精品解析：贵州省安顺市2025-2026学年高三上学期期末数学试题

全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 3．请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合集合子集的定义与运算，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为. 故选：C. 2. 已知角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D 3. 已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数（ ） A. 89 B. 92 C. 94 D. 99 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的概念和计算公式求解即可. 【详解】共有8个数据， 故该组数据的第50百分位数为从小到大第4个与第5个数据的平均值， 若，则第50百分位数，不合题意； 若，则第50百分位数，不合题意； 所以，解得. 故选：C 4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义及指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 5. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（ ） A. 0 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知直线必过圆心，求出参数m的值，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 6. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形， 设的面积为，则，水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，即， 所以当底面水平放置时，容器中水面的高为9. 故选：D 7. 定义：数列的“间隔和”数列为．若则（ ） A. 22 B. 30 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的通项公式求出相邻两项的差值，再根据“间隔和”数列的定义计算. 【详解】当时，，由，则， 当时，，则， 所以， 所以， 故选：C 8. 记二项式的展开式中的系数为，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式展开式得出系数，再结合已知，计算求解参数. 【详解】记二项式的展开式中的系数为， ，，，，， 所以， 因为， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 一定是实数 C. 的最小值为2 D. 在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D. 【详解】因为复数， 当时，为纯虚数，A选项正确； 当时，不是实数，B选项错误； ，所以的最小值为2，C选项正确； 设在复平面内对应点为， 所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 为定值 C. 若为坐标原点，则可能为正三角形 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线准线方程定义求解可以判断A；设过点的直线方程为，联立，得，根据韦达定理可以判断B；若正三角形，则,由抛物线关于轴对称，可知轴， 得，求解长度对比可以判断C；根据焦半径公式得，进而求得，再结合均值不等式求解范围即可. 【详解】对于A，由抛物线可知，即，则准线方程， 故正确； 对于B，由抛物线可知焦点，设过点的直线方程为， 联立，得，则，故正确； 对于C，若正三角形，则, 由抛物线关于轴对称，可知轴，设点在第一象限， 则，故， 因为，所以不是正三角形，故错误； 对于D，由抛物线定义可知，，， 则， 由B知，即，代入上式可得， ， 当且仅当时等号成立，故正确， 故选：ABD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 在区间上的最大值为 C. 在区间上存在唯一极值点 D. 若函数在区间上单调递减，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简的表达式，再判断各选项；对于A，求出平移后的函数表达式，与进行比对即可；对于B，直接根据所给范围求出在对应区间内的最大值即可；对于C，求出，令其为0即可；对于D，求出，结合题意转化为不等式恒成立问题即可． 【详解】， 对于A，向右平移个单位得到，故A正确； 对于B，当时，，可知此时的最大值为，故B错误； 对于C，当时，，， 令，得，解得，这是区间内唯一的极值点，故C正确； 对于D，，， 若在单调递减，则在恒成立， 即，又，的最大值为， 因此，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p＝________. 【答案】－1 【解析】 【详解】解析：因为＝＋＝2a－b，A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即所以p＝－1. 【考查意图】向量共线定理. 13. 已知对任意恒成立，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，根据题意，可得，得到，结合双曲线离心率的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 因为不等式对任意恒成立， 所以，可得， 即，即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为__________；实数的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合基本不等式求得；结合中线的向量表示，向量运算得，再结合求解即可. 【详解】因为， 所以，根据余弦定理得 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立 所以的最大值为； 取中点，则， 所以，即， 又因为，所以 因为，所以，即 所以边上的中线长为的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足（为常数），数列满足． （1）求常数的值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用，赋值计算求参数； （2）应用计算得出通项公式； （3）先得出的通项公式，再应用等比数列求和公式证明即可. 【小问1详解】 由，得，即，解得． 【小问2详解】 由（1）有，① 当时，， ①②得，即 所以数列为常数列． 又，所以数列的通项公式为． 【小问3详解】 由（2）得，即是等比数列，其首项为1，公比为， 所以． 16. 为了解某市市民对2025—2026赛季“市长杯”青少年校园足球超级联赛的关注情况，某单位随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 20 120 140 女性 40 60 100 合计 60 180 240 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注赛事与性别有关？ （2）为了宣传该项赛事，从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取3人到学校内宣传，求到学校内宣传的市民中男性人数的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为有的把握关注赛事与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到抽取男性市民人，抽取女性市民人，得到随机变量可能的取值为，结合超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 零假设为：关注赛事与性别无关． 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验， 推断零假设不成立，即认为有的把握关注赛事与性别有关． 【小问2详解】 根据题意，用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是， 则应抽取男性市民人，抽取女性市民人． 