第2章 导数及其应用 章末整合提升-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

由图象得：当f(0)<m≤f(-1),即 m∈(L,。+时，x)与y=m恰有 两个不同交点， 即me（1,。+小时.方程()=m 在区间[-1,2]上恰有两个不同的实 -10 根：同理，当m=1或。+1<m≤ e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1,2]上有唯一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1,2]上无 实根 章末整合提升 要点专项突破 例1：(1)y=合或y=-。当x>0时，y=h,设过坐 标原点与y=lnx相切的直线切于点(xo,o), 心切线斜率k=L ·y'=1 又k= 0心%=1,6=e 6=。切线方程为y=。 当x<0时，y=ln(-x),设过坐标原点与y=ln(-x)相切 的直线切于点(x,6), 了切线斜率k=名又号 x .y6=1,.x6=-e -。切线方程为)=-。 (2)5x-y+2=0由题，当x=-1时，y=-3,故点在曲 线上 求导得：y-2(x+2)-(2x-1.5 (x+2)2 (x+2)2 所以y1-1=5. 故切线方程为5x-y+2=0. 例2：(1)当a=0时，fx)=(x-1)e-1f'(x)=xe*, 令f'(x)=0,则x=0, 又因为当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0: 当xe(0,+)时f'(x)>0, 所以当x=0时，f代x)被小慎=f代0)=-2，无极大值。 (2)因为f(x)=(x-1)e+ax-1, 所以f'(x)=xe+a, 若f(x)在R上单调递增， 则f'(x)≥0在R上恒成立， 即-a≤xe在R上恒成立 令g(x)=xe,则g'(x)=(x+1)e 当xe(-0,-1)时，g'(x)<0, 当xe(-1,+∞)时，g'(x)>0, 所以当x=-1时，g(x)取得极小值，也是最小值为g(-1) 、1 e 所以-a≤-人，即a≥1 e 故实数a的取值范围为[合，+ 例3：fx)=e-ax的定义域为R, 而f'(x)=e-a, 17 若a≤0，则f'(x)>0,此时f(x)无最小值， 故a>0.g(x)=ax-lnx的定义域为(0，+o),而g'(x)= a-1=ax-1 当x<lna时，f'(x)<0, 故f(x)在(-∞，na)上单调递减， 当x>lna时f'(x)>0, 故f(x)在(lna,+o)上单调递增， 故f代x）min=fha）=a-alna. 当0<x<时，8(x)<0,放()在(0，上单调递减， 当x>。时，g《()>0,故g()在（日，+）上单调递增。 故g到m=g(日）1-lh合 a 因为f代x)=e-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，故 1-InL=a-alna, 整理得到9--na,其中a>0, 1+a 设m(@)-+。haa>0, 2 =-a2-1 1 则m'(a）=1+aaai+a<0. 故m(a)在(0，+)上单调递减，而m(1)=0 放m(a)=0的唯一解为a=1,放十d=na的解为a=l 综上，a=1. 例4：(1)f'(x)=3ax2+2bx+c. 由已知得f'(0)=f'(1)=0,得6=0， L3a+2b+c=0, rc=0, 解得b=f')3-3u f(分)受翠2 .a=-2,b=3,f(x)=-2x3+3x2 (2)令fx)≤x,即-2x3+3x2-x≤0， 整理得x(2x-1)(x-1)≥0， 0≤x≤乃或x≥1 又f(x)≤x在区间[0，m](m>0)上恒成立， m的取值范围是(0，引 例5：证明：构建F(x)=x-sinx,xe(0,1),则F'(x)=1- cosx>0对Vx∈(0,1)恒成立， 则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)=0,所以x >sin x,x(0,1); 构建G(x)=simx-(x-2)=x2-x+sinx,xe(0,1), 则G(x)=2x-1+c0sx,x∈(0,1)， 构建g(x)=G(x),xe(0,1),则g'(x)=2-sinx>0对 Vx∈(0,1)恒成立， 则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)=0, 即G'(x)>0对Hx∈(0,1)恒成立， 则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)=0,所以 sinx>xx,(0,1) 综上所述：x-x<sinx<x. 76098 章末整合提升 知识体系构建 平均变化率 函数的平均变化率 与瞬时变化率 运动的平均速度 判断函数的单调性 函数的单调 运动的瞬时速度 性与极值 求函数的极大（小值 导数的概念及 导数的概念 数 其几何意义 导数的几 切线的斜率 求函数的最大（小）值 何意义 导数在 实际问题中导数的意义 实际问 应用 变化率与导数 导数的计算 基本初等函数的导数 题中的 函数最值的实际应用 应用 导数的四则 导数的加法与减法法则 运算法则 导数的乘法与除法法则 简单复合函数的求导法则 要点专项突破 要点一 导数的几何意义 规律方法： 例1.1)写出前线)=nx过坐标原点的切线方程 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)曲线f(x)在点P(xo,yo)处的切线：求 (2)曲线y=2x-在点(-1，-3)处的切线方程为 出函数y=f八x)在点x处的导数∫'(x), x+2 即为曲线y=∫(x)在x=x。处的切线斜 率，所求曲线的切线方程为y-y。= ·[规律方法] f'(x0)(x-). 要点二函数的单调性与导数 (2)曲线f(x)过点P(xo,yo)的切线：可 设切点为（x1,乃），由 例2已知函数)（xe+ar-1 ∫y=f(x), yo-y=f(x)(xo-x1) 解出x1,进而 (1)若a=0,求f(x)的极值； 确定过点P的切线方程为y-y=∫'(x) (2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围 (x-x),再化为一般式即可.特别地，如 果曲线y=f(x)在点(xo,y)处的切线垂 直于x轴，则此时导数∫'(x0)不存在，由 切线定义可知，切线方程为x=x0: [提醒]切点坐标满足三个等量关系： 设切点（x,y0),则k=∫'(x),= f(x),(xo,yo)满足切线方程，在求解参 数问题中经常用到. 规律方法： 1.求函数y=f八x)单调区间的步骤 (1)确定函裁y=f(x)的定义域 (2)求导数y=f'(x). (3)解不等式∫'(x)>0,函裁在单调区间 上为增函裁；解不等式∫'(x)<0,函数在 单调区间上为减函数. 2.知单调性求参数范围的步骤 (1)对含参裁的函数(x)求导，得到 f'(x); (2)若函裁f(x)在(a,b)上单调递增，则 f'(x)≥0恒成立；若函裁f(x）在(a,b) 上单调递减，则∫'(x)≤0恒成立，得到关 于参裁的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有 ∫'(x)=0.若∫'(x)=0恒成立，则函裁 f(x)在(a,b)上为常函裁，舍去此参数值. ●[规律方法] [提醒]若f(x)在(a,b)上单调递增（减）， 则区间(a,b)是相应单调区间的子集. ●099 要点三函数的极值、最值与导数 例3.(2022.新高考I卷节选)已知函数x)=c-r和g)=x-n 有相同的最小值，求a. 规律方法： 1.利用导数求函戴极 值的一般步骤 (1)确定函裁f(x)的 定义域； (2)解方程∫'(x)=0 的根； (3)检验∫'(x)=0的 根的两侧f'(x)的 符号 若左正右负，则f(x) 在此根处取得极 大值； 若左负右正，则∫(x) 在此根处取得极 小值； 否则，此根不是∫(x) 的校值点. 2.求函数f(x)在闭区 间[a,b]上的最大 值、最小值的方法与 步骤 (1)求f(x)在(a,b) 内的极值； (2)将(1)求得的极值 与f(a)f(b)相比较， 其中最大的一个值为 最大值，最小的一个 值为最小值 [提醒]当∫(x)在 (a,b)内只有一个极 值点时，若在这一点 处f(x)有极大（或极 小)值，则可以断定 f(x)在该点处取得最 大（或最小）值，这里 (a,b)也可以是 (-0，+0). [规律方法] 100 要点四 利用函数的导数求参数的取值范围 例4.已知x)=am+br+x在区间[0,1]上是增函数，在区间(-0， 0),1,+x)上是减函数，/分)= (1)求函数f(x)的解析式： (2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f代x)≤x成立，求m的取值范围， [分标】（四）由单调区间知"(0)=f”(1)=0,结合f份)=多，求出 规律方法： 利用函裁的导数求参 f(x)的解析式； 数范围有三种思路： (2)f(x)≤x在[0，m]上恒成立台f(x)-x≤0在[0，m]上恒成立台[0， 一是分析所给区间和 m]是f(x)≤x的解集的子区间，当f代x)-x的最值不易求时，可进行适当的 单调区间的关系；二 转化. 是转化为恒成立问 题；三是分离参戴 求解 规律方法： 利用导数证明不等式 问题时，一般根据要 ·[规律方法] 证明的不等式构造函 要点五利用导数证明不等式 数，转化为函数的最 例5.(2023·新高考Ⅱ卷)证明：当0<x<1时，x-2<sin< 值问题.具体的证明 步骤为： ①将所给的不等式移 项、整理、变形为求证 不等式f(x)0(<0) 的形式 ②利用导数研究函裁 在给定区间上的单调 性，得到函数的 最值： ③将不等式问题转化 为函裁的最值恒大于 0或者小于0的 问题， P[规律方法] 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）（三）（四）