2.8 数学探究活动 (二)：探究函数性质-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

(2)①当7≤x≤9时，fx)=-x2+25x-126, 其图象的对称轴为直线=空>9。 所以当x=9时，f代x)有最大值f代9)=18. ②当9<x≤1时，f(x)=48(x=6)-2,设x-5= x-5 (4<≤6).48(x,62-2x=38-2+24)≤38-4√4 .24 x-5 =38-86, 当且仅当t=26,即x=5+26时取等号。 因为38-86>18，所以每件商品售价为(5+26)元时，该 连锁分店一年的利润最大，最大利润为(38-86)万元 C组·创新拓展 4/15cm3连接OB,连接OD,交BC于 点G, 由题意得，0D1BC,OG=5BC. 6 设OG=x,则BC=25x,DG=5-x, 三棱锥的高h=√DG-OG =/25-10x+x2-x =/25-10x」 sac=2x·3x·7=35x, 则V=}56h=B2·25-10 =5.√25x4-10x 令)=25-10xe(0,高) f'(x）=100x3-50x4, 令f'(x)>0,即x4-2x3<0,x<2, 则f(x)≤f2)=80,则V≤3×80=415， 所以体积最大值为45cm 练案[22] A组·基础自测 1.Cf'(x)=-3x2+3=-3(2-1),令f'(x)>0,-3(x2- 1)>0,.x2-1<0,-1<x<1.故选C. 2.C依题意，e-kx≥0在(0，+0)上恒成立，即k≤g在(0， +0)上恒成立，令g)=(x>0). 则g(x)=6·x-e=e(x-1) x- x21 当xe(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e. 3C由)=号-m<0在(0，+x)上有解，可得，m>号在 (0.+0)上有解，令gx)=号，x>0,则m>gx)mgx) -20 x-2)E,则当0<x<2时，g(x)<0,函数单调递减，当x>2 x 时，g'(x)>0,函数单调递增，故当x=2时，函数g(x)取得最 小值g(2)=年放m>号 4.ACf'(x)=3x2-1,令f'(x)>0, 令f()<0-<x<5 在(-，}（得+）上递，在（停}上 递减。 当时)取极大值(1+2 当=时原极小值}=1-20， f代x)有两个极值点，有一个零点 又f(x)+f(-x)=2,∴.点(0,1)是曲线y=f(x)的一个对称 中心. 当切线斜率k=2时，设切点为(o,少)， y'=3x2-1,.k=3x6-1=2,x6=1,0=±1. 切点为(1,1)或(-1,1)， .切线方程为y=2x-1或y=2x+3, 故选AC. 5.ef'(x)=(x山，当x>0时，令f'(x)>0,解得x>1,令 x- f'(x)<0,解得0<x<1,故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1， +o）上单调递增，故f代x)n=fl)=e+a=2e,解得a=e. 6(0,）由题意f'()=lnx+1-2x=n-2ax+1=0有 两个不等实根，2a=血t+1 设)g)上D兰当01 x2 时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，x=1时，g(1)=1为极 大值也是最大值， x→+0时，g(x)0,且g(x)>0,当x0时，g(x)→-0， 所以当0<2a<1,即0<a<时，直线y=2a与g(x)的图象 有两个交点，即2a=血+1有两个不等实根。 7一[，由函数的解折武可得"()=a+1+a ln(1+a)≥0在区间(0，+o)上恒成立，则(1+a)n(1+a) ≥-na,即()≥n4o在区间(0，+)上恒 成立， ()=1=0面a+1e1,2, 故n(1+a)>0, 6 故ha+1)≥-h 「a(a+1)≥1 即 l0<a<1 0<a<1 故-1 2 a<1, 结合题章可得实数a的取值范围是[5， 1 &(1f'(x)=是+6，则a+b=, 1)=b=-分解得a=1b=-分 (2)证明：令6)=h-宁-宁+子 交2=-x+22x-1) 则h'(x)=L-1.1 2x 又x>0,则h(x)在(0,1)上递增，在(1，+∞)上递减， 所以h(x)≤h(1)=0f(x)≤g(x)成立. 9.(1)由于f'(x)=x+1 x2 当a≥0时，对于xe(0,+0),有f'(x)>0恒成立， 即f(x)在(0，+∞)上是增函数. 当a<0时，/"(x)=0,得x=-e(0,+ 当xe(0,-日)时"()>0)单调递增： 当x(日，+时f()<0)单调递减 (2)证明：当a=1时，f(x-1)=ln(x-1)-1 +m).令g)=lh(-)--2x+5 g0+2222 1 (x-1)2 当x>2时，g'(x)<0,g(x)在(2，+0)单调递减. 又g(2)=0,所以g(x)在(2，+∞)恒为负 所以当x∈[2，+∞)时，g(x)≤0， 即n(x-1)-x--2x+5≤0， 故当a=1,且x≥2时f(x-1)≤2x-5成立. B组·能力提升 1.Cf(-x)=(-x)·sin(-x)=sinx=f代x),为偶函数 B,D错误； 又当xe[0,T]时，f'(x)=simx+xcos x, 当f'(x)=sinx+xcos x=0时，得x=-tanx, 由 则极值点∈（受，，故A错误。 2D函数fx)满足2f'(x)+2x=g [玖]-g 令F(x)=fx),则F'(x)= x e2 F(2)=4·f2)= 由f'(x)+2fx)=9,得f"(x)=。-2F x 令g(x)=e-2F(x),则p'(x)=e-2F'(x)=e(x-22 .p(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增， .p(x)的最小值为p(2)=e2-2F(2)=0.p(x)≥0. 又x>0,.f'(x)≥0. ∴f(x)在(0，+o)上单调递增。 f代x)既无极大值也无极小值.故选D. 3.B由题意得f代x)-g(x)>0在[1，e]上有解，即ax-2nx> 0在1，上有解，所以a>(2生 设y=2血x,则y=21-n2≥0. x 所以ymin=0,故得a>0. 4.(-∞，e-2]f(x)≥kx对任意的x∈(0，+o)恒成立等价 于f≥k对任意的x∈(0，+0)恒成立. 令p(x)=2,x>0, 则e'(x)=f'(x)-x x =x-1)(e-x-12 x 当xe(0,+0)时，e-x-1>0恒成立 令p'(x)>0,得x>1; 令p'(x)<0,得0<x<1,所以函数p(x)的单调增区间为(1， +0),单调减区间为(0,1)，所以p(x)mn=p(1)=e-2, 所以k≤p(x)mn=e-2, 故实数k的取值范围为(-∞，e-2]. 41 5(0,易则"()=2c+c=c(x+2),xeR 令f'(x)=0,解得x=0或x=-2, 则 分析易知f(x)在(-2,0)上单调递减，在(-，-2)和(0， +)上单调递增， 所以0和-2是函数f(x)的极值点，函数的极小值为f代0)= -a,极大值为-2)=4e2-a=专-a 函数f(x)=xe-a恰有三个零点，则 -2)=4 e2 -a>0, 解得 f0)=-a<0, 0<a<专故实数a的取值范阔足(0，) 6（)由2宁>0解得0<<2 2-x≠0， 所以函数f(x)的定义域为(0,2)， 207 当6=0时)=ln22+a, 所以")=女+克+a≥0，对v0<2恒成立， 1+a=x(2-0) 2 x+2- +a≥2+a,当且仅当x=1时取 “=”， 所以只需2+a≥0，即a≥-2， 所以a的最小值为-2. (2)证明：xe(0,2)f2-x)+f代x)=n2=+a(2-x)+b （1-)P+h2产+m+b(x-1户=2a,所以x)关于点(1， a)中心对称. (3)因为f(x)>-2当且仅当1<x<2, 所以x=1为f(x)=-2的一个解， 所以f(1)=-2,即a=-2, 先分析1<x<2时f(x)>-2恒成立， 此时)>-2，即为1血2”元+2(1-)+b(x-1)°>0在(1， 2)上恒成立， 设=-1，e0,1),则h-21+6d>0在(0,1)上恒 成立， 设g0）=:-2+h,e0.. 则2-2+3M-3r+2+36} 1-t 当b≥0时，-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0, 所以g'(t)>0恒成立， 所以g(t)在(0,1)上为增函数， 所以g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在(1,2)上恒成立， 当-号≤6<0时，-3+2+36>2+36≥0 所以g'(t)>0恒成立， 故g(t)在(0,1)上为增函数，故g(t)>g(0)=0, 即f代x)>-2在(1,2)上恒成立， 当<-号，即当0<<√+元<1时，g0)<0, 所以在(0√+品上g)为减函数. -20 所以g(t)<g(0)=0,不合题意，舍去， 综上所述，f(x)>-2在(1,2)上恒成立时， 而6≥- 时，由上述过程可得g0在(0，)上单测递增， 所以g(t)>0的解为(0,1)， 即f代x)>-2的解为(1,2)， 综上所述，b≥-亏， 2 所以6的取值范围为[-子+ C组·创新拓展 (1)因为f(1)=0,故1-m-2+0=0,故m=-1,故f代x)=x2 -x-In x, 故fx)≤x2-1即为x+lnx≥1， 设s(x)=x+lnx,x>0,则s'(x)=1+工>0，故s(x)在(0， +o)上为增函数 而x+lnx≥1即为s(x)≥s(1),故x≥1， 故原不等式的解集为[1，+o). (2)f(x)在(0，+o)上有极大值即为有极大值点. f（x)=2x-(m+2)+m=2x-(m+2)x+m =(2x-m)(x-1) 若m≤0，则xe(0,1)时，f(x)<0,xe(1,+oo)时，f(x)>0, 故x=1为f代x)的极小值点，无极大值点，故舍； 若0<受<1即0<m<2,则xe(受，1时(x)<0, x∈(0，)u(1,+o)时f(x)>0, 故x=公为()的极大值点，符合题设要求； 若m=2,则x∈(0，+o)时f(x)≥0，f代x)无极值点，舍； 若受>1即m>2,则xe（1,2)时f(x)<0, xe(0,1)U(2,+o时f(x)>0, 故x=1为f代x)的极大值点，符合题设要求 综上，m>0且m≠2. 8练案[22] 第二章 导数及其应用 §8数学探究活动（二）：探究函数性质 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 8.已知函数)=dh+,8(x)子-子 1.函数f(x)=-x3+3x+2的单调递增区间为 曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x-2y-2=0. A.（-0,-1) （1)求a,b的值； B.(-1,0) (2)证明：f(x)≤g(x). C.(-1,1) D.(1,+o) 2.函数f(x)=e-kx,当x∈(0，+o)时，f(x) ≥0恒成立，则k的取值范围是 A.k≤1 B.k≤2 C.k≤e D.k≤1 e 3.已知函数f(x)=e-mx(e为自然对数的底 数)，若f(x)<0在(0，+∞)上有解，则实数m 的取值范围是 A.(e,+o) B.（-∞，e) - 4.(多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则（） A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 二、填空题 5.已知函数f(x)=￡+a在(0，+0)上的最小 值为2e,则实数a的值为 6.已知函数f(x)=xnx-ax2有两个极值点，则 实数a的取值范围是 7.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数 f(x)=a+（1+a)在(0，+∞)上单调递增， 则a的取值范围是 144 9.已知函数x)=alnx-士，aeR 乃组·能力提升 (1)求函数f(x)的单调区间： 一、选择题 (2)当a=1,且x≥2时，证明：f(x-1)≤1.函数y=f(x)=xsinx在[-T,π]上的图象大 2x-5. 致为 承个 2.设函数f(x)满足x2f'(x)+2f(x)=日，f(2) 客则>0时) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 3.已知函数f)=ax-】 -2lnx(a∈R), g(x)=-只，若至少存在一个∈[1，e],使 f(xo)>g(xo)成立，则实数a的取值范围为 B.(0,+∞) C.[0,+∞) 山层+ 二、填空题 4.已知函数f八x)=e*-x2-1,若f(x)≥kx对任 意的x∈(0，+0)恒成立，则实数k的取值范 围为 5.若函数f(x)=x2e-a恰有三个零点，则实数 a的取值范围是 三、解答题 6.已知函数x)=lh2产+a+b(x-)以 (1)若b=0,且f'(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y=f代x)是中心对称图形； 145 (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取 组·创新拓展 值范围， (2025·上海卷)已知f(x)=x2-(m+2)x+ mlnx,m∈R (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的 解集； (2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极 大值，求m的取值范围； —146