精品解析：北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为直线经过，两点，由斜率公式得， 所以直线的斜率为. 故选：B. 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知数列是公差为的等差数列，则，再代入计算即可． 【详解】，， 数列是公差为的等差数列， ， ． 故选：C． 3. 已知双曲线（）的一条渐近线的方程为，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的定义，可得其中一条渐近线的方程为，则． 【详解】已知双曲线， 则双曲线焦点在轴上，， 其中一条渐近线的方程为， 解得． 故选：C． 4. 已知向量，，则为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 5. 已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件用表示出，再借助向量加法法则即可得解. 【详解】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示， =，=，=，因=，N为BC中点，则，， 于是得. 故选：C 6. 已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由知点P的轨迹方程是以 AB 为直径的圆，将问题等价于圆与圆：有公共点即可求解. 【详解】因为，所以， 因此点 P 必在以 AB 为直径的圆上，圆心为，半径为 ， 因为圆：圆心为 ，半径为， 所以两圆的圆心距为 问题等价于圆与圆：有公共点， 所以，即，解得. 则的最小值为2. 故选：B. 7. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法证明即可得. 【详解】若为递增数列， 当，且时，有， 此时为递增数列，当对任意,， 故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件； 若存在正整数，当时，， 此时， ，故，， 假设存在，使得，则有， 则，又且，故， 则当时，，与条件矛盾， 故不存在，使，即在上恒成立， 即，又，，故， 即对任意的，， 即为递增数列， 故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件； 综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得的方程，分别与渐近线的方程，联立方程组，求得的坐标，结合是的中点，列出方程，求得，进而求得双曲线的离心率为. 【详解】过焦点作双曲线的渐近线的垂线， 可得垂线的斜率为，所以的方程为， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，即， 因为是的中点，可得，整理得， 又因为，可得，所以，所以， 则，即双曲线的离心率为. 故选：D. 9. 现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架，将顶点固定，带滑槽的直杆的一个端点为，点处的铰链在直杆的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆一端固定在点处（可绕旋转），另一端连接点处的铰链，.与交点处有一个栓子（可在带滑槽的直杆上滑动），转动直杆的过程中，点处笔尖画出的曲线记为.以中点为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可得，结合椭圆定义得出即可得出椭圆方程. 【详解】因为为菱形，则为线段的垂直平分线，故， 所以， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可得，即，所以 所以曲线的方程为. 故选：A. 10. 如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 对于任意点， C. 存在点，使得平面 D. 对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【详解】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系， 设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知两直线：和：，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直的结论列式即可. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 12. 已知数列的前项和为，且满足，，则______ 【答案】1 【解析】 【分析】利用已知的递推公式，从开始，依次求出、最后得到. 【详解】已知，所以; 当时：，； 当时：，； 当时：. 故答案为：1 13. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：借助体积法求点到平面的距离. 方法二：利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】方法一：首先. 设到平面的距离为，则. 又为等边三角形，边长为，所以， 所以. 故答案为： 方法二：设平面的法向量为. 因为，， 由，取 在投影为：.即为点到平面的距离. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，则点到准线的距离为______，过点作倾斜角为锐角的直线，直线与抛物线交于不同的两点，，过点作直线的垂线交准线于点，若，则直线的倾斜角为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出即可；过点作垂直准线，根据抛物线的定义以及条件可得，即可求出，再利用垂直关系即可. 【详解】，则， 故点到准线的距离为； 过点作垂直准线，垂足为，则由抛物线的定义可知，， 因为，所以，则， 因为，所以直线的倾斜角为. 故答案为：； 15. 平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论. ①曲线关于轴对称； ②面积的最大值为； ③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上； ④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由对称点与的关系判断①；由面积公式得出为直角时面积取到，结合曲线的定义以及勾股定理验证即可判断②；由双曲线定义以及勾股定理验证是否符合曲线的定义判断③；由曲线C的定义，设，列出方程，放缩得到的范围。结合椭圆E的范围来判断④. 【详解】①设与关于轴对称，则，， 则，则在曲线上， 则曲线关于轴对称，①正确； ②， 若为直角，则 则， 当时，无解，故②错误； ③当时，双曲线即，交点为，，实轴长为， 则， 若，则， 则， 则点在曲线上，③正确； ④当时，设，则， 由于，则， 同理，则， 由于，则点在椭圆内部， 则曲线在椭圆内部，曲线所围成的图形面积小于椭圆所围成的图形面积， ④正确； 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用等差、等比数列的通项公式将数据代入，联立方程组即可求出答案； （2）利用分组求和法即可求出答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； 【小问2详解】 . 17. 已知圆心为的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，求解半径，即可得解， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的半径为， 则圆心到直线的距离， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由可得圆心C到直线的距离为. 则圆心到直线的距离为，解得或. 18. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点. 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程； （2）设出直线方程，与抛物线联立，得到，，进而得到，即，故三点共线． 【小问1详解】 解：将代入可得，解得， 所以抛物线C的方程为，准线方程为； 【小问2详解】 证明：由题得，设直线方程为， 设，则， 联立方程，可得， 则，， ， ，即， ，即三点共线， 故直线经过原点． 19. 如图，在直四棱柱中，，，，为棱的中点.再从下列三个条件中选择一个作为已知，完成以下问题的解答. 条件①：； 条件②：； 条件③：直线与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可； （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，再建立方程求解判断即可． 【小问1详解】 证明：选择条件①： 在直四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 设中点为，连接， ，，， ，则四边形为平行四边形， ， ，， ，， 平面， 平面，又平面， ， ， 又平面， 平面； 选择条件②： 同①可证， 又平面， 所以平面， 选择条件③：连接， 在直四棱柱中，平面， 就是直线与平面所成角， ，解得， ，即， 又，， 又平面， 平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 解得或（舍去），即， 所以，存在，． 20. 已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、、即可得解； （2）设，，，表示出直线、、的方程，联立直线与直线的方程，求出，最后根据计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，，， 可得，即，则， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理得， 即，即， 所以，所以， 又， 所以与的面积之比为. 21. 设为正整数，将正整数1，2，3，…，（）按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，的一个排列，，…，.如果时，有（，，2，…，），则称是排列，，…，的一个“逆序对”，排列，，…，中所有逆序对的个数称为其“逆序数”.记为1，2，3，…，的所有排列中“逆序数”为的排列的个数. （1）当时，写出“逆序数”为2的所有排列（直接写出结论）； （2）当时，求的表达式（用表示）； （3）证明：在1，2，3，…，的所有排列中，恰有种不同的排列的“逆序数”能被整除. 注：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据逆序数的定义，对 的所有 6 种排列（ ）逐一分析逆序对的个数，找出逆序对个数为 2 的排列. （2）先分类讨论：考虑 在排列中的位置，将 放在 的某个排列的最后或倒数第二、三个位置，分别分析这三种情况下前面 个数的逆序数情况，得到递推关系，累加即可求. （3）由数学归纳法，结合递推公式来证明即可. 【小问1详解】 逆序数为 2 的所有排列为 . 【小问2详解】 将放在 的某个排列的最后，逆序数不变， 将放在 的某个排列的倒数第2位，则与最后一位构成逆序对，逆序数增加， 将放在的某个排列的倒数第3位，则与最后2位分别构成逆序对，逆序数增加， 则， 由于（完全正序），（交换相邻两数）， 则, 则， … ， 累加可得 ， 所以 【小问3详解】 记 为 的排列中逆序数能被整除的排列个数，要证： ①当时，排列只有，逆序数为0 ,，结论成立， ②假设当时结论成立，即， ③下证：时结论成立， 对于的某个排列，将插入到第项，则与后面项形成新的逆序对，逆序数增加， 则， 对满足能被整除的所有求和： ， 令，则即， 对任意一个元排列，其逆序数为 ， 当 时，除的余数取遍 ， 则恰有一个 使得 被整除， 即每个元排列恰对应一个满足条件的 元排列， 故， 由数学归纳法，对任意正整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知数列满足，（），则（ ） A. B. 9 C. 11 D. 13 3. 已知双曲线（）的一条渐近线的方程为，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知向量，，则为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 7. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架，将顶点固定，带滑槽的直杆的一个端点为，点处的铰链在直杆的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆一端固定在点处（可绕旋转），另一端连接点处的铰链，.与交点处有一个栓子（可在带滑槽的直杆上滑动），转动直杆的过程中，点处笔尖画出的曲线记为.以中点为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 对于任意点， C. 存在点，使得平面 D. 对于任意点，都是锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知两直线：和：，若，则______ 12. 已知数列的前项和为，且满足，，则______ 13. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 14. 已知抛物线的焦点为，则点到准线的距离为______，过点作倾斜角为锐角的直线，直线与抛物线交于不同的两点，，过点作直线的垂线交准线于点，若，则直线的倾斜角为______ 15. 平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论. ①曲线关于轴对称； ②面积的最大值为； ③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上； ④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知圆心为的圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当时，求的值. 18. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点作准线的垂线，垂足为，求证：直线经过原点. 19. 如图，在直四棱柱中，，，，为棱的中点.再从下列三个条件中选择一个作为已知，完成以下问题的解答. 条件①：； 条件②：； 条件③：直线与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 21. 设为正整数，将正整数1，2，3，…，（）按一定顺序排成一列称为1，2，3，…，的一个排列，，…，.如果时，有（，，2，…，），则称是排列，，…，的一个“逆序对”，排列，，…，中所有逆序对的个数称为其“逆序数”.记为1，2，3，…，的所有排列中“逆序数”为的排列的个数. （1）当时，写出“逆序数”为2的所有排列（直接写出结论）； （2）当时，求的表达式（用表示）； （3）证明：在1，2，3，…，的所有排列中，恰有种不同的排列的“逆序数”能被整除. 注：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $