专题02：平面向量的数量积【5个基础题型+3个提升题型+2个拓展】【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题02：平面向量的数量积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求数量积（公式套用）】 【练方法】 核心知识点 定义式：（为与的夹角，） 运算律：交换律、分配律、数乘结合律 解题思路 1.明确已知条件：若给出两向量的模长及夹角，直接套用定义式 2.若已知向量和/差的模长，可先通过平方展开求出数量积 3.代入公式计算，注意夹角范围对符号的影响 易错辨析 夹角是两向量起点重合时的角，避免误取补角 数乘运算时，系数可自由出入数量积，但需注意符号 （2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）．经典例题1例题 A．7 B．1 C． D． （2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．2 （2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·甘肃临夏·月考）若向量满足与的夹角为，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：求模长】 【练方法】 模长公式：（或） 三角不等式： 平方展开： 解题思路 1.利用，将模长问题转化为数量积问题 2.对目标向量进行平方展开，代入已知的数量积和模长条件 3.对平方结果开平方，得到模长（模长非负） 易错辨析 计算后必须开平方，避免直接用平方结果作为模长 展开平方时，注意中间项的符号和系数，避免漏乘 （2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． （24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ．经典例题2例题 （2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ）小试牛刀1 A．1 B． C．2 D． （23-24高一下·上海·月考）已知平面向量，的夹角为，且，，，．小试牛刀2 (1)若，求λ； (2)当，求． （2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C．2或 D．3或 【题型3：求夹角】 【练方法】核心知识点 夹角公式： 夹角范围：，时同向，时反向，时垂直 解题思路 1.先通过定义或展开式计算、、 2.代入夹角公式求 3.根据确定角度，注意为负时，为钝角 易错辨析 若，夹角为，而非，需结合范围判断 避免将向量夹角与三角形内角混淆，三角形内角范围是，但向量夹角可取端点 （2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ）经典例题1例题 A． B．2 C． D． （2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求投影及投影向量】 【练方法】 核心知识点 投影定义：在上的投影为（数量，可正可负） 投影向量：在上的投影向量为（与共线的向量） 解题思路 1.计算和，代入投影公式得到投影值 2.投影向量需乘以的单位向量，即 易错辨析 投影是数量，投影向量是向量，二者概念不同，不可混淆 投影为负时，表示方向与相反，不可直接取绝对值 （25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是 经典例题1例题 （25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ）小试牛刀1 A．3 B． C．2 D． （2025·江西宜春·模拟预测）已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．或 【题型5：基底法求数量积】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：若不共线，则平面内任意向量可唯一表示为 基底选择：优先选择已知模长和夹角的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选择合适的基底，将目标向量用基底表示 2.展开，利用运算律展开 3.代入基底的数量积、、计算 易错辨析 基底必须不共线，否则无法唯一表示向量 展开时注意分配律的应用，避免漏项或符号错误 （25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 .小试牛刀1 （25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则 .小试牛刀2 （25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； .小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：求模长的最值】 【练方法】 核心知识点 模长与数量积的转化： 二次函数求最值：配方法、判别式法 不等式：均值不等式、三角不等式等 解题思路 1.将模长平方表示为关于参数的函数 2.若为二次函数，用配方法求最值；若含根式，用判别式法；若满足均值不等式条件，用不等式求最值 3.验证等号成立条件，确保最值可取 易错辨析 注意参数的取值范围，避免超出范围导致最值错误 均值不等式需满足“一正二定三相等”，等号不成立时不可直接使用 （25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A．4 B．3 C．2 D．1 （25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，.经典例题2例题 (1)当时，求； (2)求的最小值. （25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ．小试牛刀2 （25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 .小试牛刀3 【题型2：求夹角的最值】 【练方法】 核心知识点 夹角公式 函数最值：将表示为单变量函数，利用单调性求最值 几何意义：夹角最值对应向量方向的极端情况（如共线、垂直） 解题思路 1.设参数，将、、表示为的函数，得到 2.求的最值，结合确定的最值（最大时最小，反之亦然） 3.或通过几何图形分析，找到夹角最大/最小的位置，再计算 易错辨析 在上单调递减，不可颠倒最值关系 忽略几何图形的边界情况，导致漏解 （25-26高三上·河南·月考）两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ．经典例题1例题 （25-26高三上·辽宁营口·期中）已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （22-23高一下·重庆北碚·月考）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：求数量积的最值】 【练方法】 核心知识点 数量积的表达式： 单变量函数最值：配方法、三角函数有界性（）、均值不等式 向量的线性运算：将数量积转化为关于向量和/差的表达式，利用模长最值求解 解题思路 1.若为几何形式，利用极化恒等式或向量分解，转化为模长的最值问题 2.若含三角函数，利用的有界性求最值 3.若满足均值不等式条件，用不等式求最值，并验证等号成立条件 易错辨析 变量范围限制：如时，，不可超出范围 均值不等式的等号条件：需验证等号是否在题目条件下成立 （25-26高三上·甘肃·月考）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．