江苏江阴市祝塘中学2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷4

高二数学期末复习卷4 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，在平行六面体中，E为延长线上一点，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与直线则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（    ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 6．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，，与y轴交于点M.若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的前n项和为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（    ） A．曲线C不可能表示一个圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 10．设等差数列的前项和为，公差为，，，，则下列正确的是（    ） A． B．当时，的最大值为21 C．数列为等差数列，且公差为 D．记数列的前项和为，则最大 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 2、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是 . 13.已知等差数列的前n项和为，若，则 . 14．已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为 . 15．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点与圆相切的直线方程. 17．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 18．已知数列的前项和，满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，数列的前项和，若，求的最小值. 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．如图，已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过点作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线和交于点G. (1)求点G的横坐标； (2)若和的面积分别记为和，求的取值范围. 高二数学期末复习卷4答案解析 一、单选题 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线的方程可得斜率，由倾斜角和斜率的关系可得倾斜角． 【详解】直线x+y﹣3＝0可化为yx+3， ∴直线的斜率为， 设倾斜角为α，则tanα， 又∵0≤α＜π， ∴α， 故选D． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及倾斜角和斜率的关系，属于基础题． 2．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列， 所以，解得， 所以， 故选：C 3．如图，在平行六面体中，E为延长线上一点，，则可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】先由题设得，接着根据向量的加减法法则结合图形结构即可运算求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：B. 4．已知直线与直线则是的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、探求命题为真的充要条件 【分析】先求出两直线平行的充要条件，即可判断求解. 【详解】由，可得，解得或1， 当时，，即，此时与重合不合题意， 当时，，，符合题意， 所以是的充要条件. 故选：B. 5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（   ） A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立春的影子长即可. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 故可设该等差数列为，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别计为，，， ，，公差为，由题可得： ，即，解之得：， 所以立春的日影子长为：（尺）. 故选：C 6．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的性质，将点到焦点的距离化为点到准线的距离，则由图象可知，的最小值在，，，四点共线且在之间时取得，即可得到答案. 【详解】 设圆的圆心为， 半径为，过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义可知，， 所以， 当且仅当，，，四点共线且在之间时，等号成立， 而，所以， 即的最小值为4. 故选：B. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，，与y轴交于点M.若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据和，可得，结合双曲线的定义，可得，，再根据和勾股定理，可得的数量关系，于是可求双曲线的渐近线方程. 【详解】如图：    因为，所以， 又，所以，且，所以，. 又. 所以. 所以双曲线的渐近线方程为：. 故选：A 8．已知等比数列的前n项和为，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列前n项和公式、公比的范围进行判断. 【详解】解：当时，，得到，， 同理当时，也可以得到，； 当时，与同号，由一定会得到， 所以选项A正确，而当时，选项C不正确； 当时，，，由得到， 故选项B不正确； 当时，，， 由得到，则，故选项D不正确. 故选：A. 二、多选题 9．已知方程（m为实数）表示的曲线C，则（   ） A．曲线C不可能表示一个圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】ACD 【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由、、、是否有解，判断各项正误. 【详解】A：若，无解，故曲线C不能表示一个圆，对； B：若，无解，故曲线C不能表示焦点在x轴上的椭圆，错； C：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，对； D：若，可得，满足曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，对. 故选：ACD 10．设等差数列的前项和为，公差为，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，的最大值为21 C．数列为等差数列，且公差为 D．记数列的前项和为，则最大 【答案】AD 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由已知结合等差数列的性质，等差中项，通项公式，求和公式逐项验证即可. 【详解】A：等差数列中，，，， 则，所以，故A正确； B：，故B错误； C：由可得， 所以数列为等差数列，首项为，公差为，故C错误； D：因为， 令， 则， 所以时，最大，故D正确； 故选：AD. 11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线的交点坐标、判断直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦半径公式 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 3、 填空题 12.设，则曲线在点处的切线的倾斜角是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数定义及几何意义，属于基础题． 依题意求出，再由导数的几何意义即可解题． 【解答】 解：因为 ， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为，即， 又，所以所求切线的倾斜角为． 故答案为． 13．已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】36 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 14．已知正四面体的每条棱长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据题设有，，再应用空间向量数量积的运算律求结果. 【详解】由题设，四面体各侧面均是等边三角形，且边长都为1， ，， 所以 . 故答案为： 15．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离 【分析】结合题意，首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于离心率的方程，解出即可. 【详解】 结合题意：双曲线的渐近线方程为：，即. 所以F到渐近线的距离为，所以， 则的内切圆的半径为， 设的内切圆与FM切于点P， 则， 由，得, 即, 则，， 由，得． 即, 由于，解得． 故答案为：. 四、解答题-问答题 16．已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，即可得解； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由题意得， 所以圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，符合题意， 当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为， 即，圆心到该直线的距离为， 即，解得， 此时直线方程为， 故所求直线方程为和. 17．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． (1)求直线\到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】点到直线距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离； （2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案. 【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系， ，， 因为，所以，即， 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，， ，， 所以直线到直线的距离为； （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， ,， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，可得， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 18．已知数列的前项和，满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足，数列的前项和，若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、错位相减法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由题得，化简整理得，可得证； （2）由（1）得，由与的关系可得，从而得，再运用错位相减法求得数列的前项和，代入，解不等式可得答案. 【详解】（1）证明： 由题，即，， 又，所以，即 则为等差数列，且公差为1，首项为， ∴，； （2）由（1）知，∴， 当时，， 当时，①，②， 所以①-②，检验：当时，符合式子， ∴，，则， ， 所以，， 由题，则，， 即，解得， ∴的最小值为4. 【点睛】本题考查由数列的递推式证明数列是等差数列，等差数列的通项公式，错位相减法求数列的和，以及求解数列不等式，属于中档题. 19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】已知面面角求其他量、证明面面垂直 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解． 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 20．如图，已知椭圆的长轴长为4，离心率为，过点作直线l交椭圆于x轴上方两点M，N，点M在点N左侧，直线和交于点G. (1)求点G的横坐标； (2)若和的面积分别记为和，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】 （1）先由题设求出椭圆方程，设直线的方程，与椭圆联立，消元，根据韦达定理求出，根据直线的点斜式方程求出直线和的方程，并联立化简即可求出点的横坐标； （2）用三角形面积公式表示，用坐标化简可得到，求根公式求出，得到关于的函数，结合的范围可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 由题可设，直线的方程为， 由得， 所以，即，，， 所以， ， 直线的方程为： ， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以， 所以直线的方程为：， 联立直线和的方程得：， 所以， 所以＝， 而， 所以 即点G的横坐标为. （2）， 因为是方程的解，且， 所以， 则 学科网（北京）股份有限公司 $