寒假预习衔接：数学广角——找次品应用题(专项训练)-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假预习衔接：数学广角——找次品应用题 1．6枚一元的硬币中有一枚是假币，它比其他5枚略重一些，至少称几次才能把假币找出来？ 2．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） 3．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。 （1）最好的方法是先把这8副中药分成（    ），然后再称。 （2）请说明这样来分的理由。 （3）请画出称量的流程图。 4．哥哥和弟弟今年年龄的和是28岁，6年后，弟弟比哥哥小4岁．今年哥哥和弟弟各是几岁？ 5．柜子中有5袋盐，其中的4袋每袋重500克，另一袋的质量不是500克，但不知道比500克重还是轻。你用无砝码的天平至少称几次就能找出贡量不是500克的那袋盐呢？ 6．有9个乒乓球，其中有一个次品（稍轻一点）。现在要把它挑出来，你能用天平（不用砝码），只称两次就把这个次品找出来吗？ 7．有10袋盐，其中9袋质量相同，另有1袋轻些，至少称几次能保证找出这袋轻一些的盐？ 8．有10盒饼干，其中9盒的质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称几次可以保证找出这盒饼干？请表示出找的过程。 9．有9个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其它球轻一些，用天平至少称几次才能保证找到次品？请用图画、文字说明你的方法。 10．有58袋方便面，其中57袋的质量相同，另外1袋缺。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量较轻的方便面？ 11．有5袋盐，其中4袋每袋500g，另一袋不是500g，但不知道是比500g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以保证找出这袋盐？ 12．小明偷吃了妈妈买的15袋果冻的一袋，使这袋里面少了5个果冻，如果妈妈用天平称．至少要多少次一定可以找出这一袋？ 13．有14个球，其中13个质量相同，余下的一个质量较轻，是不合格产品，用天平至少称几次才能保证找出这个不合格产品？ 14．有12盒糖果，其中有11盒质量相同，另一盒少3块，如果用天平称，至少称多少次能保证找出这盒糖果？ 15．爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？ 16．中秋节那天，马阿姨买了一些月饼，其中一盒质量不足．用天平称，保证称2次就能找出质量不足的那盒．马阿姨至少买了几盒月饼？最多买了几盒月饼？ 17．有7盒巧克力，其中有一盒少了几块，其余的质量相同，如果用天平称，至少称几次可以找出这盒巧克力？     （1）如果天平两边各放3盒，称一次有可能称出来吗？     （2）如果用天平称，你打算怎么称？（用表示巧克力，表示称的过程） 18．黄阿姨买了9盒饼干，其中1盒少了6块。 （1）如果用天平称，至少称几次可以把它找出来？ （2）如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出来吗？ 19．张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 20．有4枚外表完全相同的硬币，其中有3枚真币和1枚伪币，伪币与真币的重量不同，但是不知道伪币比真币轻还是重。现在只有一架没有砝码的天平。请问至少用天平称几次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重？ 21．有10瓶同样的水，小红往其中的一瓶中加了一些糖，如果用天平称，那么至少称几次就能保证找出那瓶加糖的水？请绘图表示你称的过程。 22．有27个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次能保证找出次品零件？ 23．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 24．一个偶然的机会，阿凡提从他的朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻，于是他找来一架天平，想用它找出那枚假的硬币．他至少需要用天平称几次才能找出假的硬币？ 25．在4个金饰品中有一个是次品，次品与正品外观完全一致，只是重量有些差别，现有一个标准金饰品和一架没有砖码的天平，那么最多称多少次能找出次品？ 26．一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 27．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 28．要保证4次能测出待测的物品中的次品（只含有一个次品，且次品比正品轻），待测物品的数目最多是多少个？ 29．有16瓶同样的水，小明往其中1瓶加了一些盐．如果用天平称，那么至少称几次才能保证找出加盐的那瓶水？ 30．有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 31．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 32．有13盒糖果，其中12盒质量相同，另有一盒少了几颗糖，如果用天平称，至少几次可以找出这盒糖果？请写出过程。 33．有7袋洗衣粉，其中6袋质量相同，有1袋重一些，如果能用天平秤，至少需要称几次能保证找出这袋洗衣粉？ 34．有9袋方便面，其中有8袋质量相同，另有一袋缺6克，用天平称，至少称几次就一定能保证找出这袋质量轻的方便面？请绘图表示你称的过程。 35．有5个砝码，它们的质量分别为100克、101克、102克、104克、107克，但它们的外观完全相同，无法看出轻重。现有一台带指针的台秤，它可以称出300克以内的物体的质量，怎样称至少3次就可以保证找出质量为100克的砝码？请写出操作步骤。 36．一箱橘子有11袋,其中10袋质量相同,另外1袋质量轻一些,用天平至少称几次能保证找出这袋橘子来?请画图表示． 37．现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？ 38．有11个零件，其中有一个是次品，比正品重，用天平至少称几次就一定能找出这个次品？请写出你称的过程。 39．一箱橙子有15袋,其中有14袋质量相同,另外有1袋质量轻一些,至少称几次能保证找出这袋橙子?(请你试着表示称的过程) 40．有26个碟子，其中1个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称几次能保证把次品找出？ 41．有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？ 42．一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案。） 43．有4瓶鱼肝油，其1瓶多了几粒，至少称多少次能保证找出多了几粒的那1瓶？ 44．近年来我国新能源汽车制造业发展迅速，截止到2022年我国新能源汽车产销连续8年全球第一，这归功于新能源汽车制造企业的科技研发和精益求精。质检员王师傅发现19个零件中有一个不合格的零件，比其他零件轻一些，他用天平至少称几次能保证找到这个不合格的零件？ 45．有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 46．有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 47．有10袋冰糖，其中9袋重400克，1袋重390克，用天平称，至少称几次，才能找出这袋重390克的冰糖？ 48．药厂抽检一批药品，抽查的19盒药中有1盒不合格（质量稍重一些）．     （1）至少称几次能保证将这盒药找出来？     （2）如果在天平两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？ 49．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 50．有9颗珍珠，其中有1颗是假的，质量比真的略轻，现有一台天平，只称2次，你能把假珍珠找出来吗？请画图表示。 51．有12袋盐，其中有11袋质量相同，另一袋质量轻一些。至少称几次保证找出这袋盐？ 52．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？ 53．有14包糖，外观完全相同，但有一包比其他的少了10克，如果用没有砝码的天平秤称，最少需要几次才能把这包少的找出来？(请用文字说明或画图说明) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．2次 2．三次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份， 第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份， 第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。 答：最快三次找出那个球。 3．（1）（3，3，2） （2）见详解 （3）见详解 【分析】为了尽可能的缩小次品所在的范围，应该尽量把待测物品平均分成三份，也就是（3，3，2），在天平两边各放3副，若平衡，则次品在剩下的2副中，再称1次即可；若不平衡，次品在较轻的3副中，把这3副分成（1，1，1），在天平两边各放1副，若平衡，剩下的那包就是次品，若不平衡，较轻的那副就是次品。 【详解】（1）最好的方法是先把这8副中药分成（3，3，2），然后再称。 （2）尽可能的缩小次品所在的范围。 （3）流程图如下： 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 4．哥哥：16岁  弟弟：12岁 【详解】解：设哥哥今年x岁，则弟弟今年(x-4)岁, x-4+x=28 解得，x=16 弟弟：16-4=12（岁） 答：今年哥哥16岁，弟弟12岁. 5．3次 【详解】（1）等一次称量：先把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右相等，那么说明剩下的那一袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边； （2）第二次称量：把左边的两袋分别放在天平的左右两边称量：如果相等，那么次品在右边一组的两袋中，如果不等，那么说明这两袋中有一袋是次品； （3）把确定有次品的2袋盐，分别与其它三袋中的任意一袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以利用天平的平衡原理得出它的质量是大于500克或是小于500克。 6．可以 【分析】可采取把9个乒乓球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可。 【详解】把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则次品乒乓球在第三组，第二次称第三组其中的两个乒乓球，若天平平衡，则次品乒乓球就是第三个，若不平衡，上升的一边就是次品乒乓球； ②若天平不平衡，则次品在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是次品，若不平衡，轻的一边就是次品。 所以，至少称2次就可以确保找到那个次品乒乓球。 故答案为：2 7．3次 【详解】略 8．3次，过程看详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把10盒分成两组，每组5盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组5盒分成三组，分别是2盒，2盒，1盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的一组2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边； 因此，即至少称3次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】天平秤的平衡原理，是解答本题的依据，关键是明确每次取饼干的盒数。 9．2次；过程见详解 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】 由上可知，用天平至少称2次才能保证找到次品。 答：用天平至少称2次才能保证找到次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 10．4次 【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3袋或3袋以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的袋数与少的那份的袋数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 【详解】第一次，把58袋分成19袋、19袋和20袋三份，先在天平的两边各放19袋称，如果一样重，那么另外的20袋中有次品；如果一重一轻，那么轻的19袋内有次品； 当物品的数量在10~27个时，即32＜物品的数量≤33，至少称3次能保证找出次品。 则一共需要4次。 答：用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量较轻的方便面。 【点睛】当物品的数量在28~81袋时，即33＜物品的数量≤34，至少称4次能保证找出次品。 11．3次 【分析】根据题意，第一次把5袋盐分成3份：2袋、2袋、1袋，取2袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋不是500克，若天平不平衡，继续第二次称量，在天平两边各取1袋，分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的包含不是500克的，若天平不平衡，取较重的一袋与其他一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则剩余一袋不是500克（比500克轻），若天平不平衡，则较重的一袋不是500克；第三次，在剩余2袋中取一袋，与前面的任一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个不是500克，若天平不平衡，则这袋不是500克，据此解答。 【详解】 答：至少称3次可以保证找出这袋盐。 【点睛】本题主要考查找次品，关键利用天平平衡原理解题。 12．3次 【详解】略 13．3次 【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少，据此作答即可。 【详解】把14个球尽可能平均分成3份，每份分别是5个、5个、4个，称法如下：    答：用天平至少称3次才能保证找出这个不合格产品。 【点睛】主要考查找次品问题，关键是在天平两边要放同样多的情况下，不断减少次品所在的范围。 14．3次 【详解】略 15．能；3次 【分析】根据题意可知，一本被撕了几页的信笺质量就比原来信笺的质量轻，由于信笺数大于3本，考虑将其分为三组（6，6，1），接下来将前两组称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将信笺平均分成两组进行称重，即可解答。 【详解】将这13本信笺分成3组（6，6，1）； 第一次称量：在天平两边各放6本，可能出现两种情况：（把少的那本看做被撕过的） ①如果天平平衡，则次品是剩余的那本； ②如果天平不平衡，则次品在托盘上升那边6本里； 第二次称量：取托盘上升的6本，在左、有盘中分别放3本，上升部分有次品； 第三次称量：取托盘上升的3本中的2本，分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升是次品。 答：能用天平把这本被斯过的信笺找出来，至少需要3次。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的一本是被撕过的信笺。 16．4盒   9盒 【详解】略 17．（1）有可能。 （2） 如果平衡，剩下一盒为次品；如果不平衡，将轻的一端的3盒，天平两端各放一盒，若平衡，剩下一盒即为次品，如果不平衡，低的那端是次品。 【分析】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理解答即可。 【详解】（1）如果天平两边各放3盒，如果平衡，剩下一盒为次品，所以称一次有可能称出来。 （2）根据题意，解答如下： 如果平衡，剩下一盒为次品；如果不平衡，将轻的一端的3盒，天平两端各放一盒，若平衡，剩下一盒即为次品，如果不平衡，高的那端是次品。 18．（1）2次； （2）可能 【分析】（1）由题意可知，需要找出的那盒饼干比其它饼干轻，把饼干平均分成三组，先称其中的两组，如果天平平衡那么较轻的饼干在剩下一组里面，如果天平不平衡那么较轻的饼干在天平上翘一端里面，据此找出少6块的那盒饼干，根据称重过程找出称重次数即可； （2）把9盒饼干分成三组（4，4，1），先称数量相等的两组，如果此时天平平衡，那么剩下的一盒为质量较轻的那盒饼干，据此解答。 【详解】（1） 由上可知，至少称2次可以把它找出来。 答：如果用天平称，至少称2次可以把它找出来 （2）如果天平两边各放4盒，此时天平刚好平衡，那么剩下的一盒就是较轻的那盒饼干。 答：如果天平两边各放4盒，称一次有可能找出那盒少6块的饼干。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 19．能；过程见详解 【分析】要达到3次找到这个不合格产品，需要将25个零件尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【详解】至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。 将25个零件分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8个，手里留9个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9个分为3，3，3，在天平两边各放3个，手里留3个， ①如果天平平衡，则次品在手里3个中，接下来，将这3个分为1，1，1，取两份分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中。 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8个中，将这8个分成三份：3，3，2，在天平两边各放3个，手里留2个， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3个中， 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的2个中。 接下来，将这2个分成三份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次能找出这个不合格产品。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 20．2次 【分析】本题的目的是弄清楚伪币比真币轻还是重，但在称时我们还是可以使用三分法来分物品，把4枚硬币分为（1，1，2）先称数量相同的两份，再根据情况称剩下的一份（方法不唯一）。 【详解】 把4枚硬币分为（1，1，2），第一次称前两份：若天平平衡，说明这两枚都是真币，把这两枚放在天平一端，剩下一份（有伪币）放在另一端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。 若天平不平衡，说明这两枚中有一枚是假币，剩下的一份为真币，分别放在天平两端称第二次：若伪币这端更轻说明伪币比真币轻，反之则更重。（方法不唯一） 答：至少用天平称2次，就能保证弄清楚伪币究竟更轻还是重。 21．见详解 【分析】把10瓶水分成3瓶、3瓶、4瓶三份，第一次在天平左右两边各放3瓶； a、如果两边平衡，再把余数的4瓶分成1瓶、1瓶、2瓶三份，第二次在天平左右两边各放1瓶； 如果两边不平衡，则重的那瓶为加糖水的水。 如果两边平衡，接着把余下的2瓶分成1瓶、1瓶两份，第三次在天平左右两边各放1瓶，重的那瓶为加糖水的水。 b、如果两边不平衡，把重的3瓶再分成1瓶、1瓶、1瓶三份，第二次在天平左右两边各放1瓶，若两边平衡，余数那瓶为加糖水的水，否则，重的那瓶为加糖水的水。 【详解】如图： 答：至少称3次就能保证找出那瓶加糖的水。 【点睛】此题主要考查的是找次品问题，要细心分析，熟练掌握方法。 22．3次 【详解】略 23．2次 【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。 【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次） 答：至少称2次能保证找出次品。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。 24．2次 【详解】略 25．3次 【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出次品。 【详解】第一次：任取一个金饰品和标准金饰品放在天平两端，如果平衡，那么次品在未称重的3个金饰品中，如果不平衡，那么任取的这个金饰品是次品； 第二次：将含有次品的3个金饰品，任取2个放在天平两端，如果平衡，那么未称重的1个是次品，如果不平衡，则进行第三次称重； 第三次：将含有次品的2个金饰品，任选一个和标准金饰品放在天平两端，如果平衡，那么未称重的是次品，如果不平衡，那么任选的这个金饰品是次品。 答：最多用3次就能找出次品。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 26．243个 【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。 【详解】3×3×3×3＋1 ＝81＋1 ＝82（个） 3×3×3×3×3＝243（个） 答：这堆玻璃球最多有243个。 27．3次 【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。 【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中； 第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中； 第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 28．81个 【分析】第一次试验分3组，每组的数量相同，可以确定次品所在的组；第二次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第三次试验再将确定的那组继续分为3组，同样操作可得次品所在组；第四次试验在剩下的3个物品中，两两对照，轻的那个就是次品，所以最多可以测出的待测物品数目为：3×3×3×3＝81个。 【详解】3×3×3×3＝81（个） 答：待测物品的数目最多是81个。 29．3次 【详解】根据生活常识可知，盐水要比普通的水重一些。 第一次先把16瓶水分成3份：5瓶、5瓶、6瓶，然后，取5瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续称量； 第二次，把较重的一份分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则盐水在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取较重的一份分别放在天平两侧，即可找到较重的盐水。 答：至少称3次才能保证找出加盐的那瓶水。 30．3次；过程见详解 【分析】第一次：把15个零件分成（5、5、5）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第二次：把有次品的5个零件分成（2、2、1）三组，先称量（2、2）两组，若天平平衡，则另外的那1个是次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第三次：把天平上翘的那一组再分为（1、1）两组，则天平上翘的那一端即为次品；据此解答。 【详解】用天平秤，至少3次就一定能找出次品。 【点睛】解答本题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 31．2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取中药的数量。 32．3次，第一次称量：在天平两边各放6盒，可能出现两种情况：（把少的那盒看做次品） ①如果天平平衡，则次品在剩余的那盒； ②如果天平不平衡，次品在托盘上升那边的6盒里； 第二次称量：取托盘上升的6盒，在左、右盘中分别放3盒，上升者有次品。 