20.专题九 微专题20 将军饮马•策马扬鞭求最短-【解密中考】2026年湖北中考数学专题复习配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“将军饮马”几何最值问题，依据中考考标系统梳理“两点之间线段最短”“垂线段最短”核心原理，分析两定一动、两动一定、两定两动三种模型的考查权重，归纳选择、填空及解答题中的常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“模型建构+真题演练+素养提升”模式，如2025年广州中考真题中△PCD周长最小值问题，示范利用双重对称转化折线路径，培养学生几何直观与推理能力。通过变式训练和实战演练，帮助学生掌握“化折为直”技巧，教师可依此强化学生空间观念，提升中考得分率。

专题九　几何最值问题模型 微专题20　将军饮马•策马扬鞭求最短 《解密中考》 2026湖北数学 1 2 1 2 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 2 3 实战演练·提素养 目 录 2 考点综述 知识建构·储备仓 01 3 一、考标 1.能准确表述“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个基本事实，理解其在解决最短路径问题中的核心作用. 2.能熟练识别和构造“将军饮马”及其变式模型，利用轴对称、平移等图形变化将折线路径转化为直线段求解. 3.能综合运用几何性质，解决涉及线段和差、周长等的最小值问题，并应用于实际情景. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 4 二、考点 (一)核心原理(2个关键公理) 1.两点之间，线段最短：两点的所有连线中，线段最短.这是解决“化折为直”类最值问题的根本依据. 2.垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.这是解决“点线距离”类最值问题的核心工具. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 (二)核心模型：将军饮马(3种基本模型) 1.两定一动型：两个定点＋一个动点，求动点到两定点路径最短. 2.两动一定型：两个动点＋一个定点，通过轴对称转化动点为定点. 3.两定两动型：两个定点＋两个动点，需建立双对称轴体系. 三、考向 最短路径问题是中考的常考点，常以选择、填空题的形式出现，也可能在解答题中作为其中一问.命题趋势是结合图形变化(轴对称、平移、旋转)，融入四边形、圆、函数图象等背景，考查考生的转化与化归思想、空间想象能力和模型识别能力. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 命题研究·考向标 02 7 命题点一 两定一动型 已知两个定点(A，B)和一条定直线(l)，动点P在直线l上运动，求PA＋PB的最小值.利用轴对称，将折线路径转化为直线段. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 8 例1 如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足分别为M，N， MN＝12，AM＝5，BN＝4，P是EF上任意一点，则 PA＋PB的最小值是____________.  15 【思路点拨】这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于“两定一动型”，根据常见的“定点定线作轴对称”，可作点A关于EF的对称点A'，如图所示，根据两点之间，线段最短，连接A'B，此时PA＋PB最短为A'B.而要求A'B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 9 1.如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为____________.  变 式 训 练 3 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 命题点二 两动一定型 已知一个定点(C)和两个动点(P，E)，其中P，E分别在两条定直线上运动，求PC＋PE的最小值.通过轴对称转化，将折线路径转化为直线段，利用垂线段最短来解决问题. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 11 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC的中点， AD＝4，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，则 PC＋PE的最小值为____________.  【思路点拨】这里的点C是定点，P，E是动点，属于“两动一定型”，由于△ABC是等腰三角形，AD是BC的中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短.但此时还不一定是最短，根据“垂线段最短”只有当BE⊥AC时，BE最短，如图所示.求BE时，用面积法求解即可. 4.8 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 12 2.如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8， △ABC的面积为20，则EF＋CF的最小值为____________.  变 式 训 练 5 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 13 命题点三 两定两动型 已知两个定点(C，D)和两个动点(E，F)，动点分别在两条定直线上运动，求三条线段和的最小值.通过双重对称变换，将折线路径拉直解决问题. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 14 例3 如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值. 解：作点C关于OB的对称点C'，作点D关于OA的对称点D'，连接C'D'，分别交OA，OB于点E，F，则 CF＋EF＋DE＝C'F＋EF＋D'E，当C'，F，E，D'四 点共线时，CF＋EF＋DE＝C'D'最短.易知∠D'OC' ＝3×30°＝90°，OD'＝12，OC'＝5， 根据勾股定理，得C'D'＝＝13， ∴CF＋EF＋DE的最小值为13. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 15 3.如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，α＋β＝____________°.  变 式 训 练 200 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 16 考点综述 03 实战演练·提素养 17 一、选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6， BC＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD 和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是(　　) A. B.4 C.5 D. D 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是矩 形ABCD内一动点，且S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD 的最小值是(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 3.(2025·广州) 如图，☉O的直径AB＝4，C为的中 点，点D在上，，P是AB上的一个动点， 则△PCD周长的最小值是(　　) A.2＋ B.2＋2 C.3＋ D.4＋4 B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 二、填空题 4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的动点，则AE＋EF的最小值为____________.  3 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 5.如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四 边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为____________.  首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC， CD上分别找点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度 数为____________.  100° 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 7.如图，已知∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N分别为射 线OA、射线OB上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝____________°.  80 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为____________.  5 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 9.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中 点，点M在边BC上，且BM＝6.P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为____________.  2 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 三、解答题 10.△ABC与△CED均为直角三角形，∠ABC＝ ∠ECD＝90°.如图，点E在AB上，AB＝BC，EC＝ CD，连接BD，G为AC的中点，点H在BD上，连接 GH，CH，∠HGC＝45°.E为直线AB上的动点， 点B关于直线EC的对称点为点K，F为线段BC的中 点，连接AK，FK，GK，当的值最 大时，直接写出的值. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 27 解：的值为. 提示：设AB＝BC＝2，连接CK，由折叠可知，CK ＝BC＝2，可得，则△KCG∽△ACK， 得KG＝AK.延长CB至点L使得CL＝2BC＝4，可 得＝2，则△LCK∽△KCF，得LK＝2KF， 可知·|KG－LK|≤LG， 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 即当点K在LG的延长线上时，取得 最大值，如答图，连接AL，BG，过点K作KR⊥ AC，可得△ABL，△ACL均为等腰直角三角形， 求得tan∠AGL＝tan∠KGR＝＝2，设GR＝a， 在Rt△CKR中，CR2＋KR2＝CK2，列出方程求得a， 进而求得GK，即可求解. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)经过点 (－1，6)，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，连接AC，BC，tan∠CBA＝4. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 (1)求抛物线的表达式； 解：由抛物线的表达式知，C(0，4)，OC＝4. ∵tan∠CBA＝4，∴OB＝1，即B(1，0). 由题意，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 31 (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D.M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，F为线段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM＋MN＋NF的最小值. 解：由抛物线的表达式知，A(－4，0)，B(1，0)， C(0，4)，则F. 由点A，C的坐标，得直线AC的表达式为y＝x＋4. 设P(t，－t2－3t＋4)，－4＜t＜0，则D(t，t＋4). ∴PD＝－t2－3t＋4－t－4＝－(t＋2)2＋4. ∵－1＜0，∴当t＝－2时，PD取得最大值， 此时E(－2，0)，D(－2，2).∴AE＝MN＝2. 答图 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 32 如答图，连接EF交y轴于点N，过点N作NM⊥PE于 点M，连接AM，则四边形AENM为平行四边形. ∴AM＝EN. ∴此时AM＋MN＋NF的最小值为EN＋MN＋NF ＝2＋EF＝2＋＝2＋. 答图 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 33 本讲内容结束 $