14.专题七 微专题14 圆幂定理•纵横弦影舞翩跹-【解密中考】2026年湖北中考数学专题复习配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦圆幂定理核心考点，覆盖相交弦定理、切割线定理、割线定理的等积式应用，明确中考要求的线段计算、比例式证明及综合相似三角形解题。通过对接考标梳理高频考点，分析计算、证明、综合应用三大题型权重，归纳弓形高与弦长计算等常考模型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+模型建构+素养提升”模式，如结合《九章算术》圆材问题示范相交弦定理推论应用，培养数学眼光。通过切割线定理证明题训练逻辑推理，发展数学思维。设计分层实战题，帮助学生掌握等积式转化技巧，教师可依此高效组织专题复习，助力中考冲刺。

专题七　圆的综合应用模型 微专题14　圆幂定理•纵横弦影舞翩跹 《解密中考》 2026湖北数学 1 2 1 2 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 2 3 实战演练·提素养 目 录 2 考点综述 知识建构·储备仓 01 3 一、考标 1.掌握相交弦定理、切割线定理、割线定理的等积式关系. 2.能运用相交弦定理、切割线定理、割线定理的等积式关系进行线段长度计算、比例式或等积式证明，并能与相似三角形等知识联动解题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 4 二、考点 1.核心定理 (1)相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线 段长的积相等，即PA·PB＝PC·PD，其中AB，CD是 ☉O内两条相交弦，交点为P(如图1). (2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和一条割线，切 线长是这点到割线与圆两个交点所构成的线段长的比例 中项，即PT2＝PA·PB，其中P为☉O外一点，PT是切 线，T为切点，PAB是割线，A，B为割线与圆的两个交点(如图2). 图1 图2 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每 条割线与圆的两个交点所构成的线段长的乘积相等， 即PA·PB＝PC·PD，其中P为☉O外一点，PAB， PCD是两条割线，A，B和C，D分别为割线与圆的交 点(如图3). 高频考点：(1)计算线段长度；(2)证明线段比例或乘积相等；(3)结合垂径定理、圆周角定理、相似三角形、勾股定理等综合求解. 图3 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 2.核心推论 相交弦定理推论：若弦与直径垂直相交，则该弦的一 半是它分直径所成的两条线段的比例中项，即CE2＝ AE·BE，其中AB为直径，CD⊥AB于点E(如图). 高频考点：结合垂径定理与相交弦定理推论求线段 长度，如求弦长或直径分段长度. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 三、考向 圆幂定理中的相交弦定理、切割线定理、割线定理常用于求线段长度，其中相交弦定理、切割线定理运用较多，常结合相似三角形解题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 命题研究·考向标 02 9 命题点一 相交弦定理推论取代垂径定理(基础) 已知弓形的高或弓形的深和弦长或半径，利用垂径定理或相交弦定理推论求圆内线段的长度. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 10 例1 如图1，某实验装置中有一个底部呈球形 的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体已经过 半，其截面示意图如图2所示，最大深度CD ＝7 cm，则截面圆中弦AB的长为_______cm.  2 【思路点拨】图2中，连接OA.由垂径定理，得AC＝BC＝AB，再由勾股定理求出AC的长，从而得出AB的长. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 11 1.我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了 246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算 法早1 500年.其中有这样一个问题：“今有圆材， 埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道 长一尺，问径几何?”用数学语言可以表述为：“如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸(注：1尺＝10寸)，则可得直径CD的长为____________寸.”  变 式 训 练 26 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 12 命题点二 相交弦定理(难点) 已知圆内的两条相交弦AB，CD，交点为P，利用PA·PB＝PC·PD的等积式求线段长度. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 13 例2 如图，☉O上有A，B，C三点，AC是直径，D是劣弧AB上一点，连接CD交AB于点E，☉O的切线CF与AB的延长线相交于点F，且FC＝FE.若cos F＝，BE＝2，求AC和DE·EC的值. 解：∵AC是直径，∴∠ABC＝∠CBF＝90°. ∵cos F＝，∴. 设BF＝3k，则CF＝5k，∴BC＝＝4k. ∵CF＝EF，BE＝2，∴2＋3k＝5k，解得k＝1. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 14 ∴CF＝5，BF＝3，BC＝4.∵CF是切线，∴∠ACF＝90°. 在Rt△ABC中，tan F＝，∴AC＝CF＝. 在Rt△ACF中，cos F＝，∴AF＝. ∴AE＝AF－EF＝－5＝. 由相交弦定理可知DE·EC＝AE·BE＝×2＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 15 命题点三 切割线定理(难点) 已知圆外一点引圆的切线PT和一条割线PAB，利用PT2＝PA·PB的等积式求线段长度. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 16 例3 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的 一部著作，它是欧洲数学的基础，被广泛地认为是 历史上学习数学几何部分最成功的教科书.下面是其 中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项，即如图1，AB是☉O的切线，直线AD为☉O 的割线，则AB2＝AC·AD. 任务： (1)如图1，求证：AB2＝AC·AD； 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 17 证明：图1中，连接BO并延长交☉O于点E，连接 BD，BC，CE. ∵AB是☉O的切线，OB是☉O的半径， ∴∠ABC＋∠CBE＝90°. ∵BE是☉O的直径，∴∠BCE＝90°. ∴∠E＋∠CBE＝90°.∴∠ABC＝∠E. ∵∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠CDB.又∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB.∴.∴AB2＝AC·AD. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 18 (2)如图2，已知AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，割线CF与AB交于点E，且满足CD∶DE∶EF＝1∶2∶1，AC＝8，求AB的长. 图2 ∵CD∶DE∶EF＝1∶2∶1，∴设CD＝x，DE＝2x， EF＝x，则CF＝4x.由切割线定理，得AC2＝CD·CF， 则82＝x·4x，解得x＝4(负值已舍去).∴CD＝4，DE＝8， EF＝4，则CE＝12.∴AE＝＝ 4.由相交弦定理，得AE·BE＝DE·EF，∴BE＝ .∴AB＝AE＋BE＝4. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 03 实战演练·提素养 20 一、填空题 1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面☉O的半径为 5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则 油面AB上升了____________cm.  1或7 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 21 二、解答题 2.如图，PT是☉O的切线，T为切点，PA是割线，交☉O于A，B两点，与直径CT交于点D.已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，求PB的长. 解：∵TD·CD＝AD·BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6. ∵PT是☉O的切线， ∴∠PTD＝90°.∴PT2＝PD2－TD2. ∴PT2＝PB·PA＝(PD－BD)(PD＋AD). ∴PD＝24.∴PB＝PD－BD＝24－4＝20. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 22 3.如图，直线BC与☉A相切于点C，连接BA并延长与☉A交于点E，连接CE，CD. (1)求证：△BDC∽△BCE； 证明：∵直线BC与☉A相切， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC. ∵DE是☉A的直径，∴∠DCE＝90°.∴∠DEC＋∠ADC＝90°. ∴∠DEC＝∠BCD. 又∵∠B＝∠B，∴△BDC∽△BCE. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 23 (2)若AC＝3，BC＝4，求tan∠ACD的值. 解：∵在☉A中AC＝3，∴AE＝AC＝AD＝3. ∵直线BC与☉A相切，∴BC2＝BD·BE. ∴42＝BD·(BD＋ED)＝BD·(BD＋6). ∴BD2＋6BD－16＝0，解得BD＝2或BD＝－8(不合题意，舍去). ∵△BCE∽△BDC，∴＝2. ∴在Rt△EDC中，tan∠EDC＝＝2， 由(1)知∠ACD＝∠ADC，∴tan∠ACD＝tan∠EDC＝2. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 4.阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角，如图1中∠CBD即为弦切角.同学们研究发现：A为☉O上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切☉O于点B时，易得弦切角∠CBD＝∠A. 图1 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 25 问题拓展：如图2，A是优弧上任意一点，DB切 ☉O于点B，求证：∠CBD＝∠A. 证明：连接BO并延长交☉O于点A'，连接A'C，如 图2所示. ∵DB与☉O相切于点B，∴∠A'BD＝____________°.  ∴∠A'BC＋∠CBD＝90°. ∵A'B是☉O的直径， 图2 90 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 ∴∠A'CB＝90°(_________________________).(填写依据)  ∴∠A'＋∠A'BC＝90°. ∴∠CBD＝∠A'(___________________).(填写依据)  又∵∠A'＝∠A(______________________________). (填写依据)  ∴∠CBD＝∠A. (1)将上述证明过程及依据补充完整. 图2 直径所对的圆周角是直角 同角的余角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 (2)如图3，△ABC的顶点C在☉O上，AC和☉O相交于点D，且AB是☉O的切线，切点为B，连接BD.若AD＝2，CD＝6，BD＝3，求BC的长. 解：由题意可知∠ABD＝∠C. 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴. ∴.∴AB＝4或AB＝－4(舍去).∴BC＝6. 图3 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 5.阅读下列材料，完成相应任务： 　　弗朗索瓦·韦达，法国杰出数学家，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”.他还发现从 圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的比例中项(切割线定理). 如图1，P是☉O外一点，PC是☉O的切线，PA是☉O的 一条割线，与☉O的另一个交点为B，则PC2＝PA·PB. 图1 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 29 证明：如图2，连接AC，BC，过点C作☉O的直径CD，连接AD. ∵PC是☉O的切线，∴PC⊥CD. ∴∠PCD＝90°，即∠PCB＋∠BCD＝90°. …… 图2 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 30 任务： (1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分； 解：∵CD是☉O的直径，∴∠CAD＝90°， 即∠DAB＋∠BAC＝90°.∵∠DAB＝∠BCD， ∴∠PCB＝∠BAC.又∵∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC. ∴PC∶PA＝PB∶PC.∴PC2＝PA·PB. 图2 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 31 (2)如图3，PA与☉O相切于点A，连接PO并延长与☉O交于点B，C，∠P＝∠BAD，BC＝8，AP＝3BP，连接CD. ①CD与AP的位置关系是____________； 解析：∵∠BCD＝∠BAD，∠P＝∠BAD， ∴∠P＝∠BCD.∴CD∥AP. 平行 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 32 ②求BD的长.  解：图3中，连接AC.∵PA与☉O相切，PC为割线，∴PA2＝PB·PC. ∵AP＝3BP，∴PC＝9BP.∴BC＝8BP＝8，即BP＝1.∴AP＝3，PC＝9. 由(1)可得△PAB∽△PCA，∴PA∶PC＝AB∶CA＝3∶9.∴AC＝3AB.∵BC是直径，∴∠BAC＝90°.由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2， ∴AB2＋(3AB)2＝BC2，即10AB2＝82.∴AB＝. 由(1)可得∠PAB＝∠ADB.又∠P＝∠BAD，∴△PAB∽△ADB. ∴AB∶DB＝PB∶AB，即∶BD＝1∶.∴BD＝. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 33 本讲内容结束 $