经典例题1例题    （2025高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，则的取值范围是 .经典例题2例题 （24-25高一下·湖北荆州·期末）如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .小试牛刀1 （24-25高一下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为 .小试牛刀2 （24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是 ．小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：极化恒等式】 【练方法】 核心知识点 极化恒等式： 三角形中的应用：在中，若为中点，则 解题思路 1.当题目涉及向量和与差的模长，或三角形中线时，优先使用极化恒等式 2.将数量积转化为模长的平方差，简化计算，避免复杂的夹角分析 3.结合几何图形，找到中点或和差向量，直接套用恒等式 易错辨析 恒等式的系数不可遗漏，否则结果会放大4倍 三角形中线的应用需满足为中点，不可随意推广到其他点 （2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ．经典例题1例题 （24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）在边长为6的正方形中，分别为边上的点，且满足，点是正方形边上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．48 B．46 C．27 D．24 （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． （24-25高三上·山东菏泽·月考）设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足 ，则当取最小值时，的值为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．2 【题型2：数量积综合题型】 【练方法】 核心知识点 数量积与平面几何：结合三角形、四边形的性质（如中线、角平分线、垂直） 数量积与向量分解：利用基底法或极化恒等式转化问题 数量积与三角函数：利用三角恒等变换，将数量积转化为三角函数的最值问题 解题思路 1.方法选择：优先用几何法（若图形易分析），其次用基底法（若几何关系清晰），最后用极化恒等式（若涉及中点或和差） 2.步骤拆解：将综合问题分解为“表示向量→计算数量积→结合其他知识求解” 3.验证结果：结合几何意义或特殊值验证答案的合理性 易错辨析 忽略几何图形的隐含条件（如三角形两边之和大于第三边），导致答案不符合实际 向量分解时基底选择不当，导致计算复杂 （24-25高二上·湖南岳阳·期末）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ）经典例题1例题 A．9 B．10 C．18 D．20 （2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B．21 C．24 D．40 （25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为上一点，且，，则的最大值是（   ）小试牛刀2 A． B． C．6 D． （2025·广东汕尾·一模）已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 3．（25-26高二上·广西贺州·期末）在平行四边形中，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 6．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 8．（2026·贵州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 13．（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 三、填空题 14．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 15．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 17．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则 . 18．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则 . 19．（25-26高三上·云南保山·期末）如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是 . 四、解答题 20．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题02：平面向量的数量积】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：求数量积（公式套用）】 【练方法】 核心知识点 定义式：（为与的夹角，） 运算律：交换律、分配律、数乘结合律 解题思路 1.明确已知条件：若给出两向量的模长及夹角，直接套用定义式 2.若已知向量和/差的模长，可先通过平方展开求出数量积 3.代入公式计算，注意夹角范围对符号的影响 易错辨析 夹角是两向量起点重合时的角，避免误取补角 数乘运算时，系数可自由出入数量积，但需注意符号 （2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）．经典例题1例题 A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. （2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】用表示，根据数量积的定义和运算律求解. 【详解】已知， 因为， 所以. 故选：A. （2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 .小试牛刀1 【答案】3 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： （25-26高三上·甘肃临夏·月考）若向量满足与的夹角为，则等于（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义直接求解. 【详解】. 故选：D. （25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量夹角的定义，利用向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 【题型2：求模长】 【练方法】 模长公式：（或） 三角不等式： 平方展开： 解题思路 1.利用，将模长问题转化为数量积问题 2.对目标向量进行平方展开，代入已知的数量积和模长条件 3.对平方结果开平方，得到模长（模长非负） 易错辨析 计算后必须开平方，避免直接用平方结果作为模长 展开平方时，注意中间项的符号和系数，避免漏乘 （2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ）经典例题1例题 A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B （24-25高一下·上海·期中）若非零向量满足，，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： （2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ）小试牛刀1 A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【详解】由于与垂直， 所以 ，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. （23-24高一下·上海·月考）已知平面向量，的夹角为，且，，，．小试牛刀2 (1)若，求λ； (2)当，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，借助向量的数量积公式计算即可得； （2）借助模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】（1）若，则有， 即， 即，即； （2）当时，， 则. （2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故选：D. 【题型3：求夹角】 【练方法】核心知识点 夹角公式： 夹角范围：，时同向，时反向，时垂直 解题思路 1.先通过定义或展开式计算、、 2.代入夹角公式求 3.根据确定角度，注意为负时，为钝角 易错辨析 若，夹角为，而非，需结合范围判断 避免将向量夹角与三角形内角混淆，三角形内角范围是，但向量夹角可取端点 （2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ）经典例题1例题 A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知, 因为，则 所以, 又，得, 则， 故选：A. （2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知， 则， 所以，则. 设与的夹角为，则， 又，故，所以与的夹角为. 故选：C （25-26高三上·江西景德镇·期末）已知，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积运算，即可求出模长，从而可求向量的夹角余弦值. 【详解】因为， 所以，两式相减得：，所以； 因为，所以； 代入，得到； ， 故选：D （2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】因为，所以，即，即． 又因为，所以，又， 解得． 故选：D． （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 【题型4：求投影及投影向量】 【练方法】 核心知识点 投影定义：在上的投影为（数量，可正可负） 投影向量：在上的投影向量为（与共线的向量） 解题思路 1.计算和，代入投影公式得到投影值 2.投影向量需乘以的单位向量，即 易错辨析 投影是数量，投影向量是向量，二者概念不同，不可混淆 投影为负时，表示方向与相反，不可直接取绝对值 （25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是 经典例题1例题 【答案】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. （25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，结合投影数量的公式即可求解． 【详解】设， 因为， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 故选：C． （25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ）小试牛刀1 A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. （2025·江西宜春·模拟预测）已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义可得出的值. 【详解】由题意可知在上的投影向量为，故. 故选：D. （24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 【题型5：基底法求数量积】 【练方法】 核心知识点 平面向量基本定理：若不共线，则平面内任意向量可唯一表示为 基底选择：优先选择已知模长和夹角的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选择合适的基底，将目标向量用基底表示 2.展开，利用运算律展开 3.代入基底的数量积、、计算 易错辨析 基底必须不共线，否则无法唯一表示向量 展开时注意分配律的应用，避免漏项或符号错误 （25-26高三上·山东烟台·期末）已知菱形的边长为分别是的中点，，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可. 【详解】如图：    以为基底，则，. 又，， 所以 . 故选：B （2026·河南开封·一模）菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得. 【详解】如图，连接，则，；    所以，，，； 因为为的中点，为的中点，所以； 所以 . 故选：D. （24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： （25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. （25-26高三上·天津河西·期中）在中，，，，且，，与交于点，则 ； .小试牛刀3 【答案】 / 【分析】先应用向量的数量积公式计算，再应用数量积的运算律计算求解；结合模长公式及向量夹角余弦公式计算求解. 【详解】在中，，，，所以， 又因为，， 所以， 所以 ； 因为与交于点，所以所成角等于所成角， 所以， ， 所以. 故答案为：；. 【B·能力提升题型】 【题型1：求模长的最值】 【练方法】 核心知识点 模长与数量积的转化： 二次函数求最值：配方法、判别式法 不等式：均值不等式、三角不等式等 解题思路 1.将模长平方表示为关于参数的函数 2.若为二次函数，用配方法求最值；若含根式，用判别式法；若满足均值不等式条件，用不等式求最值 3.验证等号成立条件，确保最值可取 易错辨析 注意参数的取值范围，避免超出范围导致最值错误 均值不等式需满足“一正二定三相等”，等号不成立时不可直接使用 （25-26高三上·云南普洱·期末）已知向量满足，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用数量积的定义得，根据数量积的运算律可得，进而求出最小值. 【详解】由，得，而，则，， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：C （25-26高一上·江苏徐州·期末）已知向量与的夹角为，且，，.经典例题2例题 (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. （25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得. 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D （25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. （25-26高三上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 【题型2：求夹角的最值】 【练方法】 核心知识点 夹角公式 函数最值：将表示为单变量函数，利用单调性求最值 几何意义：夹角最值对应向量方向的极端情况（如共线、垂直） 解题思路 1.设参数，将、、表示为的函数，得到 2.求的最值，结合确定的最值（最大时最小，反之亦然） 3.或通过几何图形分析，找到夹角最大/最小的位置，再计算 易错辨析 在上单调递减，不可颠倒最值关系 忽略几何图形的边界情况，导致漏解 （25-26高三上·河南·月考）两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】将两边同时平方得到，再利用向量夹角的余弦值公式，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. （25-26高三上·辽宁营口·期中）已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解． 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. （2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及，或，由此即可得解. 【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. （22-23高一下·重庆北碚·月考）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果. 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 【题型3：求数量积的最值】 【练方法】 核心知识点 数量积的表达式： 单变量函数最值：配方法、三角函数有界性（）、均值不等式 向量的线性运算：将数量积转化为关于向量和/差的表达式，利用模长最值求解 解题思路 1.若为几何形式，利用极化恒等式或向量分解，转化为模长的最值问题 2.若含三角函数，利用的有界性求最值 3.若满足均值不等式条件，用不等式求最值，并验证等号成立条件 易错辨析 变量范围限制：如时，，不可超出范围 均值不等式的等号条件：需验证等号是否在题目条件下成立 （25-26高三上·甘肃·月考）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．经典例题1例题    【答案】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，      过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，则的取值范围是 .经典例题2例题 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算法则求得，再利用向量数量积的定义，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以， 则， 设与的夹角为， 则， 又，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. （24-25高一下·湖北荆州·期末）如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， 令，由有，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. （24-25高一下·河北邢台·期末）如图，正方形的边长为4，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】为定值，所以在方向射影最大时，最大. 【详解】， 最大时，的值最大，即在方向射影最大时，的值最大 所以于同向共线时最大， 在所有于同向共线的位置中，当M位于A、D两点时最大. 此时， . 故答案为：. （24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据平面向量数量积运算律结合模长化简，结合二次函数值域计算求解. 【详解】设，其中， 因为，所以， 则 故答案为：. 【C·拓展培优题型】 【题型1：极化恒等式】 【练方法】 核心知识点 极化恒等式： 三角形中的应用：在中，若为中点，则 解题思路 1.当题目涉及向量和与差的模长，或三角形中线时，优先使用极化恒等式 2.将数量积转化为模长的平方差，简化计算，避免复杂的夹角分析 3.结合几何图形，找到中点或和差向量，直接套用恒等式 易错辨析 恒等式的系数不可遗漏，否则结果会放大4倍 三角形中线的应用需满足为中点，不可随意推广到其他点 （2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： （24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. （2025高三·全国·专题练习）在边长为6的正方形中，分别为边上的点，且满足，点是正方形边上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A．48 B．46 C．27 D．24 【答案】A 【分析】根据题意，画出图形，使用坐标表示出所有相关向量，用向量的数量积坐标表示，求出表达式，得出最大值. 【详解】解法一: 连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则， 易知当点与点重合时，取得最大值， 由正方形的性质知，所以的最大值为， 故选:A. 解法二: 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，设，则，，. 若点在线段或上，则当且仅当点与点重合时，取得最大值，且最大值为48； 若点在线段或上，则当点与点或点重合时，取得最大值，且最大值为24.所以的最大值为48. 故选：A. （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ）小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以， 所以， 因为等边的边长为2，则，所以， 所以. 故选：. （24-25高三上·山东菏泽·月考）设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足 ，则当取最小值时，的值为（   ）小试牛刀3 A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，换元即可求出最小值. 【详解】如图，，，， ，得. ，， 设，则. 当，即，也就是时，取最小值. 故选:C. 【题型2：数量积综合题型】 【练方法】 核心知识点 数量积与平面几何：结合三角形、四边形的性质（如中线、角平分线、垂直） 数量积与向量分解：利用基底法或极化恒等式转化问题 数量积与三角函数：利用三角恒等变换，将数量积转化为三角函数的最值问题 解题思路 1.方法选择：优先用几何法（若图形易分析），其次用基底法（若几何关系清晰），最后用极化恒等式（若涉及中点或和差） 2.步骤拆解：将综合问题分解为“表示向量→计算数量积→结合其他知识求解” 3.验证结果：结合几何意义或特殊值验证答案的合理性 易错辨析 忽略几何图形的隐含条件（如三角形两边之和大于第三边），导致答案不符合实际 向量分解时基底选择不当，导致计算复杂 （24-25高二上·湖南岳阳·期末）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于，两点的任意一点，则（    ）经典例题1例题 A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】 因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接， 所以，，设， 则 ， 又是的外心， 所以 ， 所以. 故选：C. （2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． （25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. （25-26高三上·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为上一点，且，，则的最大值是（   ）小试牛刀2 A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律求得，然后结合完全平方式，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， ∴，即， 整理得，∴， 又，∴，即， ∴，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. （2025·广东汕尾·一模）已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，设， 因为，求解出的值，即可求解． 【详解】因为圆为的外接圆， 所以 ， 因为是的平分线， 所以， 设， 因为， 所以. 故选：A 期末真题检测 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由向量的垂直可得，进而再由夹角公式可得. 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 故选：C. 2．（25-26高三上·云南德宏·期末）若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列出等式，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·广西贺州·期末）在平行四边形中，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】用、表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】在平行四边形中，，， 所以 . 故选：D 4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】为锐角时，，因此是必要的， 时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件， 故选：B． 5．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 6．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 7．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知点为外接圆的圆心，且，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】A 【分析】根据数量积的定义结合三角形外接圆的性质可得，，再根据向量的线性运算与数量积的运算转化求解即可得结论. 【详解】取中点为，连接， 因为点为外接圆的圆心， 所以， 同理可得， 则. 故选：A． 8．（2026·贵州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为BC的中点，结合向量的线性运算转化可得，进而求解. 【详解】因为，可知为BC的中点， 因为正方形ABCD的边长为6，则，， 可得，， 所以 . 故选：B. 9．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 10．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 二、多选题 11．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的运算依次判断选项即可.    【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，为，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】由向量数量积的定义式计算可判断A；由模长公式结合数量积计算可判断B；计算即可判断C；由向量在向量上的投影向量为代入计算判断D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ，故A错误； ，故B正确； ， ，故C正确； 向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 13．（25-26高一上·广东广州·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则或 B．若共线，则 C．若且，则 D．若向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则 【答案】BD 【分析】对AB根据向量的数量积的定义判断；对C根据对A的分析可判断，对D根据向量的数量积的几何意义判断. 【详解】对于A：若且，，则，所以A错误； 对于B：若共线，则或，所以，所以B正确； 对于C：若且，则，由A选项的分析可知不一定有，故C不正确； 对于D，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中， 为的中点，则，所以在向量上的投影向量为，如图： 即在上的投影向量为，所以，所以D正确. 故选：BD 三、填空题 14．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 【答案】/0.5 【分析】根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由两边取平方，可得， 因，则. 故答案为：. 15．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由，得，又向量是单位向量， 两边平方得，即，所以. 故答案为： 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 正六边形的内切圆半径为， 外接圆的半径为. ， 因为，即，所以，可得． 故答案为：. 17．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】4 【分析】由 求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴ ， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 18．（25-26高三上·北京昌平·期末）在中，，，则 . 【答案】4 【分析】根据三角形的性质，以及余弦定理解出三角形，再根据向量数量积的运算律，求出结果即可. 【详解】因为，，所以， 可知， ， 即. 故答案为：4. 19．（25-26高三上·云南保山·期末）如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是 . 【答案】/ 【分析】根据向量的共线表示出以及，结合向量的相等求出，再根据即可推出，从而求得答案. 【详解】由题意可知在上，∴与共线，可设， 又∵D是BC的中点，∴，∴， 则， 又因为三点共线，所以存在，使得， ， ∴，解得，∴ ， 又， 即，∴. 故答案为： 四、解答题 20．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值. 【详解】（1）. （2）因为， ； 由题意得，解得， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $