福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期数学校本作业周测4

厦门市同安实验中学2025-2026高二数学（上）校本作业（周测4）解析版 班级： 姓名： 号数： 一、单选题 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2．若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可. 【详解】由题意可得：，解得， 若，则直线、，两直线平行， 综上所述：. 故选：A. 3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 4．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得直线过点，再数形结合，即可求解. 【详解】直线过点，画出图象如下图所示，， 由于直线与线段没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意， 当时，直线的斜率为， 根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：A. 5．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 6．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 二、多选题 7．在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 8．如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段长度的取值范围是 C．当点为中点时，截面的周长为 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】直接证明三棱锥的体积为定值判断； 由三角形相似可得与的关系，结合的范围求得线段的长度的取值范围判断； 根据题意，分别求出四边形各边长即可判断； 由反证法证明错误. 【详解】 连接，则的面积为定值， 平面，平面，且， 平面，而， 到平面的距离为定值， 则三棱锥的体积为定值，故正确； 延长交的延长线于点，连接交于点， 则，即， 得， 又，则， ， ，， ，，， ，故错误； 当点为棱中点时， ，， ， ，， 故截面的周长为，故正确； 假设， 取上靠近点的四等分点， 则平面，平面， 所以，又， 因为平面，， 所以平面，平面， 则， 所以∽，得，则，矛盾 所以不存在点，使得，故错误； 故选：. 【点睛】分离常数法求值域： 一些简单分式型函数求值域可用分离常数法，最常见类型为：，，，如本题中选项的为型. 具体方法为：（1）先将分子凑出和分母相同的式子，如； （2）根据分式加减法法则分类常数，如； （3）根据题目所给范围直接求值域（或可用换元法求值域）. 三、填空题 9．如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    【答案】2 【分析】据空间向量基本定理把用，，作为基底表示，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 10．已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 四、解答题 11．（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面积的最小值为8 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； （3）先求出直线恒过定点，直线与轴和轴的交点分别为，结合题意即可求得的范围，再表示出，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，得，解得或； （2）设，则， 解得，即. （3）存在，由，得． 由，得时，则直线恒过定点，如图， 直线与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交. 而 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值8． 12．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）如图，取中点，连接       因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． （2）    根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026高二数学（上）校本作业（周测4） 班级： 姓名： 号数： 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 2．若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 5．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 8．（多选）如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段长度的取值范围是 C．当点为中点时，截面的周长为 D．存在点，使得 三、填空题 9．如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．   10．已知，，三点，则到直线的距离为 . 四、解答题 11．（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 12．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $