13.专题七 微专题13 圆的切线•垂直半径意缱绻-【解密中考】2026年湖北中考数学专题复习配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的切线”核心考点，严格对接中考考标要求，系统梳理切线的定义、判定定理与性质定理，分析切线与半径垂直、切线长相等、切线性质推论三大高频考点，归纳切线证明、角度线段计算、阴影面积求解等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+模型建构+技巧指导”模式，如结合2025年武汉中考真题，示范“连半径证垂直”“作垂直证半径”等判定方法，培养学生推理能力与几何直观。通过切线与直角三角形、锐角三角函数的综合题解析，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，助力学生高效备战中考。

专题七　圆的综合应用模型 微专题13　圆的切线•垂直半径意缱绻 《解密中考》 2026湖北数学 1 2 1 2 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 2 3 实战演练·提素养 目 录 2 考点综述 知识建构·储备仓 01 3 一、考标 1.能准确表述切线的定义、判定定理与性质定理，并能通过图形识别切线的关键要素(如切点、半径、垂线). 2.能熟练运用定理进行简单证明与计算：(1)证明某直线是圆的切线； (2)已知切线求角度或线段长度；(3)结合切线长定理解决实际问题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 4 二、考点 (一)核心性质(3个关键考点) 1.切线与半径垂直：圆的切线垂直于过切点的半径(高频考点，证明垂直关系的核心依据). 2.切线长相等：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等(常与角平分线结合，用于线段等量代换). 3.切线性质推论：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心(用于确定圆心或切点位置). 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 (二)判定方法(2种核心思路) 1.已知公共点(连半径，证垂直)：若直线与圆有已知交点，连接该点与圆心(构造半径)，证明半径与直线垂直即可. 2.未知公共点(作垂直，证半径)：若直线与圆无已知交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径即可. 三、考向 近年来，切线的性质与判定是中考高频考点，常与三角形、四边形、相似形等知识综合考查.题型包括直接考查切线的判定与性质；结合尺规作图考查切线的应用；综合题中融合切线与其他几何模型，要求证明切线并结合垂径定理求线段长度. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 命题研究·考向标 02 7 命题点一 切线与直角三角形(基础) 切线与半径垂直，常构造“半径＋切线＋圆心与圆外点的连线”组成的直角三角形(如Rt△OPA，OA⊥PA，OA为半径，PA为切线长). 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 8 例1 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作☉D交AB于点E. (1)求证：☉D与AC相切； 证明：过点D作DF⊥AC于点F. ∵∠B＝90°，∴AB⊥BC. ∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴DF＝BD. ∵BD是☉D的半径，∴☉D与AC相切. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 9 (2)若AC＝5，BC＝3，试求AE的长. 解：设☉D的半径为x. ∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5， ∴AB＝＝4. ∵AC，BC是☉的切线，∴CF＝BC＝3.∴AF＝AC－CF＝2. ∵AB＝4，∴AD＝AB－BD＝4－x. 在Rt△AFD中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22，解得x＝. ∴AE＝4－2x＝1. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1.如图，AB是☉O的直径，D为☉O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B. (1)求证：CD是☉O的切线； 变 式 训 练 证明：连接OD. ∵AB是☉O的直径，∴∠BDA＝90°， ∴∠BDO＋∠ADO＝90°. ∵OB＝OD，∠CDA＝∠B， ∴∠B＝∠BDO＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CD. ∵OD为☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 11 (2)若DE＝2，∠BDE＝30°，则CD的长为____________.  提示：连接OE. 2 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 12 命题点二 切线与阴影部分面积(难点) 以切线长、半径和圆心连线为边界，结合扇形面积，计算阴影部分面积(常用“直角三角形面积－扇形面积”求解).先确定扇形圆心角(由切线性质或已知角度推出)，再分别计算直角三角形和扇形面积，作差得阴影部分面积. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 13 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是的中点. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 14 (1)求证：BC是☉O的切线； 证明：连接OE，OD. ∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°. ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝45°. ∴∠AOD＝90°. ∵E是的中点.∴∠DOE＝∠EOF＝∠DOF＝45°. ∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°.∴OE⊥BC. ∵OE是☉O的半径，∴BC是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 15 (2)若CE＝，求图中阴影部分的面积(结果保留π). 解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，∴△OEB是等腰直角三角形. 设BE＝OE＝x，则OB＝x，∴AB＝x＋x. ∵AB＝BC，∴x＋x＝(＋x)，解得x＝2. ∴S阴影＝S△OEB－S扇形OEF＝×2×2－＝2－. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 2.(2025·武汉) 如图，点A，B，C，D在☉O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E. (1)求证：CE是☉O的切线； 变 式 训 练 证明：连接OC. ∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°. ∵CE∥BD， ∴∠OCE＝180°－∠BOC＝90°，即CE⊥OC. ∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 17 (2)若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积. 解：过点B作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，∴四边形BOCF是矩形. ∵BD是☉O的直径，BD＝4，∴OC＝OB＝BD＝2. ∴四边形BOCF是正方形.∴BF＝OB＝2. ∵CE∥BD，∴∠E＝∠ABD. ∵tan∠ABD＝2，∴＝tan E＝tan∠ABD＝2.∴EF＝BF＝1. ∴S阴影＝S△BEF＋S正方形BOCF－S扇形OBC＝×1×2＋22－＝5－π. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 18 命题点三 切线与锐角三角函数(常考) 在切线构成的直角三角形中，结合已知角度(如圆心角、圆周角)，用锐角三角函数求半径、切线长或圆外点到圆心的距离. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 19 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作☉O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过点M作MN⊥AB，垂足为N. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 20 (1)求证：MN是☉O的切线； 证明：连接OM. ∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AB＝BD.∴∠DCB＝∠DBC. ∴∠OMC＝∠DBC.∴OM∥BD. ∵MN⊥BD，∴MN⊥OM. ∵OM是☉O的半径，∴MN是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 21 (2)若☉O的直径为5，sin B＝，求ED的长. 解：连接DM，CE. ∵CD是☉O的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°， 即DM⊥BC，CE⊥AB. 由(1)知BD＝CD＝5，∴M为BC的中点. ∵sin B＝，∴cos B＝. 在Rt△BMD中，BM＝BD·cos B＝4，∴BC＝2BM＝8. 在Rt△CEB中，BE＝BC·cos B＝， ∴ED＝BE－BD＝－5＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 3.如图，PA是☉O的切线，切点为A，AC是☉O的直径，连接OP交☉O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，交☉O于点B，连接BC，PB. 变 式 训 练 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 23 (1)求证：PB是☉O的切线； 证明：连接OB.∵AB⊥PO，∴AD＝BD. 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△OAD≌△OBD(SSS).∴∠AOD＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SAS).∴∠OAP＝∠OBP. ∵PA是☉O的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OBP＝∠OAP＝90°，即PB⊥半径OB.∴PB是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 24 (2)求证：E为△PAB的内心； 证明：连接AE.∵PA为☉O的切线， ∴∠PAE＋∠OAE＝90°. ∵AD⊥ED，∴∠DAE＋∠AED＝90°. ∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD. ∵PA，PB为☉O的切线，∴PD平分∠APB.∴E为△PAB的内心. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 25 (3)若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长. 解：由(1)可知∠OAP＝90°，∴∠PAB＋∠BAC＝90°. ∵AC是☉O的直径，∴∠BCA＋∠BAC＝90°.∴∠PAB＝∠BCA. ∴cos∠PAB＝cos∠BCA＝，即. ∴AC＝.∴AO＝AC＝. ∵AB⊥PO，∴∠DOA＋∠BAC＝90°.∴∠DOA＝∠PAB. ∴在Rt△AOP中，PO＝÷＝5. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 03 实战演练·提素养 27 一、选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.(2025·武汉) 如图，四边形ABCD内接于☉O，＝2.若AB＝6， CD＝，则☉O的半径是(　　) A.　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　 D.5 A 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 28 2.(2025·山东) 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的 广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图 是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外 接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的 面积是(　　) A.π B.2π C.3π D.4π D 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 29 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB， 以点D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切 点为E.若，则sin C的值是(　　) A. B. C. D. B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 30 二、填空题 4.(2025·安徽) 如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在 线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为____________°.  20 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 31 5.如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为____________(结果保留π).  π 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 32 6.(2025·无锡) 如图，AB与☉O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交☉O于点C，连接AC，交线段OB于点D.若AB＝3，OC＝2， 则tan A的值为___________.    首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 33 三、解答题 7.(2025·湖北) 如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD＝FG； 证明：∵DF⊥AB，GF是☉O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF.∴∠G＝∠BAC＝45°. ∴∠FDG＝90°－45°＝45°， 即△DFG是等腰直角三角形.∴FD＝FG. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 34 (2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径. 解：∵DF⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝6. ∵∠BAC＝∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形.∴EA＝ED＝6. 由(1)，得FD＝FG＝10.∴EF＝DF－DE＝10－6＝4. 连接OA，设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA. 在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即(x＋4)2＝62＋x2. 解得x＝.∴OA＝x＋4＝＋4＝. ∴☉O的半径为. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 35 本讲内容结束 $