统计与成对数据的统计分析课件-2026届高三数学二轮复习

统计与成对数据分析 微点1 众数、中位数、平均数、百分位数 例1（1）（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]有一组样本数据， ， ，，其中是最小值， 是最大值，则( ) A.，，，的平均数等于，， ， 的平均数 B.，，，的中位数等于，， ， 的中位数 C.，，，的标准差不小于，， ， 的标准差 D.，，，的极差不大于，， ， 的极差 √ √ 考 法 探 析·明 规 律 2 [解析] 对于A，这一组样本数据可取1，2，2，2，2，4，则2，2，2， 2的平均数不等于1，2，2，2，2，4的平均数，故A错误； 对于B，不妨设，则，，，的中位数为 ，而,,,,,的中位数也为 ，故B正确； 对于C，根据题意可知，,,,,,的数据波动性大于,,, 的数据波动性，故,,,的标准差小于,,,,, 的标准 差，故C错误； 考 法 探 析·明 规 律 3 对于D，不妨设，则 ， 故，故D正确.故选 . 考 法 探 析·明 规 律 4 （2）[2024· 新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上 种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位： ）都在 内，并整理得到下表： 亩产 量 频数 6 12 18 30 24 10 考 法 探 析·明 规 律 5 根据表中数据，下列结论正确的是( ) A.100块稻田亩产量的中位数小于 B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C.100块稻田亩产量的极差介于到 之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于到 之间 √ 考 法 探 析·明 规 律 6 [解析] 对于A，根据频数分布表可知， ，所 以亩产量的中位数不小于 ，故A错误； 对于B，亩产量低于的稻田所占比例为 ， 故B错误； 对于C，设稻田亩产量的极差为，则由题意知 ， 且，即 ，故C正确； 考 法 探 析·明 规 律 7 对于D，100块稻田亩产量的平均值为 ，故D错误.故选C. 考 法 探 析·明 规 律 8 自测题 1.（多选题）[2025·山东滨州二模]一团队从观看某电影的所有观众 中随机抽取1000人作为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的 频率分布直方图，则( ) A. B.估计观众年龄的众数为35 C.估计观众年龄的平均数为30.2 D.估计观众年龄的第70百分位数为38 √ √ 考 法 探 析·明 规 律 9 [解析] 由题意知 ，解得 ，故A错误； 估计观众年龄的众数为，故B正确； 估计观众年龄的平均数为 ，故C错误； 考 法 探 析·明 规 律 10 前3组的频率之和为 ，前4 组的频率之和为 ， 故第70百分位数位于第4组， 设其为，则，解得 ，即估 计观众年龄的第70百分位数为38，故D正确.故选 . 考 法 探 析·明 规 律 11 2.[2025·江西新八校联考]甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正 整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一 定都不小于20的同学人数是( ) 甲同学：中位数为22，众数为20； 乙同学：中位数为25，平均数为22； 丙同学：第40百分位数为22，极差为2； 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8. A.1 B.2 C.3 D.4 √ 考 法 探 析·明 规 律 12 [解析] 甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20， 20，22，余下两个数据都大于22，且不相等，则所有数据一定都不 小于20； 当乙同学的5个数据为17，18，25，25，25时，满足5个数据的中位数 为25，平均数为22，此时有小于20的数，不满足所有数据一定都不 小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大 排列后第二个数和第三个数只可能是22，22或21，23，由极差为2知， 所有数据一定都不小于20； 考 法 探 析·明 规 律 13 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24， 设其余4个数据依次为,，则方差， 假设,,, 中有小于20的数，则， 与方差为10.8矛盾，因此,,, 均不小于20，数据21，21，24，24，30可满足条件.综上可得，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁，共3位同学.故选C. 考 法 探 析·明 规 律 微点2 回归模型 例2 某环保机构研究城市绿化覆盖率和 年平均浓度 的关系，随机抽取了10个城市的数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年平均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得,, . 考 法 探 析·明 规 律 15 解：由题得, , 则 . （1）求绿化覆盖率与 年平均浓度的样本相关系数（精确到 ）； 考 法 探 析·明 规 律 16 例2 某环保机构研究城市绿化覆盖率和 年平均浓度 的关系，随机抽取了10个城市的数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年平均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得,, . 考 法 探 析·明 规 律 17 （2）求关于的经验回归方程精确到，精确到 ，并估 计使得年平均浓度不超过 需要的最低绿化覆盖率 （精确到整数）. 附：；样本相关系数 ； 经验回归方程中，, . 考 法 探 析·明 规 律 18 解：由题得 , , 则关于的经验回归方程为 . 由，解得,又 ， 所以满足条件的最低绿化覆盖率约为 . 考 法 探 析·明 规 律 19 【规律提炼】 1.（1）正确理解计算<m></m>,<m></m>的公式和准确地计算是求经验回归方程的关键; （2）经验回归直线<m></m>必过点<m></m>. 2.（1）在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来 判断两个变量之间是否具有线性相关关系,若具有线性相关关系,则可 通过经验回归方程来估计和预测; （2）对于非线性回归分析问题,应先进行变量代换,求出代换后的经 验回归方程,再求非线性经验回归方程. 考 法 探 析·明 规 律 20 自测题 [2025·泉州模拟] 某团队从2024年10月份以来，通过深度整合 算法、 大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营 效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的月收 入（单位：百万元）的数据如下表. 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 月收入 （百万元） 6 11 21 34 66 101 196 考 法 探 析·明 规 律 21 （1）根据以上数据在如图所示的坐标系中绘制散点图，并根据散点 图判断与，，， 均为大于零的常数, 哪一个更适宜作为该团队月收入与月份编号 之间的回归模 型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果及表中 的数据，求出关于 的经验回归方程. 考 法 探 析·明 规 律 22 解：作出散点图，如图所示. 根据散点图判断， 更适 宜作为该团队月收入 与月份编号 之间的回归模型. 由 两边同时取常用对数得 ， 设，所以 . 由题得 ， ， ， 考 法 探 析·明 规 律 23 所以 ， 又 ， 所以 ， 则 ，即 ， 所以关于 的经验回归方程为 . 考 法 探 析·明 规 律 [2025·泉州模拟] 某团队从2024年10月份以来，通过深度整合 算法、 大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营 效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的月收 入（单位：百万元）的数据如下表. 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 月收入 （百万元） 6 11 21 34 66 101 196 （2）请你根据所求的经验回归方程，预测该团队下一个月的收入. 解：当时， ， 所以预测该团队下一个月的收入为347百万元. 考 法 探 析·明 规 律 25 [2025·泉州模拟] 某团队从2024年10月份以来，通过深度整合 算法、 大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营 效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的月收 入（单位：百万元）的数据如下表. 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 月收入 （百万元） 6 11 21 34 66 101 196 （3）试从统计学角度分析，如果用所求的经验回归方程预测该团队 接下来2年的经济收入情况是否合理？ 考 法 探 析·明 规 律 26 参考数据： 其中， . 参考公式：经验回归方程中， ， . 435 10.79 2535 50.12 2.82 3.47 考 法 探 析·明 规 律 解：不合理，经验回归方程一般具有时效性，解释变量接近样本数 据，预测值比较可信，否则会有显著误差. 考 法 探 析·明 规 律 微点3 独立性检验 例3 [2025· 全国一卷] 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从 做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 单位：人 是否患病 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 考 法 探 析·明 规 律 29 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为,求 的估计值； 解：超声波检查结果不正常者有200人，这200人中患该疾病的有180 人，则 . 考 法 探 析·明 规 律 30 例3 [2025· 全国一卷] 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从 做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 单位：人 是否患病 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 考 法 探 析·明 规 律 31 （2）根据小概率值 的独立性检验，分析样本数据中超声 波检查结果与是否患该疾病是否有关联. 附：, . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 考 法 探 析·明 规 律 32 解：零假设为 超声波检查结果与是否患该疾病无关联.经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立， 即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关联. 考 法 探 析·明 规 律 33 【规律提炼】 1.变量相关性的判断：在<m></m>列联表中，若两个变量没有关系，则 应满足<m></m>越小，说明两个变量之间关系越弱； <m></m>越大，说明两个变量之间关系越强. 考 法 探 析·明 规 律 34 2.独立性检验的应用问题的解题策略 解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结 论.独立性检验的一般步骤： （1）根据样本数据制成 列联表； （2）根据公式，计算 ; （3）通过比较 与临界值的大小关系得出统计推断. 考 法 探 析·明 规 律 35 自测题 [2025·河南九师联盟二模] 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生是 否参加该课程与性别的关联性，用简单随机抽样的方法分别从男生 和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下 列联表： 单位：人 考 法 探 析·明 规 律 36 性别 “剪纸”课程 合计 参加 不参加 男 10 女 30 50 合计 （1）补全列联表，并依据小概率值 的独立性检验， 分析是否参加“剪纸”课程与性别是否有关联； 考 法 探 析·明 规 律 37 解：补全 列联表如下. 单位：人 性别 “剪纸”课程 合计 参加 不参加 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为 是否参加“剪纸”课程与性别无关联， 则 ， 考 法 探 析·明 规 律 38 依据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为 是否参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.050. 