2.2.1 导数的概念&2.2.2 导数的几何意义-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

=3△t-18, 当△趋近于0时，分趋近于-18， 物体在t=0处位移的瞬时变化率为-18， 即物体的初速度vo=-18m/s. (3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时 变化率. ·.:物体在t=1附近位移的平均变化率为 s-f1+△t)-f1) △t △t 29+3[1+△)-32-29-31-3-=34-12， △t 当△趋近于0时，会趋近于-2， 即物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s. C组·创新拓展 D0min到10min的降雨强度为5-0=3： 10-0=59 10min到30mim的降雨强度为18-6=3。 30-10=59 30min到50min的降雨强度为0-30=4： 23-181 50min到60mim的降雨强度为2A-23=人 60-50-10 因为品<子<}所以四个时段中50min到60min的降雨 强度最小 练案[14] A组·基础自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B 2.C抛物线与其切线只有一个公共点，故点P为切，点设y=f代x),过 1+4-2(-7×-2 点P的切线斜率为f'(1)=lim △x =-1.所以过点P的切线的倾斜角为135° 3.C f'(0)=lim (0+△x)2-3(0+△x)-0+3×0 △x =limAx):-3A=lim (Ax-3)=-3. 40△x △r0 4D直线1的方程为子+子=1，即x+y-4=0 又由题意可知f代2)=2，f'(2)=-1, 所以f2)+f'(2)=2-1=1. 5.AD因为f(x)=x3,设切点(xo,x).则 =+4)- △x =im[3a6+3(Ax)+(4x)2]=36, 所以在x=处的切线方程为y-=3x后(x-x), 把点(2,0)代入并解得xo=0或xo=3 当x=0时，切线方程为y=0;当x。=3时，切点为(3,27)，斜 率k=27,故切线方程为y-27=27(x-3),整理为27x-y- 54=0. 6.-1因为函数代x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函 数f代x)在点(1，f(1))处的切线斜率与在点(-1，f(-1))处 -19 的切线斜率相反，故曲线在点(-1，(-1))处的切线斜率为 -1. 7.2-3 Ar=+A)f) △x △x m(+Ax)n-(mn)=mAx +2mx, △x 故'(x)=8=吗(mAx+2m)=2m=4 所以m=2.又f1)=-1,即2+n=-1, 所以n=-3,故m=2,n=-3. 8.-7设点P(xo,2x+a).由导数的几何意义可得f'(xo)= =念上2西t如i2@-4-、2 △x P(2,8+a).将x=2,y=8+a代入8x-y-15=0,得a= -7. 9.因为f'(a）=ima+△)°-a=3a2,所以曲线在(a,d)处 4x-0△x 的切线方程为y-a=3a2(x-a),切线与x轴的交点 为号. 所以三角形的面积为口-子1d1-石，得a=±1 10.将点P(2,-1)代人y=,1,得=1， t-x 所以y=1-x y=lim=im 1-(x+Ax)1-x △x △x △x =i1-(x+A](1-x)A 1 1 =(1-x-A)(1-)(1-x)2 (1)曲线在点P处的切线斜率为y1:=1-2疗=1： 曲线在点0处的切线斜率为)八1=子 (2)曲线在点P处的切线方程为y-（-1)=x-2, 即x-y-3=0, 曲线在点Q处的切线方程为y-了=子[x-(-1], 即x-4y+3=0. B组·能力提升 1.D根据题意得f'(1)=imf1)-1-△2 0 △x 因为0出=号×=0--D =-1,所以f'(1)=-2. 2.D42+2a1点 1。 】 四之=四141，斜*为-1，倾斜角为得 3.B由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2] 的斜率越来越大，2)山=a,f'(1)<a<f'(2),故 2-1 选B. 4.-2由导数的概念和几何意义知 四0+-仙=f'()=6a=9-音=-2 △x y=x,x=1, 5.(1,1)x-2y+1=0由{1得{ (s y=1, 所以两曲线的交点坐标为(1,1) 由f代x)=,得f'(1)=lim 个+△x-1 △x 1 1 lim- 40/1+△x+12’ 所以y=)在点(1,1)处的切线方程为y-1=之(x-1), 即x-2y+1=0. 6.'f'()limAy Ar-0△x =a+A°t-(a+D=2s. △x ∴f'(1)=2a,即切线斜率k,=2a. g0=出 =lim+Ax）+6(x+A）-（x+b=32+b, △x ∴.g'(1)=3+b,即切线斜率k2=3+b. .在交点(1，c)处有公共切线，∴.2a=3+b. 义：a+1=1+6,即a=6,故可得=3， b=3. C组·创新拓展 2由导数的定义，得 f'(0)=1im△）f0=lma(Ax)2+bAr+c-c △x =lim（a·△x+b)=b. 因为对于任意实数x,有f代x)≥0， 则4=b-4ac≤0. la>0, 所以ac≥ ,所以c>0, 所以=a+h+c≥b+2@c≥2=2，当且仅当a=c= f'(0)b b b 夕时，等号成立 练案[15] A组·基础自测 1D当y=范时y(面'22，D不正 确.故应选D. 2.By=(x)'=ex-l,故选B. 3.C f'(x)=a'ln a,f'(1)=aln a =In 27, 解得a=3,则f"(e)=33,放f(-)=3 4B由于y=压，所以了2左于是，=1，所以线在点 (行，2)处的切线的斜率等于1，切线方程为4x-4+1=0 故选B. 5.AC “曲线y=在点P的切线的斜率为-4， 1 =-4，=±2 y=±2. 即点P分，2或(-2，-2，选AC 子是因为)=源=子 6.1 所以W'()=子 7.x+y-号=0因为c0s乏=0，即求曲线y=c0sx在点 (受，0处的切线方程， y'=-sinx,当x=刀时，y'=-1. 所以切线方程为y=-1·(x-受） 即x+y-=0 80方法-=（停+号 =2mx+牙） 所以④）=2inz-5, 所以[4}=(wD)'=0. 方法二：因为（平）为常数，y=c(常数）的导函数为y=0,所 以[川=0 9.(1)因为fx)=√=x2,x>0,(x“)'=a·x-1, 所以f"()=(y=2+-39>0 (2y=(=(x)y=-44=-4x3=-x0 (3)因为y=-2sin5(1-2eas24） =2n（(2s2-）=2nmos7=sinx, 所以y'=(sinx)'=cosx,xeR (4)因为y=logx2-log2x=log2x,x>0, 所以y=(gx)'= h2t>0 10.()因为P(号a在圃线=6msx上，所以a=ms号=分 (2)因为y'=-sinx, 所以k,=y儿号m号=- 2练案[14] 第二章导数及其应用 §2[2.1导数的概念 2.2导数的几何意义] 化组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.若曲线y=f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的 切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面 1.设f'(x)=0,则曲线y=f(x)在点(x, f(xo))处的切线 ( 积为行，求a的值 A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 2.已知曲线y=- 2-2上一点P1,-),则 过点P的切线的倾斜角为 A.30° B.45° C.135° D.165° 3.一物体的运动方程为f(x)=x2-3x,则∫'(0) = ( ) A.△x-3 B.(△x)2-3△x C.-3 D.0 4.如图，函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切 10,已知线y=)=上两点P(2,-), 线是1，则f(2)+f'(2)等于 -, (1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率； (2)求曲线在P,Q处的切线方程. y=f(x) A.-4 B.3 C.-2 D.1 5.(多选)过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线1， 则直线的方程可能为 A.y=0 B.x=0 C.12x-y-24=0 D.27x-y-54=0 二、填空题 6.设f(x)是偶函数，若曲线y=f(x)在点(1， f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在(-1， f(-1))处的切线的斜率为 7.已知f(x)=mx2+n,且f(1)=-1,f(x)的导 函数f'(x)=4x,则m=,n= 8.已知曲线y=f(x)=2x2+a在点P处的切线 方程为8x-y-15=0,则实数a的值为 —128 B组·能力提升 :三、解答题 6.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+ 一、选择题 bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的 1.设f(x)满足im 1)-f1-△x)=-1,则曲 交点(1，c)处具有公共切线，求a,b的值， Ar- 2△x 线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为 A.2 B.-1 C.1 D.-2 2曲线y在点P(2,1)处的切线的倾到角 为 A.π 6 B.T ·4 c骨 D平 3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图 所示，设2)f1)=a,则下列不等式正确的 2-1 是 A.f'(1)<f'(2)<a B.f'(1)<a<f'(2) C.f'(2)<f'(1)<a D.a<f'(1)<f'(2) 二、填空题 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A, B,C的坐标分别为(0,4)，（2,0)，（6,4)，则 21+42-1 △x 0123456x 组·创新拓展 5.已知曲线y=代x)=,y=g(x)=1,它们的交 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为 f'(x),f'(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥ 点坐标为 ,过两曲线的交点作曲线f(x) 的切线，则该切线方程为 0则得的版小值为 —129