10.专题六 微专题10 射影定理•母子相依映斜阳-【解密中考】2026年湖北中考数学专题复习配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“射影定理及母子相似模型”核心考点，严格对接中考考标要求，系统分析考向分布，涵盖直接考查（选择填空）、中档解答（先证后用）、综合压轴（结合圆或函数）等题型，归纳线段计算、比例证明等常考问题，体现备考针对性。 课件以“知识建构-命题研究-实战演练”为体系，通过母子相似证明、圆切线结合等例题培养推理意识与几何直观，实战题分层训练，指导学生掌握模型识别和设参列方程技巧，助力学生高效突破考点，为教师提供系统复习方案，提升中考冲刺效果。

专题六　相似三角形核心模型 微专题10　射影定理•母子相依映斜阳 《解密中考》 2026湖北数学 1 2 1 2 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 2 3 实战演练·提素养 目 录 2 考点综述 知识建构·储备仓 01 3 一、考标 1.能识别直角三角形中的“母子”相似模型结构，明确角的关系，理解射影定理与“母子相似”的联系，建立“图形－定理－性质”的认知体系. 2.掌握射影定理的推导过程，能准确表述三个核心结论，并能结合图形写出对应的比例式与等积式. 3.能运用射影定理解决直角三角形中的线段计算、比例式或等积式的证明问题，提升运算能力与逻辑推理能力. 4.能在复杂几何背景中剥离“母子”相似模型，结合勾股定理、相似三角形性质、圆的切线性质等综合求解，培养模型迁移能力，体会“转化”思想. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 4 二、考点 1.核心模型与定理推导 (1)母子相似模型：在△ABC(∠ACB＝90°)中，AB⊥CD(斜边上的高)，△ABC(母)∽△ACD(子)∽△CBD(子)，构成射影定理的图形基础. (2)射影定理：①直角边：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB； ②斜边上的高：CD2＝AD·BD. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 2.定理的直接应用 (1)线段计算：已知直角三角形中的任意两条相关线段，用定理求未知线段. (2)与勾股定理综合：当条件不足时，可设未知参数，联立射影定理与勾股定理列方程求解. (3)证明与角度推导：证线段比例或等积式；借助母子相似推导锐角等量关系，并结合三角函数转化线段比例. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 3.模型的综合拓展 (1)含折叠的直角三角形：折叠后形成新的直角或斜边上的高，构造“母子”相似模型，结合射影定理求线段长度. (2)直角三角形与圆结合：以直角三角形的斜边为直径作圆，圆上一点与直角顶点的连线垂直于斜边，构造“母子”相似模型，结合圆的性质与射影定理解决问题. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 三、考向 近年来，射影定理作为直角三角形部分的核心考点，命题呈现“基础直接运用”与“综合灵活构造”并重的特点： 1.直接考查：常见于选择题或填空题，考查定理的基本应用(如求直角边、射影长度等)，侧重记忆与简单计算，难度较低. 2.中档解答题：常结合图形性质或几何变换，要求先证明母子相似，再运用定理求线段长度或证明比例式，侧重“先证后用”的逻辑过程. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 3.综合压轴题：多融入圆的切线、二次函数背景下的动态几何等问题，需要先识别或构造母子相似模型，再综合运用射影定理、勾股定理、函数表达式等求解. 4.创新命题：将实际问题转化为直角三角形模型，借助定理简化计算；或通过“定理逆用”考查逆向思维能力. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 考点综述 命题研究·考向标 02 10 命题点一 射影定理——证明与计算 “母子”相似模型的图形特征：通常有一 个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于 小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀. 条件：∠C＝∠ABD. 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 模 型 构 建 图1　“母子”模型(斜射影模型) 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 11 图2　双垂直模型(射影模型) 条件：∠ACB＝90°，CD⊥AB. 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 12 例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高. (1)求证：△ABD∽△CBA； 证明：∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高， ∴∠ADB＝90°，∠B＋∠C＝90°. ∵∠B＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C. 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长. 解：∵△ABD∽△CBA，∴. ∵AB＝6，BC＝10，∴BD＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1.如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA. (1)求证：AC2＝BC·CD； 变 式 训 练 证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△BAD∽△ACE.∴∠B＝∠EAC. 又∵∠ACB＝∠DCA，∴△ABC∽△DAC.∴.∴AC2＝BC·CD. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 15 (2)若AD是△ABC的中线，求的值. 解：∵△BAD∽△ACE，∴∠BDA＝∠AEC. ∴∠CDE＝∠CED.∴CD＝CE. ∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2BD＝2CD. ∴AC2＝BC·CD＝2CD2，即AC＝CD. ∴. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 16 命题点二 射影定理与圆 直径所对的圆周角为直角＋射影定理(直角三角形斜边上高的线段比例关系)＋角平分线性质＋等角转化(通过直角与垂直条件推导的角的等量关系)→先根据相似三角形的性质推导出线段的等量关系，再通过设参建立方程求解. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 17 例2 如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(不与M，N重合)， PH⊥MN于点H，过点N作NQ∥PH交MP的延长线于点Q. (1)求∠QPN的度数； (2)求证：QN与☉O相切； (1)解：∵MN是直径，∴∠MPN＝90°，∴∠QPN＝90°. (2)证明：∵PH⊥MN，∴∠PHM＝90°. ∵QN∥PH，∴∠QNM＝∠PHM＝90°.∴ON⊥QN. ∵ON是半径，∴QN与☉O相切. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 18 (3)若PN2＝PM·MN，求的值. 解：∵∠MNP＋∠PNQ＝90°，∠PNQ＋∠Q＝90°， ∴∠MNP＝∠Q. 又∵∠MPN＝∠QPN，∴△NPM∽△QPN.∴. ∴PN2＝PM·PQ. ∵PN2＝PM·MN，∴PQ＝MN. ∵PH∥QN，∴.∴. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 19 同理△MHP∽△MPN，∴.∴HN＝MP. 设PQ＝MN＝a，MP＝b，∴，∴. ∴a＝b(舍去)或a＝b. ∴. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 20 2.如图，在☉O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B. 变 式 训 练 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 21 (1)求证：CF是☉O的切线； 证明：连接OC. ∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO. ∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B. ∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°.∴∠COE＋∠OCE＝90°. ∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE.∴∠FCD＋∠OCE＝90°. ∴∠OCF＝90°.∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 22 (2)求EF的长. 解：∵AB是直径，且AB⊥CD，∴CE＝CD＝6. ∵AB＝20，∴OC＝10.∴OE＝＝8. ∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC， ∴△OCE∽△OFC.即.∴.∴OF＝. ∴EF＝OF－OE＝－8＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 23 命题点三 射影定理与四边形 射影定理(直角三角形斜边高的线段比例关系)＋四边形对角线相等且互相平分＋相似三角形判定(两边成比例且夹角相等)→先通过射影定理转化线段比例，再结合公共角证明相似. 模 型 构 建 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 24 例3 【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD 相似证明AC2＝AD·AB，这个结论我们称之为射 影定理，试证明这个定理； 图1 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°. 又∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC. ∴AC∶AB＝AD∶AC. ∴AC2＝AD·AB. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 25 【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O 是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作 CF⊥BE，垂足为F，连接OF.试利用射影定理证明 △BOF∽△BED； 图2 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°. ∴BC2＝BO·BD. ∵CF⊥BE，∴BC2＝BF·BE.∴BO·BD＝BF·BE.∴. 又∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 26 3.在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为射线BC上一 个动点.AE与边CD交于点P. (1)如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF.若 AF2＝CP·CD，则∠EFC＝____________°；  (2)如图2，F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED.若菱 形的边长为2，则当DE⊥BC时，△CEF的面积为 ___________.  变 式 训 练 图1 图2 30 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 27 考点综述 03 实战演练·提素养 28 一、选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8， ∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　) A.4 B.4 C.6 D.4 B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 2.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝ ∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB 的周长比是(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 B 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC， 垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F， E.若AB∶BC＝3∶4，则BF∶FD为(　　) A.5∶3 B.5∶4 C.4∶3 D.2∶1 A 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 4.如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连 接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正 方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG.以下 四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD； ③2AE2＝AH·AC；④DG⊥AC.其中正确的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 二、填空题 5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则 AD∶AC的值为__________.  首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 6.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在边AB上，∠ACB＝ ∠ADC，则AD的长为____________.  6.4 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 7.如图，在矩形ABCD中，BD＝4，对角线AC与BD相交于点O，过 点D作DE⊥AC于点E，AE＝3CE，则DE2的值为____________.  9 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 8.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，∠BED＝90°， EB＝ED，连接AE.若BC＝3，则△ABE的面积为____________.  4.5 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 三、解答题 9.如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，BC交☉O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F. (1)当∠B＝40°时，∠CAD＝____________°；  40 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 (2)求证：∠C＝2∠EAB； 证明：连接AD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵AC是☉O的切线，∴∠CAB＝90°. ∴∠C＋∠B＝90°，∴∠C＝∠BAD. ∵E是的中点，∴， ∴∠EAB＝∠DAE＝∠BAD.∴∠C＝2∠EAB. 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 (3)已知CD＝9，CA＝15，则DF＝____________.  6 首页 目录 知识建构·储备仓 命题研究·考向标 实战演练·提素养 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 本讲内容结束 $