第三次称量：取托盘上升的3盒中的2盒分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升者是次品。 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】第一次称量：在天平两边各放6盒，可能出现两种情况：（把少的那盒看做次品） ①如果天平平衡，则次品在剩余的那盒； ②如果天平不平衡，次品在托盘上升那边的6盒里； 第二次称量：取托盘上升的6盒，在左、右盘中分别放3盒，上升者有次品。 第三次称量：取托盘上升的3盒中的2盒分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升者是次品。 答：至少3次可以找出这盒糖果。 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 33．2次 【分析】此题主要考查了找次品的知识，根据天平的平衡原理解答即可，先在天平两边各放3袋，如果平衡，剩下一袋为次品；如果不平衡，将重的一端的3袋拿出来，天平两端各放一袋，若平衡，剩下一袋为次品，如果不平衡，低的那端是次品。 【详解】第一步：把7袋洗衣粉中分成3、3、1，称量3、3两组，若天平平衡，则剩下的那1袋是次品； 第二步：如果天平不平衡，则天平较低的那端一定有稍重的那袋子，再把这3袋分成1，1，1，称量1，1两组，如果天平不平衡，则天平较低的那端一定是稍重的那袋子，如果平衡，则剩下的一袋就是较重的那袋子，故此称量两次一定可以找出较重的那袋子。 【点睛】当物品的数量在4~9个时，即31＜物品的数量≤32，至少称2次能保证找出次品。 34．2次；图见详解 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。 【详解】先把9袋方便面平均分成3份，每份3袋，先拿其中两份进行称重，哪边轻次品就在哪边，将轻的那边的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋是次品； 如果重量相同，则次品在剩下的3袋里，再将剩下的3袋任拿两袋称重，哪个轻哪个就是次品，两袋如果一样，剩下的那袋就是次品。 所以至少要称2次。 作图如下： 【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，注意天平是等臂杠杆，因此两个托盘中一定要放相等数量的方便面。 35．见详解 【分析】先根据砝码的组合进行筛选，确定范围，再继续精确寻找。先写出第一次称2个砝码，质量有10种可能：201克、202克、204克、207克、203克、205克、208克、206克、209克、211克；如果是前4种，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来；如果是后6种，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，需要进一步称。据此解答即可。 【详解】第一次称2个砝码，如果质量是201克、202克、204克、207克，那么100克砝码就在这两个砝码中，再称一次就可以找出来； 如果质量是203克、205克、208克、206克、209克、211克，那么100克砝码就在没有称的三个砝码中，再一个一个称两次，就可以找出100克的砝码。 36． 【详解】略 37．解：先将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27粒．若两边一样重，则假珍珠在天平下的27粒中； 若左边重，则假珍珠在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的27粒中． 然后再将有假珍珠的一堆三等份， 继续上面的做法．因为81=3×3×3×34所以只需要称4次就可将假珍珠挑出来． 【详解】因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③右边重，所以可以用三分法．我们在找次品时，有一定的规律可循，如在找3个物品中的次 品时，天平一边一个，如果平衡，就是剩下的一个，如果不平衡，找出轻【重】的那个，即只需1次就可找出次品；若是9个就把它分成3份，按3，3，3来找， 需要2次…以此类推． 38．3次，过程见详解 【分析】根据题意，一个次品比正品略重一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【详解】要由分析可得： 第一次：在天平左右两端各放4个，如果天平平衡，说明次品在剩下的三个中；如果不平衡，天平较低的一端的零件中有次品； 第二次：如果次品在三个中，天平左右两端各放一共，如果平衡，剩下的一个就是次品，如果不平衡，较低的那端的零件就是次品；如果次品在四个中，天平左右两端各放两个，次品在较低的两个零件中； 第三次：把次品所在的两个零件分别放在天平左右两端，较低的一端的那个零件就是次品。 所以至少称3次就一定能找出这个次品。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量重的零件是次品。 39．3次　15袋橙子(5,5,5) 【详解】略 40．3次 【分析】第一次：先把26个碟子分成（9，9，8），把两个9个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组里； 第二次：再把9分成（3，3，3），可找出有次品的一组； 第三次：再把3分成（1，1，1），可找出次品。 如次品在8个一组里，则把8分成（3，3，2）把两个3个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把3成（1，1，1），可找出次品。如在2个一组里，可再把2分成（1，1），可找出次品。据此解答。 【详解】答：至少称3次能保证把次品找出。 【点睛】当物品的数量在10~27个时，即32＜物品的数量≤33，至少称3次能保证找出次品。 41．3次 【分析】根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4~9个是称2次；10~27个是称3次，……据此解答即可。 【详解】把12袋瓜子平均分成3份，每份4袋；第一次，任取2份分别放在天平两边，若天平平衡，则质量较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，则质量较轻的一袋在天平较高一端的4袋中；第二次，将含有质量较轻的4袋平均分成2份，分别放在天平两端，较轻的一袋在天平较高一端的2袋中；第三次，取含有质量较轻的2袋分别放在天平两端，即可找到较轻的一袋瓜子。 答：至少称3次能保证找出这袋轻的瓜子。 【点睛】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 42．3次；思考过程见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理，再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 43．2次 【详解】略 44．3次 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将19个零件分成（6、6、7），先称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，即次品在7个中；将7个分成（2、2、3），先称（2、2），考虑最不利的情况，即次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 答：他用天平至少称3次能保证找到这个不合格的零件。 45．9个（答案不唯一） 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。据此解答即可。 【详解】根据天平平衡原理， （1）如果有3个球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个球则最少需要3次才能找出次品。 综上，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球，乒乓球的个数可能是4~9之间的任意一个数，所以这盒乒乓球可能有9个。 答：这盒乒乓球可能有9个。（答案不唯一） 46．见详解 【分析】可以通过一个巧妙的方法来实现这一点。首先，我们给这10盒零件依次编号，然后按照编号取出一定数量的零件。具体来说，从第1盒取出1个零件，从第2盒取出2个零件，以此类推，直到从第10盒取出10个零件，我们一共取出了1＋2＋3＋……＋10＝55个零件。接下来，我们把这55个零件放在天平的左端，然后在天平的右端放上和取出零件相等重量（如果都是标准件）的砝码，即550克。如果天平平衡，那么说明所有零件都是标准件；如果天平不平衡，那么次品就在取出的零件中。 【详解】把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 【点睛】解答本题的关键是取零件时，按照编号数取，即几号盒就取几个零件；放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 47．3次 【分析】根据题意，第一次先拿五袋来称，得出哪五袋中有390克的；第二次从有390克的五袋中拿四袋放在两边称。平衡，390克的是最后一袋；不平衡，则第三次拿较轻的两袋称。 【详解】第一次，五袋、五袋分，找出有轻的一份； 第二次，把轻的一份选出四袋，两袋、两袋分，再称。如果一样重，则剩下的一袋为390克，若不是，则把轻的一份再称一次即可。 答：至少称3次，才能找出这袋重390克的冰糖。 【点睛】本题主要考查找次品，合理的分组是找到次品的关键。 48．（1）解：把19盒药分成三份：6盒、6盒、7盒， ①在天平两端各放6盒，如果平衡，次品在7盒中；如果不平衡，下沉的那端的6盒中有次品； ②如果次品在7盒中，把这7盒分成2盒、2盒、3盒，在天平两端各放2盒，如果平衡，次品在3盒中，如果不平衡，下沉那端的2盒中有次品；无论次品是在3盒中还是在2盒中，都需要再称1次找出次品，这样共需要3次． 如果次品在6盒中，把这6盒平均分成3份，天平两端各放2盒，这样找出次品所在的2盒，再称1次就能找出次品，共需要3次． 答：至少称3次能保证将这盒药找出来． （2）解：有可能，因为在天平两边各放9盒正好平衡，那么，剩下的那1盒就是不合格的药品．   【详解】(1)要把所有商品平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那一份比其它的多1或少1，这样称一次就能把次品所在的范围缩小到最小；(2)称一次是有可能找出次品的． 49．3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 50．见详解 【分析】把9颗珍珠分成3颗、3颗、3颗三份，第一次在天平左右两边各放3颗； a、如果两边平衡，再把余数的3颗分成1颗、1颗、1颗三份，第二次在天平左右两边各放1颗，如果两边不平衡，则轻的那颗为假的珍珠；如果两边平衡，余下那颗为假的珍珠。 b、如果两边不平衡，再把轻的3颗再分成1颗、1颗、1颗三份，第二次在天平左右两边各放1颗，如果两边不平衡，则轻的那颗为假的珍珠；如果两边平衡，余下那颗为假的珍珠。 【详解】如图： 答：称2次能找出假珍珠。 【点睛】此题主要考查的是找次品问题，要细心分析，熟练掌握方法。 51．3次 【分析】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续；第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。 【详解】先把12袋盐平均分成3组，每组4袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，若天平不平衡，可找到较轻的一袋； 第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。 答：至少称3次保证找出这袋盐。 52．.3次 【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。 【详解】 答：至少称3次能保证把次品找出。 53．3次 【详解】把14分成5，5，4，先称5，5的 (1)若相等，把4分成2，2，轻的2包继续称，把2分成1，1，轻的一边就是少的那包糖； (2)若不等，把5分成2，2，1，先称2，2的 ①若相等，则剩下的一包就是少的那包糖； ②若不等，把2分成1，1，轻的一边就是少的那包糖．至少需要3次． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $