福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期数学校本作业周测3（2025.09.22）

厦门市同安实验中学2025-2026高二上数学校本作业 周测3（20250922） 班级 姓名 座号 1、 单选题 1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是（    ） A．150° B．135° C．45° D．30° 2．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 3．如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（    ）   A． B． C． D． 4．如图，F是正方体的棱CD的中点．E是上一点，若，则有 A． B． C． D．E与B重合 5．已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 6．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（    ） A．- B． C．- D． 二、多选题 7．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在中，．则= . 10．已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为 . 四、解答题 11．如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的大小. 12．如图，在多面体中，为正方形，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026高二上数学校本作业 周测3解析版（20250922） 班级 姓名 座号 一、单选题 1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量与向量的夹角是（    ） A．150° B．135° C．45° D．30° 【答案】B 【解析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角． 【详解】解：如图，正方体中，，， 的补角即为向量与向量 的夹角． 为等腰直角三角形， ， 量与向量的夹角为， 故选：． 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题． 2．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 3．如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，再转化成指定的基底中的向量，得到结果. 【详解】在平行六面体中，， 所以 故选：D. 4．如图，F是正方体的棱CD的中点．E是上一点，若，则有 A． B． C． D．E与B重合 【答案】A 【分析】由题意，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得，的坐标，根据向量的数量积等于0，求得，即可求解. 【详解】由题意，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)， 设E(2，2，z)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)， ，∴， ∴，故选A. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的数量积求解的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 6．在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（    ） A．- B． C．- D． 【答案】A 【分析】首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解. 【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC， 所以M为△BCD的中心，N为AC的中点， 此时，2||==，∴||=， ∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD， ∴AM⊥MC， ∴||= ==. 又=(+)， ∴·=(·+·) =-||2=-. 故选：A. 二、多选题 7．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断. 【详解】如图所示： 由图形知：因为    ，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为平面，所以，所以，故C正确； 因为四边形是矩形，所以与不垂直，则，故D错误. 故选：ABC 8．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用已知条件判断平面，然后说明，设，然后可得，又，即可求出答案. 【详解】由已知得又D是的中点， 所以，又侧棱平面ABC， 可得侧棱平面，又平面， 所以， 因为，所以平面， 又平面，所以， 故若平面，则必有. 设，则， 又， 所以，解得或. 故选：AC 三、填空题 9．在中，．则= . 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得. 【详解】设,, ,. 设,, ,. ， . 10．已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先求得平面ABC的一个法向量，然后由求解. 【详解】因为，，，， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以则点到平面的距离为， 故答案为： 四、解答题 11．如图，在直三棱柱中，，，.M为侧棱的中点，连接，，CM. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）平面ABC，，以C为原点建立空间直角坐标系如图所示，由向量法可得，，则由线线垂直可证平面，即可求正弦值； （2）由向量法求二面角的余弦值，即可求得角度 【详解】（1）直三棱柱中，平面ABC，又，以C为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ∵，，∴，又平面，∴平面， ∴与平面所成角的正弦值为1； （2）由（1）知是平面的法向量，是平面的法向量， 设二面角为，故，故. 故二面角的大小为 12．如图，在多面体中，为正方形，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设G为DE的中点，连接FG，AG，可证ABFG为平行四边形，由线面平行的判定定理可证明结论； （2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）设G为DE的中点，连接FG，AG， 由已知，且， 所以四边形CFGD是平行四边形， 又ABCD为正方形， 所以ABFG为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以. （2）因为为正方形，平面， 以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 所以，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则即 令，得. 于是. 设直线与平面所成角为，则 ， 即，   所以直线与平面所成的角为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $