重难专题 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　向量数量积的坐标表示　利用数量积计算长度与角度 一、必备知识基础 1.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(　　) A.- B. C.- D. 2.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　) A. B.2 C.4 D.12 3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 4.(2025四川成都高一模拟预测)已知向量a=(2,m-1),b=(m,),若|a|=|b|,则实数m=(　　) A.-1 B.- C.-或1 D.-1或 5.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　.  6.已知三点A(1,2),B(0,1),C(-2,5),则△ABC的形状为　　　　　三角形. 7.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). (1)求及||; (2)设实数t满足(-t)⊥,求t的值. 二、关键能力提升 8.(多选)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值可能为(　　) A.- B. C. D. 9.(2025安徽合肥高一期末)已知=(2,4),=(m,2),=(n,0),且A,B,C三点共线,则||的最小值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 10.已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为坐标原点,则的最小值为　　　. 11.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||=　　　　　;=　　　　　. 12.已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点). (1)求使取得最小值时点C的坐标; (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. 13.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4). (1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值; (2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值. 三、学科素养创新 14.(多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c.下列说法正确的是(　　) A.<a,b>为钝角 B.a在b方向上的投影数量为 C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 15.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且=0. (1)求实数λ的值与点P的坐标; (2)求点Q的坐标; (3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·()的取值范围. 参考答案 1.A　由a=(-3,2),b=(-1,0), 知λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2). 又λa+b与a-2b垂直,∴(λa+b)·(a-2b)=0, ∴3λ+1+4λ=0,∴λ=-. 2.B　∵a=(2,0),|b|=1,<a,b>=60°, ∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|==2. 3.C　因为=(1,t-3), 所以||==1,解得t=3, 所以=(1,0),所以=2×1+3×0=2. 4.D　由|a|=|b|,得a2=b2, 因为a=(2,m-1),b=(m,), 所以4+(m-1)2=6m2+2,化简得5m2+2m-3=0, 解得m=-1或m=.故选D. 5.5　∵a⊥b,∴a·b=0. 又a=(1,-1),b=(m+1,2m-4), ∴1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5. 6.直角　=(-1,-1),=(-3,3),=(-2,4),||≠||≠||,显然=(-1)×(-3)+(-1)×3=0,∴,∴△ABC为直角三角形. 7.解 (1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1), ∴=(-3,-1),=(1,-5), ∴=(-3)×1+(-1)×(-5)=2, =(-2,-6), ∴||==2. (2)=(2,-1),∴-t=(-3-2t,-1+t), ∵(-t)⊥,∴(-t)·=0, ∴(-3-2t)×2+(-1+t)×(-1)=0,∴t=-1. 8.ABC　∵=(2,3),=(1,k), ∴=(-1,k-3). 若A=90°,则=2×1+3×k=0,∴k=-; 若B=90°,则=2×(-1)+3(k-3)=0, ∴k=; 若C=90°,则=1×(-1)+k(k-3)=0, ∴k=.故所求k的值为-. 9.C　∵=(2,4),=(m,2),=(n,0), ∴=(m-2,-2),=(n-2,-4), 又A,B,C三点共线,∴,-4(m-2)+2(n-2)=0, ∴n=2m-2,∴=(m+n,2),又n=2m-2, ∴||=≥2,当m=时取等号,即||的最小值为2.故选C. 10.2　已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点, 则·()=4+2cos θ, 又cos θ∈[-1,1],则∈[2,6], 即的最小值为2. 11.　-1　 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2), ∴=(2,0),=(2,2), ∴)=(2,1), ∴P(2,1),∴=(-2,1),=(0,-1), ∴||==0×(-2)+(-1)×1=-1. 12.解 (1)∵点C是直线OP上的一点, ∴向量共线, 设=t(t∈R),则=(2t,t),∴=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t), ∴=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8. ∴当t=2时,取得最小值,此时=(4,2), ∴C(4,2). (2)由(1)知=(-3,5),=(1,-1), ∴||=,||==-3-5=-8. ∴cos∠ACB==-. 13.解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4), 所以3a-b=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10), a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2). 因为(3a-b)∥(a+kb), 所以-10(3k+1)=0,解得k=-. (2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t),因为(a-tb)⊥b,所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=-. 14.CD　对于A,a·b=2-1=1>0,则<a,b>为锐角,故A不正确;对于B,a在b方向上的投影数量为,故B不正确;对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),则2m+n=4,故C正确;对于D,mn=·(2m)·n≤)2=2,当且仅当2m=n,即m=1,n=2时等号成立,故D正确.故选CD. 15.解(1)设P(14,y),则=(14,y),=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y), 解得λ=-,y=-7,∴点P的坐标为(14,-7). (2)设Q(a,b),则=(a,b), 由(1)得=(12,-16),∵=0, ∴12a-16b=0,即3a-4b=0. ① ∵点Q在边AB上,∴, 又=(4,-12),=(a-2,b-9), ∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0. ② 联立①②,解得a=4,b=3,∴点Q坐标为(4,3). (3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点, ∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1, 则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),∴=(8-8t,6-6t), ∴·()=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50(0≤t≤1), 当t=0或1时,上式取得最大值0; 当t=时,上式取得最小值-.故·()的取值范围为[-,0]. 学科网（北京）股份有限公司 $