考 法 探 析·明 规 律 [2025·河南九师联盟二模] 某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生是 否参加该课程与性别的关联性，用简单随机抽样的方法分别从男生 和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下 列联表： 单位：人 性别 “剪纸”课程 合计 参加 不参加 男 10 女 30 50 合计 考 法 探 析·明 规 律 40 （2）以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽 取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为，求 的期望. 附：，其中 . 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 考 法 探 析·明 规 律 41 解：由题知，从该校女生中随机抽取1人，其参加“剪纸”课程的概率 为， 则，所以 . 考 法 探 析·明 规 律 ［备选理由］例1是按比例分配的分层随机抽样的统计问题，涉及均 值和方差的计算，突出“按比例分配的分层随机抽样统计量的综合应 用”这个核心，考查了学生对按比例分配的分层随机抽样的方差公式 的理解和应用； 例2是线性回归的实际应用题，要求计算样本相关系 数并建立预测模型，强调“线性回归建模全过程”和“实际应用”两个 关键点； 例3的综合性很强，包含均值计算、独立性检验和概率分布 三部分，体现了“统计与概率的综合”这一特点. 备 用 习 题 43 例1 ［配例1使用］（多选题）[2025·昆明三诊]某校有男生 人，女 生人，且男生身高的均值为，方差为，女生身高的均值为 ， 方差为，全体学生身高的均值和方差分别为， ，则下列说法一 定正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 √ √ √ 备 用 习 题 44 [解析] 对于选项A，若 ，则全体学生身高的均值 ，故A正确； 对于选项B，若，则 ，故B 正确； 对于选项C，由题得 , 当时，由A选项可知 ,代入①式可得 备 用 习 题 45 ，当,,时， ，故C错 误； 对于选项D，当时，由B可知 ，代入①式并 化简可得 , 恒成立，故D正确.故选 . 备 用 习 题 46 例2 ［配例2使用］[2025·河南洛阳模拟] 某电商对其旗下的一家专 营店近五年来每年的利润（单位：万元）与时间（表示第 年） 进行了统计得如下数据： 时间 1 2 3 4 5 利润 （万元） 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与 的关系？ 请计算样本相关系数并加以说明（计算结果精确到 ）. （若 ，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合） 备 用 习 题 47 解：由题得， ， ， 所以 ， 故与 的线性相关程度很强，可以用线性回归模型拟合. 备 用 习 题 48 例2 ［配例2使用］[2025·河南洛阳模拟] 某电商对其旗下的一家专 营店近五年来每年的利润（单位：万元）与时间（表示第 年） 进行了统计得如下数据： （2）试用最小二乘法求出利润关于时间 的经验回归方程，并预测 当 时的利润. 时间 1 2 3 4 5 利润 （万元） 2.6 3.1 4.5 6.8 8.0 备 用 习 题 49 附：样本相关系数 ； 经验回归方程中， ， . 备 用 习 题 50 参考数据：， ， ， . 备 用 习 题 解：由题得 ， ， 所以 . 当时， ， 故预测该专营店在 时的利润为10.8万元. 备 用 习 题 52 例3 ［配例3使用］[2025·河南驻马店联考] 某工厂为了解员工绩效 分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的 绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下 列联表： 单位：人 备 用 习 题 53 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （1）经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数 ，女员工 绩效分数的平均数，求这60人绩效分数的平均数 . 解：由题意可知， . 备 用 习 题 54 例3 ［配例3使用］[2025·河南驻马店联考] 某工厂为了解员工绩效 分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的 绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下 列联表： 单位：人 备 用 习 题 55 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （2）根据列联表中的数据，依据小概率值 的独立性 检验，能否认为绩效分数达标情况与性别有关联？ 备 用 习 题 56 解：零假设为 绩效分数达标情况与性别无关联. 经计算得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为 绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 备 用 习 题 57 例3 ［配例3使用］[2025·河南驻马店联考] 某工厂为了解员工绩效 分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的 绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下 列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 备 用 习 题 58 （3）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其 他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的 概率为 ，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得 奖励的概率为 ；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为 ，求甲在前两个月所得奖金总额 （单位：千元）的分布列和数学 期望. 备 用 习 题 59 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中 . 备 用 习 题 解：由题意知 的可能取值为0,1,2， ， ， ， 所以 的分布列为 X 0 1 2 P 故 . 备 用 习 题 61 $