精品解析：山西省运城市2025-2026学年九年级下学期2月期末数学试题

2025~2026学年第一学期期末九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 2. 如图中可看作是新绛澄泥砚（圆形款）的主视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 5. 已知在不透明袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有个，黑球有个．若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 抛物线向下平移2个单位再向右平移1个单位后的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一单摆模型，摆长为，小球左右摆动的角度均为，忽略空气阻力，小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的顶点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数自变量x与函数y部分对应值如下表． … 0 3 5 … … 7 0 7 … 下列说法错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 时，y随x的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 此函数有最小值 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为______. 12. 如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 13. 如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强，在第______________分钟时，学生接受能力最强. 15. 如图，在正方形中，，E为上一点，连接与对角线交于点G．以为腰作等腰直角三角形，底边与交于点H．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某学校要从以下的4个博物馆：A．八路军太行纪念馆，B．山西吕梁山革命博物馆，C．大同市大泉山东方红博物馆，D．彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆，随机挑选2个博物馆安排研学活动，每个博物馆都有人工讲解和智能导览器租赁讲解两种不同的讲解服务． （1）请用画树状图或列表的方法求选中的2个博物馆恰好是A和B的概率． （2）选中的2个博物馆中，每个博物馆随机选择1种讲解服务进行讲解，恰好选中是同一种讲解服务的概率是______． 18. 一次函数与反比例函数图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点A的坐标． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）在x轴上有一动点P，连接，，当面积为18时，直接写出点P的坐标． 19. 太原古城，尤其是明太原府城，有许多具有悠久历史的城门，下面是首义门复建后的图片．某校数学兴趣小组要测量首义门的高度，如图，他们在点A处测得首义门的最高点C的仰角为，再往前进至点B处，测得首义门的最高点C的仰角为，根据这个兴趣小组测得的数据，计算首义门的高度．（测量工具的高度忽略不计．结果精确到，参考数据：，，．） 20. 元旦期间，某水果店批发了一批水果，其中砂糖橘以每斤5元的价格购进，为了了解顾客的需求，零售一周后发现：当售价定为每斤12元时，平均每天可销售80斤，售价每降低1元，日销售量就会增加20斤．店主希望在不考虑其他成本的情况下，通过降低售价实现利润最大化． （1）当售价定为每斤多少元时，日总利润最大？最大日总利润是多少元？ （2）为了让顾客更实惠，若店主希望日总利润达到480元，售价应定为每斤多少元？ 21. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 妙构平行线巧转线段比 在数学学习中，“平行线分线段成比例”是解决几何问题的重要工具．通过构造平行线，可以实现线段比例关系的巧妙转移，从而沟通已知条件与未知结论． 材料一：比例转移，破解难题 问题：如图1，在中，点D在边上，点E在边上，且，，连接，，交于点F，求的值． 分析：直接求解较为困难．我们可以尝试构造平行线，将已知比和“转移”到含有和图形中，建立已知与未知的桥梁． 解法展示：如图2，过点A作，交的延长线于点M． ∵， ∴． ∵， ∴，即． …… 材料二：原理应用，设计工具 小华同学运用“比例转移”的思想，设计了一个能快速找到线段黄金分割点的工具“黄金分割尺”． 1．工具构造（如图3）： 用螺钉固定两根等长木条，的端点A，可自由调整．在，上分别刻有黄金分割点D，E，且使得．在点D处钉一个与等长的木条，在点E处钉一根与等长的木条，H钉在上，使得，则四边形是菱形． 2．使用方法： 当需要找到一条线段的黄金分割点时，只需调整尺子夹角，使点B，C分别与被测线段的两个端点重合．在滑动尺臂，的过程中，由于点B，F，C三点始终在同一直线上，所以点F为被测线段的黄金分割点． 任务： （1）完善推理：请补全材料一中“解法展示”完整过程． （2）解释原理：请证明点F是线段的黄金分割点． （3）动手实践：如图4，已知线段及线段外一点C，作直线交于点P，将线段分为两部分且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 问题情境：蹦床运动员的腾空运动路线可近似看作抛物线．某蹦床训练馆的教练团队正在研究运动员的弹跳轨迹．已知训练用蹦床的网面长度为5米．网面受压力会凹陷，回弹时将运动员斜向上弹出，运动员最终落点在网面上．（落点指运动员腾空落下时刚好接触网面的点） 训练数据：运动员从低于网面原始水平面米的位置（起跳点）被弹起，腾空后达到的最高点，比原始水平面高2米（铅直高度），最高点与起跳点之间的水平距离为米，最终运动员落点在网面上． 数学建模：如图，将运动员腾空后的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线，运动员的起跳点记为P，落点为M．以过起跳点P作网面原始水平面的垂线为y轴（向上为正方向），垂足O为坐标原点．所在直线为x轴（向右为正方向），建立平面直角坐标系．（图中各点均在同一竖直平面内） （1）请直接写出点P和点N的坐标，并求出该抛物线的函数表达式． 问题解决：已知运动员腾空后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变，同时对称轴也未改变． （2）假设该运动员再次训练时，从低于网面原始水平面米的点Q处（起跳点）被弹起，落点为A，点A在x轴的正半轴上．求此次训练中，落点A与起跳点之间的水平距离的长．（结果精确到米，参考数据：） 23. 综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末九年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，正确掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数 的图象和性质，逐一判断即可求解． 【详解】解：反比例函数 中，， 函数图象在第一、三象限，故选项A正确；选项B错误； 又， 在每个象限内， 随 的增大而减小，故选项D错误； 但选项C未限定“在每个象限内”，因此表述不准确，故选项C错误． 故选：A． 2. 如图中可看作是新绛澄泥砚（圆形款）的主视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的主视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征，从正面观察几何体即可得到它的主视图． 【详解】解：该图形的主视图是 故选：C． 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．设，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据已知，求得的值，即可求解． 【详解】解：设 ∵矩形的对角线交于点，， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得： 即 故选：A． 4. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，核心是二次函数的判别式．当二次函数的图象与轴只有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式． 【详解】解：二次函数对应的一元二次方程为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴，解得． 故选：D． 5. 已知在不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有个，黑球有个．若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，关键是根据简单概率公式列方程求解.利用大量重复试验中频率稳定值估计概率，再结合概率公式列方程计算的值． 【详解】解：经过大量重复试验，摸出黑球的频率稳定在附近 摸出黑球的概率为 又袋中白球有个，黑球有个，总球数为个 根据概率公式可得 解得 故选：C． 6. 抛物线向下平移2个单位再向右平移1个单位后的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则求解即可，解题的关键是掌握二次函数图象平移的规律． 【详解】抛物线向下平移2个单位得， 再向右平移1个单位后得， 故选：． 7. 如图为一单摆模型，摆长为，小球左右摆动的角度均为，忽略空气阻力，小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，先理解题意，证明是等腰直角三角形，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵摆长为，小球左右摆动的角度均为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小球摆动到最高点时与最低点的竖直高度差为， 故选：D． 8. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果． 【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步， ∴x(60-x)=864， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 9. 如图所示的顶点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，正弦的定义，令每个小正方形格点的边长为，由勾股定理可得，，利用割补法求出的面积为，作交于点，求出，再由正弦的定义计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令每个小正方形格点边长为， 由勾股定理可得：，， 的面积为， 如图，作交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的自变量x与函数y部分对应值如下表． … 0 3 5 … … 7 0 7 … 下列说法错误的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 时，y随x的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 此函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，可先利用表格中对称的点求出二次函数的对称轴，再结合二次函数的开口方向与性质，逐一判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴这两个点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线，故选项A正确； ∵由表格数据可知，二次函数开口向上（离对称轴越远，函数值越大）， ∴当时，随的增大而增大，且函数有最小值，故选项B、D正确； ∵顶点在对称轴上，而点的横坐标为， ∴顶点坐标不是，故选项C错误； 故选：C． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B．以为边作平行四边形，其中C，D在x轴上，则四边形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数的几何意义，连接、，由平行四边形的性质可得，，再结合反比例函数的的几何意义得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点B． ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，运用相似三角形的判定与性质证明，再运用相似三角形的性质可得出结论． 【详解】解：依题意，灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米， ∴，即 解得： 故答案为：． 14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强，在第______________分钟时，学生接受能力最强. 【答案】13 【解析】 【详解】试题解析：∵−0.1<0， ∴函数开口向下，有最大值， 根据二次函数的性质,当时，y最大， 即在第13分钟时，学生接受能力最强. 故答案为13. 15. 如图，在正方形中，，E为上一点，连接与对角线交于点G．以为腰作等腰直角三角形，底边与交于点H．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点H作于点M，根据等腰直角三角形与正方形的性质，判定，分别求出的长度，再判定为等腰直角三角形，从而证明，得出，求出的长，利用勾股定理求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，过点H作于点M， 为等腰直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 等腰直角三角形， ， ， 点位于一条直线上， ，， ， 即, ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，准确作出辅助线构建全等与相似三角形为解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得，， 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得，， 17. 某学校要从以下的4个博物馆：A．八路军太行纪念馆，B．山西吕梁山革命博物馆，C．大同市大泉山东方红博物馆，D．彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆，随机挑选2个博物馆安排研学活动，每个博物馆都有人工讲解和智能导览器租赁讲解两种不同的讲解服务． （1）请用画树状图或列表的方法求选中的2个博物馆恰好是A和B的概率． （2）选中的2个博物馆中，每个博物馆随机选择1种讲解服务进行讲解，恰好选中是同一种讲解服务的概率是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表可得： A B C D A B C D 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中选中的2个博物馆恰好是A和B的情况有种， 故选中的2个博物馆恰好是A和B的概率； 【小问2详解】 解：记人工讲解和智能导览器租赁讲解分别为和， 列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好选中是同一种讲解服务的情况有种， 故恰好选中是同一种讲解服务的概率是． 18. 一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点A的坐标． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）在x轴上有一动点P，连接，，当面积为18时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点代入一次函数，求出，即可得出，再将代入反比例函数的解析式，计算即可得出结果； （2）根据函数图象即可得出结果； （3）令直线交轴于点，求出，，设，则，再结合计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数可得， 解得， ∴， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， 将代入一次函数可得：， ∴， ∴， 设，则， ∵，且面积为18， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 19. 太原古城，尤其是明太原府城，有许多具有悠久历史的城门，下面是首义门复建后的图片．某校数学兴趣小组要测量首义门的高度，如图，他们在点A处测得首义门的最高点C的仰角为，再往前进至点B处，测得首义门的最高点C的仰角为，根据这个兴趣小组测得的数据，计算首义门的高度．（测量工具的高度忽略不计．结果精确到，参考数据：，，．） 【答案】首义门的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先理解题意，得，，，，设，则，又结合，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，，，， 设，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 解得． 答：首义门的高度约为． 20. 元旦期间，某水果店批发了一批水果，其中砂糖橘以每斤5元的价格购进，为了了解顾客的需求，零售一周后发现：当售价定为每斤12元时，平均每天可销售80斤，售价每降低1元，日销售量就会增加20斤．店主希望在不考虑其他成本的情况下，通过降低售价实现利润最大化． （1）当售价定为每斤多少元时，日总利润最大？最大日总利润是多少元？ （2）为了让顾客更实惠，若店主希望日总利润达到480元，售价应定为每斤多少元？ 【答案】（1）当售价定为每斤元时，日总利润最大，最大日总利润为605元 （2）当日总利润为480元时，售价应定为每斤8元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设售价为每斤x元，日总利润为y元．根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设售价为每斤x元，日总利润为y元． 则： ∵，开口向下 ∴y有最大值 ∴当时，． 答：当售价定为每斤元时，日总利润最大，最大日总利润为605元． 【小问2详解】 解：当时，代入 得： 解，得：，（舍去） 答：当日总利润为480元时，售价应定为每斤8元． 21. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 妙构平行线巧转线段比 在数学学习中，“平行线分线段成比例”是解决几何问题的重要工具．通过构造平行线，可以实现线段比例关系的巧妙转移，从而沟通已知条件与未知结论． 材料一：比例转移，破解难题 问题：如图1，在中，点D在边上，点E在边上，且，，连接，，交于点F，求的值． 分析：直接求解较为困难．我们可以尝试构造平行线，将已知比和“转移”到含有和的图形中，建立已知与未知的桥梁． 解法展示：如图2，过点A作，交的延长线于点M． ∵， ∴． ∵， ∴，即． …… 材料二：原理应用，设计工具 小华同学运用“比例转移”的思想，设计了一个能快速找到线段黄金分割点的工具“黄金分割尺”． 1．工具构造（如图3）： 用螺钉固定两根等长的木条，的端点A，可自由调整．在，上分别刻有黄金分割点D，E，且使得．在点D处钉一个与等长的木条，在点E处钉一根与等长的木条，H钉在上，使得，则四边形是菱形． 2．使用方法： 当需要找到一条线段的黄金分割点时，只需调整尺子夹角，使点B，C分别与被测线段的两个端点重合．在滑动尺臂，的过程中，由于点B，F，C三点始终在同一直线上，所以点F为被测线段的黄金分割点． 任务： （1）完善推理：请补全材料一中“解法展示”完整过程． （2）解释原理：请证明点F是线段的黄金分割点． （3）动手实践：如图4，已知线段及线段外一点C，作直线交于点P，将线段分为两部分且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）过程见解析； （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，菱形的性质，黄金分割，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行线分线段成比例得到，，设，则，表示出，然后得到，进而求解即可； （2）首先得到，推出，，然后结合证明即可； （3）作射线，以点C为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，以点D为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接，过点P作交于点P，连接即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴点F是的黄金分割点； 【小问3详解】 解：如图，即为所求作的直线． 证明：由作图得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境：蹦床运动员的腾空运动路线可近似看作抛物线．某蹦床训练馆的教练团队正在研究运动员的弹跳轨迹．已知训练用蹦床的网面长度为5米．网面受压力会凹陷，回弹时将运动员斜向上弹出，运动员最终落点在网面上．（落点指运动员腾空落下时刚好接触网面的点） 训练数据：运动员从低于网面原始水平面米的位置（起跳点）被弹起，腾空后达到的最高点，比原始水平面高2米（铅直高度），最高点与起跳点之间的水平距离为米，最终运动员落点在网面上． 数学建模：如图，将运动员腾空后的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线，运动员的起跳点记为P，落点为M．以过起跳点P作网面原始水平面的垂线为y轴（向上为正方向），垂足O为坐标原点．所在直线为x轴（向右为正方向），建立平面直角坐标系．（图中各点均在同一竖直平面内） （1）请直接写出点P和点N的坐标，并求出该抛物线的函数表达式． 问题解决：已知运动员腾空后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变，同时对称轴也未改变． （2）假设该运动员再次训练时，从低于网面原始水平面米的点Q处（起跳点）被弹起，落点为A，点A在x轴的正半轴上．求此次训练中，落点A与起跳点之间的水平距离的长．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】（1）点P的坐标为，点N的坐标为，；（2）此次训练中，落点A与起跳点之间的水平距离的长约为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出点P的坐标为，顶点N的坐标为，则求出，即可作答． （2）理解题意，得出向上平移个单位长度得出，当时，，解方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵运动员从低于网面原始水平面米的位置（起跳点）被弹起，运动员的起跳点记为P， ∴点P的坐标为， ∵比原始水平面高2米（铅直高度），最高点与起跳点之间的水平距离为米，顶点为N， ∴顶点N的坐标为， ∴设抛物线的表达式为， ∴将点代入，得， 解，得：． ∴抛物线的函数表达式为：， 即． （2）由题意得：过点Q的抛物线是由（1）中的抛物线向上平移得到的， ∵，点P坐标为， ∴向上平移个单位长度， ∴ 整理得． 依题意，当时，， 解得：， ，（不符合题意，舍去） 即此次训练中，落点A与起跳点之间的水平距离的长约为米． 23. 综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $