精品解析：湖南省长沙市2026届高三模拟考试数学试题

长沙市2026年高三年级模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算，化简，再根据共轭复数的概念即可求得解． 【详解】由复数除法运算，化简得 所以其共轭复数为 所以选B 【点睛】本题考查了复数的基本概念和除法运算，共轭复数的意义，属于基础题． 2. 已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为成等差数列， 所以，可得， 所以， 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 3. 函数的一个对称中心为___________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据正切型三角函数的对称性求解即可. 【详解】令（ ）， 解得，当时， ， 所以的一个对称中心为. 故答案为：（不唯一） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 【答案】（1）在中， ， 由余弦定理可得： ， 则 ，所以有，则 由平面平面，平面 平面， 且， 平面，则 平面 ， 又 平面 ，则 . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点分别为 ，连接 由为正三角形知， ， 结合（1）中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 设 ，则 ，且 ， 可得 由，解得或（舍去）， 则 ，且 故点到直线的距离 5. 已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， （1）若，且 ，请列举所有满足条件的和； （2）求随机变量的数学期望； （3）设在处取得最大值，试建立与的关系． 【答案】（1）；；；；；. （2） （3），其中 为自然数. 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【小问1详解】 由题意，；；；； ；. 【小问2详解】 根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. 【小问3详解】 若 ，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当 时，满足； 当 时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中 为自然数. 6. 已知函数． （1）若 ，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若有且仅有三个不同零点为，证明：． 【答案】（1）1 （2）当时，在 上递增； 当 时，在上递增，在上递减，在上递增； 当 时，在上递减，在上递增； 当时，在 上递减，在 上递增. （3）证明：若有且仅有三个不同零点为，由（2）可知，必有 ， 假设，且， 当时，；当 时，， 由，解得. 先证不等式： 由题意，满足，故且， 两式相减整理可得 则只需证：，即证：. 令，则 ，不等式转化为证明. 令，则， 可得在上单调递减，有，即成立. 再证明不等式：. 由于，且在上单调递增， 则只需证：. 令，则，是单调递减函数， 而， 则 综上，可得 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，利用单调性求函数最小值； （2）对参数分类讨论，利用导数求函数的单调性； （3）转化为证明，再转化为证明不等式：，利用函数单调性得证. 【小问1详解】 函数的定义域为 . 当 时，； 当时，. 若 ，当时，，可得单调递减； 当时，，可得单调递增， 故的最小值为 . 【小问2详解】 当 时，，若，，则单调递增， 若 ，当 时， ，即，则单调递增； 当时， ，即，则单调递减. 若 ，，则单调递减. 当时，若 ，，则单调递增； 若 ，，则单调递增； 若，当时，，则单调递减； 当 时，，则单调递增. 综上所述，当时，在 上递增； 当 时，在上递增，在上递减，在上递增； 当 时，在上递减，在上递增； 当时，在 上递减，在 上递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市2026年高三年级模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是 A. B. C. D. 2. 已知，若在之间插入3个数，使得这5个数成等差数列，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 3. 函数的一个对称中心为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 4. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点满足直线与直线所成角的余弦值为，求点到直线的距离． 5. 已知集合含有 个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， （1）若，且 ，请列举所有满足条件的和； （2）求随机变量的数学期望； （3）设在处取得最大值，试建立与的关系． 6. 已知函数． （1）若，求的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若有且仅有三个不同零点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $