第2章 8 数学探究活动(二) 探究函数性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章导数及其应用 五维课堂乡 §8数学探究活动（二）探究函数性质 课程标准 素养解读 1.通过探究活动探究函数的单调性、极值、最值、 图像等， 在探究活动过程中达成逻辑推理、数学直观、数学运算的 2.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的 核心素养 问题. 课堂。互动学亲 题型一 利用导数研究函数的性质 题型二 利用导数证明不等式问题 [例1] 已知函数y=x+1 ,试讨论此函数的极值 [例2】已知>1，证明：nx+子>1 点，单调区间、极值，并画出函数的图像， 规律方法 利用导数法证明不等式的思路 规律方法 (1)若证明f(x)>a成立，只需证明f()mm>a 利用导数研究函数的性质的步骤 即可. (1)确定函数f(x)的定义域 (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立，基本 (2)求出函数的导数 方法是构造函数h(x)=f(x)一g(x),然后根 (3)令f(x)=0,解方程探求零点. 据函数h(x)的单调性证明h(x)mm>0. (4)讨论函数的单调性、极值、最值。 (5)画出函数的图像. ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2.已知x>0,证明：1+2x<e2x。 1.讨论函数y=x(1一x)3的单调性、极值点，并画出 函数的草图. ·71· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型利用亭数研究函数的零点（方程的根）问题 [当堂达标] [例3]给定函数f(x)=(x+1)e. 1.已知函数f(x)的定义域为[一1,4幻，部分对应值如 (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值： 下表： (2)画出函数f(x)的大致图像； 2 2 3 4 (3)求出方程f(.x)=a(a∈R)的解的个数. f(z) 2 0 2 0 f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示.当1<a <2时，函数y=f(x)一a的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1]，则导数 f'(x)是 规律方法 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 C.仅有最大值的偶函数 (1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)=0可 D.既有最大值又有最小值的奇函数 解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利 用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定 3.已知函数f)-会+imx-1u>0)在定义坡内 义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出 有零点，则实数a的取值范围是 g(x)的图像草图，数形结合求解函数零点的 4.已知函数f(x)=kx一lnx(k>0). 个数 (1)若k=1,求f(x)的单调区间： (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在 (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数 某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单 的值. 调性、极值（最值）及区间端点值符号，进而判 断函数在该区间上零点的个数， ⊙[变式训练] 3.已知两数fx)=n讨论f)的单调作， 并证明f(x)有且仅有两个零点。 ·72·数学(BS)·选择性必修第二册 §8数学探究活动（二） 探究函数性质 课堂互动学案 [例1][解]函数的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)， y=(+)}=1-x-2-+1-D 22 2 含x十1Dx-D=0,解得x=-1或x=1: 含x十1)Cx-D>0,解得x>1或<-1. “y=x十子的单调递增区间是(-0，-1D和1，十∞)。 令x+1D(x-D<0,解得-1<r<0或0<x<1. )=x十子的单洞递减区间是(-1,0)和(0,1D. 当x=一1时，函数y=x十工取极大值，为一2：当x=1 x 时，函数y=x十上取极小值，为2. 函数y=x十二的图像如图所示. 变式训练 1.解：y=[x2(1-x)3] =2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3.x]=x(1-x)2(2-5.x), 令y=x(1-x)2(2-5.x)=0,解得x=0或x=1或x= 5· 令1-x)P(2-5a)>0,解得0<<号. ÷)=21-x)3的单调造增区间是（0，号)】 令x1-x)P(2-5)<0,解得x0或>号且x≠1. ∴.y=x2(1一x)3的单调递减区间是(-o0,0), (得+∞) .当x=0时，函数y=x2(1-x)3取极小值； 当=号时，函数y=2-)取板大位 函数y=x2(1一x)3的草图如图所示. fx=x2(1-x} 0 [例2][证明]令f(x)=nx+上(>1D, f(x)=1-1=x-1 x>1,.f'(x)>0, 0)=lnx+在1，十∞)上单调递增， .f(x)>f1)=ln1+1=1. 从而1nx+上>1，命题得证. 变式训练 2.证明：设f(x)=1十2x-e2x,则f(x)=2-2e2x=2(1- e2x),当x>0时，2x>0,e2x>e°=1，∴.f(x)=2(1-e2x) <0,函数f(.x)=1+2x-e2x在(0，十o∞)上是减函数. ,函数f(x)=1十2x-e2x是连续函数，.当x>0时， f(x)<f(0)=0,∴.当x>0时，1+2x-e2x<0,即1+2x <e2x. [例3][解](1)函数的定义域为x∈R. 因为f(x)=(x+1)'e+(x+1)(er)' =er+(x+1)ex=(.x+2)e2. 令f(x)'=0,解得：x=-2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表： -∞，-2) -2 (-2,十+∞) 0 单调递减 e2 单调递增 所以f(x)在区间（一∞，一2）上单调递减，在区间（一2，十 ∞)上单调递增 当x=-2时，f(x)有极小值f(-2)=一 (2)令f(x)=0,解得x=-1. 当x<-1时，f(x)<0;当x>-1时，f(x)>0. 所以)的图像经过特珠点A(2,): B(-1,0),C(0,1) 当x→一∞时，与一次函数相比，指数函数y=ex呈爆炸 性增长，从而y=+0:当x→十00时，f(x)→十0， e-x f(x)十∞，根据以上信息，我们画出的大致图像如图 所示 fx)=(x+1)e 2- 01x 23)-1 (3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的 图像与直线y=a的交点个数. 08· 由(1)及图可得，当x=-2时，有最小值f(-2)=一1 e2’ 所以方程f(.x)=a的解的个数有如下结论： 当aK-时，解为0个， 当a=一 或。>0时，部为1个 当-<a<0时，解为2个了 变式训练 3.解：f(x)的定义域为(0,1)U(1,十∞). 国为f)=+a>0… 所以f(x)在(0,1)和(1，十o∞)上单调递增. 因为f(e)=1- 号0，rey-2告o… 所以f(x)在(1，十o∞)上有唯一零点x1(e<x1<e2),即 f(x1)=0. x1-1 =-f(x1)=0,故 f)在0,1)上有学一李点六 综上，f(x)有且仅有两个零，点. 当堂达标 1.D[根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y= f(x)的大致图像如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1<a< 2,所以y=f(x)一a的零，点个数为4. 5 5-4-3-2-1012345x 2 -3 -4 2.D [f'(x)=2x+sin x,f'(-x)=-2x-sin x=-f' (x),.导数f(x)是奇函数.令g(x)=f(x)=2x十sin x.∴g'(x)=2十cosx>0,g(x)在[-1,1]上单调递 增，即f(x)在[-1,1]上单调递增.∴f(x)mim=f(- 1),f(x)max=f(1).∴.f(x)既有最大值又有最小值.] 3.解析：函数f(x)的定义域为(0，十∞)，因为函数f(x)= 名十ln上-1a>0)在定义线内有零点，所以a=-xn x有解.令h(x)=x-xlnx.所以h'(x)=-lnx.所以h (x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，十∞)， 所以h(x)max=h(1)=1.又h(e)=0,所以0<a≤1. 答案：(0,1] 4.解：(1)若k=1,则f(x)=x-lnx,定义域为(0，十∞)，则 f(x)=1-,由fx)>0,得x>1:由f(x)<0,得0 <x<1,'.f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间 为(1，十∞). ·10 参考答案 (2)由题意知，方程kx一nx=0仅有一个实根，由kx lnr=0,得k=n(r>0). x 令g(x)=(x>0),则g(x)=1-h工，当0<<e x 时，g'(x)>0;当x>e时，g'(x)<0. ∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 小g(x)nx=g(e)=L e' 当x→十o∞时，g(x)→0. 又：>0，要使fx)仅有一个零点，则6=已 章末复习课 [例1】[解析]根据导数的定义可知1imf)-二f1-2- 2.x imf1-2）f①=-1，即y1,-1=-1,而由导教的几何 上*0 -2x 意义可知y=f(x)点(1，f(1)处的斜率为一1. [答案]B [例2][解析]因为f(x)=2.x3+a.x的图像过点P(2, 0),所以a=-8,所以f(x)=2x3-8.x,所以f(x)=6.x2 -8.因为g(x)=bx2十c的图像过点P(2,0),所以4b+c =0.又g'(x)=2bx,g'(2)=4b=f(2)=16,所以b=4, 所以c=-16,所以g(x)=4x2-16.综上可知，f(x)= 2x3-8xg(x)=4x2-16. [答案]2.x3-8x4x2-16 [例3][解析]由fx)=+2af),得f(x)=- 十2f(1),则f(1)=-1+2f(1),解得f'(1)=1.则 f)=-}+2.则f(-1)=-1+2=.故r0) f(-1)=0. [答案]C [例4们[解]QD因为y=立+十n艺=x十+2十2 sin 所以)=(x)y+(xy+x2in)=-号x+ 3x2-2x3sin x+x2cos x. (2)y'=(x2)'sin x+x2 (sin r)'=2xsin r+x2cos t. [例5](1)[解析]令F(x)=fD,则F'(r) -zf(z)-f(z) T2 又当x>0时，xf(x)-f(x)≤0，'.F'(x)≤0， '.F(x)在(0，十∞)上单调递减. za..Fa)-F).i...bF-aF a 故选：A. [答案]A (2)[解](1)函数的定义域为(0，十∞)，又f(x)= (2ax+3)(at-D,因为a>0,x>0,故2ax+3>0,当0 <日时，f)0:当>时fu)>0:所以f) 的减区间为(0，日)增区同为（合+∞）月 9