2.6.3 函数的最值-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

6.因为f代x)=xnx,x>0, 所以f'(x)=1+nx, 所以g(x)=f'(x)+a2-(a+2)x=1+lnx+ax2-(a+ 2)x, 所以g(x)=】+2ax-(a+2) 2a-(a+2)x+1-(ax-1)(2x-1 x 令g()=0,解得=。或=分 ①当。>7，即0<a<2时 若g()>0,解得0<x<2或x>,函数g(x)单调递增，若 g()<0,解得7<<。函数8单调递减 所议a=）-1+h+a-(a+2) a -ln a-1 g)=分）=1+n之 4-(a+2)× -=-ln2 ②当<分即a>2时， 若g()>0,解得0<x<。或>分，函数g()单调递增，若 g()<0,解得。<x<分函数g)单调递减 所以()=日）-ha- a g()a=g分）-h2-子 ③当日=，即a=2时，g(x)≥0恒成立，gx)在(0，+) 上单调递增， 所以函数无极值， C组·创新拓展 (1)当a=-2时，fx)=(1+2x)ln(1+x)-x, 故（到=2h1++是-1-21+0-++1. 1+x 因为=21+，y=十+1在(-山+)上为增 函数， 故f'(x)在(-1，+∞)上为增函数，而f'(0)=0, 故当-1<x<0时，f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0, 故f代x)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0,无极大值， (2f"(x)=-an(1+x)++a二1=ah(1+x) (a+1)x,x>0, 1+x 设)=-n1+)-9x>0, -20 则()=-+动 -a+=-a(x+)+a+1= (1+x)2 ax +2a +1 (1+x)2, 百a≤)时，/(x)>0,故s(x)在(0，+∞)上为增函数 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0, 所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，故fx)≥f(0)=0. 当-分<a<0时，当0<<-20。时'()<0， a 放()0,2上为减晒数放在(02。）上( <s(0), 即在(0，-2a+）上甘'(x)<0即x)为减函数， a 故在(0，-2+）上)<f0)=0,不合题意，舍 a 当a≥0，此时s'(x)<0在(0，+o)上恒成立， 同理可得在(0，+∞)上fx)<f(0)=0恒成立，不合题意， 舍综上，as 练案[20] A组·基础自测 1.Ay'=6x2-6x-12,由y'=0=x=-1或x=2(舍去).x= -2时y=1:x=-1时y=12:x=1时y=-8. ym=12,ymin=-8.故选A. 2ABD因为)=2+分-款eR, 所以f'(x)=3x2+x-4, 令f'(x)=3x2+x-4=0,即(3x+4)(x-1)=0,解得x1= 1 所以当xe(-,-号)e(1,+)时"()>0，当e (-号时"()<0， 所以x)的单调递增区间为(-0，-号)和(1，+×)，单调 递减区间为(-号，)，则)有两个极值点，B正确：且当x=1 时，f代x)取得极小值，A正确： 所以极小值为)=-弓，C错误： 又f0)=0,f(2)=2,所以f(x)在[0,2]上的最大值为2，D 正确. 3.By'=e-x·e"=e*(1-x),令y'=0, 六10)=04)=号)=e e, f代1)为最大值.故选B. 4.C依题可知()=ae-士≥0在(1,2)上恒成立，显然 a>0,所以xe≥1， a 设g(x)=xe,xe(1,2),所以g'(x)=(x+1)e*>0, 所以g(x)在(1,2)上单调递增， g(x)>g(1)=e,故e≥人，即u≥上=e, 即a的最小值为e1.故选C. 5.ACD对A,因为函数f代x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1) (x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时，f'(x)<0,当x∈(-0,1)或x∈(3， +)时，f'(x)>0 函数fx)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 (3,+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，正确： 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f代x)> fx2),错误； 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减， 所以f1)>f2x-1)>f3),即-4<f(2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时f(2-x）-fx)=(1-x)2(-2-x)- (x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f代2-x)>f代x),正确： 故选ACD. 6.32令f'(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2, 列表得： -3(-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3)3 f'(x) + 0 - 0 x)17 极大值24 → 极小值-8入 -1 可知M=24,m=-8,.M-m=32. 7.-3令f'(x)=e+(x+a)e=(x+a+1)e"=0,解得x= -a-1. 依题意，f(-a-1)=-ea-1=-e2,解得a=-3,经检验符 合题意 8.(-4,-2)f"(x)=m-2x,令f"(x)=0,得x=罗 由题设得-2<受<-1，故m∈(-4，-2) 9.(1)fx)=ax3+br+c,f'(x)=3ax2+b, :(x)在点x=2处取得极值c-16, f'(2)=0, Lf2)=c-16 即12a+b=0, L8a+2b+c=c-16. 化简得，12a+6=0, 4a+b=-8. 解得a1, Lb=-12 (2)由(1)知fx)=x3-12x+cf'(x)=3x2-12, 令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2, 当xe(-∞，-2)或xe(2,+o)时，f'(x)>0,fx)在 (-0,-2)和(2，+∞)上为增函数， 当x∈(-2,2)时，f'(x)<0f(x)在(-2,2)上为减函数 2 由此可知f代x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f代x) 在x2=2处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知16+c= 28得c=12, 此时f-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16= -4, 因此f代x)在[-3,3]的最小值为f代2)=-4. 10.(1)由f(x）=-x3+ax2+bx+c可得f'(x)=-3x2+2ax +b. 因为f'(-1)=0,f'(2)=9, i,e53 所以f(x）=-x3+3x2+9x+c,f'(x)=-3x2+6x+9= -3(x2-2x-3). 由f'(x)>0,即x2-2x-3<0,可得-1<x<3; 由f'(x)<0,即2-2x-3>0,可得x<-1或x>3. 所以f(x)的单调递增区间为(-1,3)，单调递减区间为 （-,-1)和(3，+0). (2)由(1)知，x)在[-2，-1)上单调递减，在(-1,2]上单 调递增， 所以当x=-1时，f代x)取得极小值f代-1)=-(-1)3+3× (-1)2+9×(-1)+c=c-5, f-2)=-(-2)3+3×(-2)2+9×(-2)+c=c+2, f(2)=-2+3×22+9×2+c=c+22, 则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为f(2)=c+22=20,所 以c=-2. (3)由(1)知当x=-1时，f代x)取得极小值f(-1)=-(-1)3 +3×(-1)2+9×(-1)+c=c-5: 当x=3时，f代x)取得极大值 f3)=-33+3×32+9×3+c=c+27. 若函数f(x)的图象与x轴有三个交点， 则-)=0-5<0 3)=27+c>0,解得-27<c<5, 即c的范围是(-27,5). B组·能力提升 1.D根据条件可得f'(x)=￡-1， 令f'(x)=0可得x=e, 则当0<x<e时，f'(x)>0f(x)单调递增，当e<x≤2e时， f'(x)<0,f(x)单调递减；则当x=e时fx)取极大值也为最 大值，所以f(x)m=f(e)=elne-e=0. 2.Af'(0)=(x+22 e*(x+1) 令f'(x)>0,解得：x>-1, 令f'(x)<0,解得：x<-1, 故fx)在(-2，-1)递减，在(-1，+∞)递增， 若f代x)在(-2，a)有最小值， 则a>-1,故选A. 3.C函数fx)=-x3+3bx, f'(x)=-3x2+3b, 令f'(x)=0,当b>0时，可得x=±b, 3 xe(-∞，-√b),xe(b,+0)f'(x)<0,函数是减函数，则 函数的极大值：f(6)=2b√6， 当xe[0,1]时，fx)的值域为[0,1]， 可知6≤1时0=2b6,解得6=2 当b≥1时，f(1)=-1+3b=1,无解. 当b≤0时，xe[0,1]时fx)的值域为[0,1]，不成立： ∴函数f(x)=-x+3bx,当xe[0,1]时，f(x)的值域为[0， 1,则6的位是受。 故选C. 42-2m2+2a令F()=1-2-2=0得x=2 当xe(0,2)时F'(x)<0,当xe(2,+0)时，F'(x)>0, ∴当x=2时F(x)min=F(2)=2-2n2+2a. 5.[e,+）fx)≥2即a≥2x2-2x2nx 令g(x)=2x2-2x2nx,x>0,则g'(x)=2x(1-2nx) 由g'(x)=0得x=e, 且0<x<e时，g'(x)>0;当x>e时g'(x)<0, .x=e时，g(x)取最大值g(e)=e,a≥e 6.(1)f(x)=a(x-1)-nx+1, 则f'(x)=心-1，x>0, 若a≤0f'(x)<0,f(x)的减区间为(0，+∞)，无增区间； 若a>0时，当0<x<上时f'(x)<0, 当x>时f"()>0, 所以x)的减区间为(0，），增区间为（日，+小 综上，当a≤0时，f(x)的减区间为(0，+o),无增区间；当a> 0时，x)的减区间为(0，)，增区间为（合，+0小 (2)证明：因为a≤2， 所以当x>1时，e-1-fx)=e-1-a(x-1)+lnx-1≥e- -2x+lnx+1, 令g(x)=e-1-2x+lnx+1, 则g(x)=e-2+x, 1 令h(x)=g'(x), 则()=宁在1，+)上单调适玩 h'(x)>h'(1)=0. 所以h(x)=g'(x)在(1，+o)上单调递增， g'(x)>g'(1)=0, 故g(x)在(1，+∞)上单调递增，g(x)>g(1)=0, 所以当x>1时f代x)<e-恒成立. C组·创新拓展 A设P(x,y),则点P关于原点的对称点为(-x,-y), 20 =x+1-2 所以 -y=-e-*+a -x 因为存在这样的点P使得点P关于原点O的对称点在曲线y =g(x)上， 所以x+上-2=e“+只有解，所以+1-2x-a=e,所 以(x-1)2-a=xe,令h(x)=(x-1)2-a, 所以h(x)在x=1处取得最小值，且h(1)=-a,令t(x)= xe-*,t'(x)=e-*-xe-*=e-*(1-x), 当x<1时，t'(x)>0,当x>1时，t(x)<0, 所以t(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以(x)在x=1取得最大值(1)=1×e1=上，因为方程 e 有解， 所以4(1)≤1).即-a≤÷，所以a≥。所以a的最小 e 值为-日 练案[21] A组·基础自测 1.B某导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电 流强度。 因为g=4t+3,所以当t=5时，电流强度为4×5+3=23(C/s). 2.B设矩形的长为x,则宽为32=4-，所以矩形面积为S =x(4-x)=-x2+4x(0<x<4),所以S”=-2x+4,令S'= 0,得x=2,所以矩形的最大面积为S=2(4-2)=4. 3.D设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边 长分别为号m,2m,面积之和为S(x)= [()+(4-门]-（警+6 令S(a)=（(号-)=0，解得x=6则x=6是s()的极 小值点，也是最小值点， 所以S(x)n=S(6)=25cm2. 4.D由题意，总利润 -+300x-20000,0≤x≤390， P(x)= l70090-100x,x>390, .P(x)= 300+300,0≤x≤390， -100,x>390. 令P'(x)=0,得x=300,经检验当x=300时总利润最大，故 选D 5.ACs()=t+2,则s()=()=1+i 当t=7时，v=8, 所以￡=2=×5×8=1601 1练案[20] 第二章 导数及其应用 §6[6.3 函数的最值] 化组·基础自测 :三、解答题 9.已知函数f(x)=ax3 一、选择题 值为c-16. 1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最 (1)求a,b的值； 大值、最小值分别是 ( (2)若f(x)有极大值 A.12;-8 B.1;-8 的最小值， C.12;-15 D.5;-16 2.(多选)已知函数)=+-k,则( A.x=1是f(x)的极小值点 B.f(x)有两个极值点 C.f(x)的极小值为1 D.f(x)在[0,2]上的最大值为2 3.函数y=xe,x∈[0,4]的最大值是（) A.0 B 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=ae- lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值 为 A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 5.(多选)(2024·新课标I卷)设函数f(x)= (x-1)2(x-4),则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 二、填空题 6.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3] 上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m= 7.已知函数f(x)=(x+a)e的最小值为-e2, 则a的值为 8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2，-1]上 的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取 值范围是 140 bx+c在x=2处取得极 28,求f(x)在[-3,3]上 10.设函数f(x)=-x3+ax2+bx+c的导数：三、解答题 f'(x)满足f'(-1)=0,f'(2)=9. 6.已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1. (1)求f(x)的单调区间； (1)求f(x)的单调区间； (2)f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求 (2)若a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<e-l c的值： 恒成立 (3)若函数f(x)的图象与x轴有三个交点， 求c的范围。 8组·能力提升 一、选择题 1.函数f(x)=elnx-x在(0,2e]上的最大值为 ( A.1-e B.-1 C.-e D.0 2若函数八)=÷2在(-2,0)上有最小值，则 a的取值范围为 ( A.（-1,+0) B.[-1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) 3.设函数f(x)=-x3+3bx,当x∈[0,1]时， f(x)的值域为[0,1]，则b的值是 组·创新拓展 A号 B② 2 设函数fx)=x+-2,g(x)=-6+是(aeR), 二、填空题 若曲线y=f(x)上存在一点P,使得点P关于 4.若F(x)=x-2lnx+2a,则F(x)在(0，+∞) 原点O的对称点在曲线y=g(x)上，则a 上的最小值是 5.已知函数f(x)=2lnx+9(a>0).若当 A.有最小值- B.有最小值 e x∈(0，+∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的 C.有最大值-1 D.有最大值。 取值范围是 141