则随机变量可能的取值为， 可得；； ， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 则随机变量的数学期望为． 17. 已知函数（为常数，且）． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性，进而求出极值； （2）将函数有两个零点的问题转化为方程有两个解的问题，再通过构造新函数，研究新函数的单调性和极值，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为． 令，即，解得； 令，即，解得． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 在处取得极小值，极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以由，得． 设，则． 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减． 所以． 又，所以当时，；当时，，且． 由函数有两个零点知，函数与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值． 18. 在图（1）的直角梯形中，，点是的中点，，现将图（1）中的沿着翻折至如图（2）所示的位置，连接，使得，得到四棱锥，已知分别为的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题可知，在图（2）中，，所以平面． 又，所以平面．又平面，所以． 又，为的中点，所以． 因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，几何法或向量法求出G点坐标，平面与平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 由题可知，所以． 又，所以，所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以；同理平面，所以． 因为，所以平面． 又因为平面，所以， 由射影定理得， 故点为线段上靠近点的三等分点． 点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ． ． 设平面的法向量为，则 故可取． 平面的一个法向量可取为． 设平面与平面的夹角为， ． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 方法二：以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则． 因为点在上，所以可设． 又， 所以解得， 故，点． 以下与方法一相同． 方法三：点在平面内的投影在上，设，则， 故可设， 所以，解得，故点． 以下与方法一相同． 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于两点（点在轴上方）． （1）求椭圆的标准方程． （2）若（为坐标原点），求直线的方程． （3）已知点为轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，是否存在唯一实数，使得恒成立？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率公式​、椭圆的基本关系，结合椭圆过已知点的坐标代入，构建关于的方程组，解方程组即可求得，进而得到椭圆标准方程。 （2）首先确定直线为；将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，转化面积条件得到纵坐标的关系式.代入韦达定理结论构建关于参数m的方程，求解后即可得到直线方程。 （3）将倾斜角的恒成立条件转化为斜率相关定值，设 轴正半轴定点，表示出直线、的斜率关系，结合韦达定理让含变量的系数为 0，求解并舍去不合理解，确定定点坐标与唯一实数λ 【小问1详解】 由题意知，解得 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由题意知l的斜率不为， 故设l的方程为． 由，得， ． 因为，所以，依题意知，，所以， 则，解得， 所以直线的方程为． 【小问3详解】 存在唯一实数，使得恒成立， 因为恒成立， 所以为定值，即为定值． 设，则， 所以， 即为定值， 则．解得或（舍去），此时． 所以当，时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全市各普通高中2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 3．请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知角，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数（ ） A. 89 B. 92 C. 94 D. 99 4. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减 5. 已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（ ） A. 0 B. C. D. 5 6. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 定义：数列的“间隔和”数列为．若则（ ） A. 22 B. 30 C. 34 D. 36 8. 记二项式的展开式中的系数为，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 一定是实数 C. 的最小值为2 D. 在复平面内对应点的轨迹是圆 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列选项正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 为定值 C. 若为坐标原点，则可能为正三角形 D. 的最小值为 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 在区间上的最大值为 C. 在区间上存在唯一极值点 D. 若函数在区间上单调递减，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p＝________. 13. 已知对任意恒成立，则双曲线的离心率为__________． 14. 的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为__________；实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足（为常数），数列满足． （1）求常数的值； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，求证：． 16. 为了解某市市民对2025—2026赛季“市长杯”青少年校园足球超级联赛的关注情况，某单位随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 20 120 140 女性 40 60 100 合计 60 180 240 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注赛事与性别有关？ （2）为了宣传该项赛事，从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取3人到学校内宣传，求到学校内宣传的市民中男性人数的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数（为常数，且）． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 18. 在图（1）的直角梯形中，，点是的中点，，现将图（1）中的沿着翻折至如图（2）所示的位置，连接，使得，得到四棱锥，已知分别为的中点，平面与棱交于点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于两点（点在轴上方）． （1）求椭圆的标准方程． （2）若（为坐标原点），求直线的方程． （3）已知点为轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，是否存在唯一实数，使得恒成立？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $