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    56．（2026高二·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 57．（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】设，利用模的几何意义求解即可. 【详解】设，由的几何意义知， z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即， 因为的几何意义为点到坐标原点的距离， 所以. 故答案为：3. 58．（2026高三·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求解判断. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 59．（2026高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】先根据复数z的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】设复数，因为，可得，即， 所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 对于复数，则表示点到点的距离， 因点到原点的距离为， 由图可知，点到点的距离最小值为，也即． 故选：B．    60．（2026高一·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 61．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 【答案】原点为圆心，半径为3的圆及其内部 【分析】设，依题意得，进而得到答案. 【详解】设，则， 所以，即， 所以复数在复平面内的点的集合组成的图形是原点为圆心，半径为3的圆及其内部， 故答案为：原点为圆心，半径为3的圆及其内部 62．（2026高二·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程. 【详解】, , 即， 所以的轨迹方程为. 故选：D 63．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题07 复数的概念12考点复习指南 知识1：数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识2：复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 考点1 复数的分类及辨析 1．（2026高二·河南·开学考试）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026高一·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 4．（2026高一·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 考点2 已知复数的类型求参数 6．（2026高二·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026高三·江西南昌·期中）已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 9．（2026高三·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 考点3 复数的实部和虚部 11．（2026高三·山西吕梁·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为 . 13．（2026高三·广东汕头·月考）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·湖南·期中）已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 15．（2026高二·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 16．（2026高三·上海宝山·月考）已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 17．（2026高三·全国·专题练习）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（    ） A． B． C． D． 考点4  复数比较大小问题 18．（2026高一·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 19．（2026高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 20．（2026高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 21．（2026高二·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 考点5 复数的相等 22．（2026高三·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 23．（2026高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有 组. 24．（2026高一·全国·专题练习）定义运算，如果，则的值为 ． 25．（2026高一·江苏盐城·期中）已知复数，，，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点6 复数的坐标表示 26．（2026高三·贵州遵义·期末）如图，复数在复平面内对应的点为，则（   ）    A． B． C．1 D． 27．（2026高三·广东·学业考试）已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高三·山东潍坊·开学考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 29．（2026高三·全国·专题练习）四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 考点7判断复数对应的点所在的象限 30．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（2026·云南红河·模拟预测）设复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．（2026高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．（2026高三·山东·月考）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点8 根据复数对应的点特征求参数 34．（2026高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ． 35．（2026高一·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 36．（2026高一·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高一·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 38．（2026高二·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 考点9 复数的向量表示 39．（2026高三·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 40．（2026高二·黑龙江·开学考试）在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．i D．－i 41．（2026高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 42．（2026高一·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 43．【多选】（2026高一·广东清远·期末）在复平面内，为坐标原点，已知向量对应的复数分别为，则以下正确的是（    ） A．点位于第二象限 B． C．向量对应的复数为 D． 考点10 复数的模的计算 44．（2026·湖南湘潭·模拟预测） ． 45．（2026高三·广西河池·期末）已知复数，则（   ） A． B． C．4 D．5 46．（2026高三·云南曲靖·期末）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．2 47．（陕西省商洛市2025-2026学年高三学期2月期末数学试题）已知，，为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 48．（2026高三·河北秦皇岛·月考）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 考点11 由复数的模求参数 49．（2026高二·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 50．（2026·上海闵行·模拟预测）若复数的实部为1，虚部为正数，且，则 51．（2026高二·广西崇左·期末）若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 52．（2026高三·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 53．（2026高一·全国·专题练习）若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 . 54．（2026高一·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点12 复数的模的几何意义 55．（2026高二·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 56．（2026高二·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是 . 57．（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 58．（2026高三·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（2026高三·山东·开学考试）已知复数z满足， 则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．2 60．（2026高一·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 61．（2026高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 62．（2026高二·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 63．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $