2.6.1 函数的单调性-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

076 》对点训练3 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ●易错警示 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键.一般从最外层开 始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数 例西数)e产的导数为 [错解]y=e1-2“+x(e-2)'=e-2s+xe-2=(1+x)e-2x [正解] [点评]错解中对é-2“求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全 课堂检测 固双基 1.函数y=(x2-1)”的复合过程正确的是 3.设x)=c0s2x-3x,则r')= A.y=u",u=x2-1 A.-5 B.-3 C.-4 D.-3m B.y=(w-1)",u=x2 4.曲线f(x)=e2x+3在(1，f(1))处的切线的斜 C.y=t,t=(x2-1)“ 率是 D.y=(t-1)",t=x2-1 2.已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则 夯基提能作业 a= 请同学们认真完成练案[17] A写 B. G.-3 D.、4 §6 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培 1.了解函数的单调性与导数的关系. 养数学抽象与逻辑推理素养， 2.能利用导数研究函数的单调性. 2.通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养 3.会求函数的单调区间. 数学运算素养. 077 必备知识 探新知 知识点一 函数的单调性与导数 般地，函数f(x)的单调性与导函数∫'(x)的正负之间具有如下关系： 单调 在某个区间(a,b)上，如果 递增 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增 单调 在某个区间(a,b)上，如果 那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减 递减 想一想： 1.在某一区间上∫'(x)>0(或f'(x)<0)是函数y=f(x)在该区间上单调递增（或单调递减） 的什么条件？ 2.若在某个区间上有有限个（或无限个不连续）点使∫'(x)=0,而其余点恒有∫'(x)>0(或 f'(x)<0),该函数在这个区间上是否仍是单调递增（或单调递减）的？ 练一练： 1.思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)若在某个区间(a,b)内总有f'(x)=0,则函数是常函数. ( (2)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减： (3)若函数f(x)的增区间是A,且(x)在区间B上单调递增，则A=B. (4)判断函数单调性时，在区间内的个别，点f'(x)=0,不影响函数在此区间的单调性 2.函数f(x)=3x-x的单调递增区间是 A.(0,+∞) B.(-∞，-1) C.(-1,1) D.(1,+∞) 知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 在某一范围内一个函数f(x)导数的绝对值为f'(x)I,则 f'(x)川 函数值的变化 函数的图象 越大 在这一 内变化得较快 比较“ ”(向上或向下) 越小 在这一范围内变化得 比较“ ” 078 练一练： 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=∫'(x)的图象如 图所示，则该函数的图象是 01x 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一导数与原函数图象的关系 规律方法： 例.1)已知)的导函数(x)的图象如图所示，那么(x)的图象最有 研究函数与导函裁图 象之间关系的策略 可能是图中的 ( (1)导函数的正负看 y y=f'(x) 原函数的增减 ①观察原函数的图 象，重在我出“上升“ “下降”产生变化的 012 点，分析函数值的变 化趋势； ②规察导函数的图 象，重在我出导函数 图象与x抽的交点，分 析导数的正负 (2)函数f(x)的定义域为[0,4]，函数f(x)与f'(x)的图象如图所示， (2)导函裁的绝对值 则函数(x)的单调递增区间为 大小决定原函裁增减 快慢 某一范围内导数的绝 1234 对值较大，那么函裁 在这个范围内变化得 ●[规律方法] 较快，这时函数的图 》对点训练1 象就比较“陡峭”（向 (1)(多选)设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f'(x)的图 上或向下)；反之，函 数的图象就比较“平 象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是 缓” [提醒]解决问题 时，要分清是原函数 图象还是导函数 (2)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf'(x)>0的解集 图象 为 从23龙 ●079 题型二利用导数求函数的单调区间 例2()函数八)=。+1的单调递减区间是 A.（-0,1) B.(1,+0) C.(-∞，-1) D.（-1,+0) (2)函数f八x)=x-2sinx+1在(0，π)上的单调递增区间是() A(0别 R(得 规律方法： 1.利用导数求函数 co,引 D(得 f(x)的单调区间的 般步骤为： [规律方法] （1)确定函数∫(x) 】对点训练2 的定义域 (2)求导裁f'(x). 求下列函数的单调区间： (3)在函数f(x)的 (1)f(x)=x3-3x+1; 定义战内解不等式 (2fx)=x+b(b>0). ∫'(x)>0和f'(x) <0. (4)根据(3)的结 果确定函数∫(x)的单 调区间 2.若y=f(x)在(a,b) 内可导，∫'(x)≥0或 f'(x)≤0且y=f(x) 在(a,b)内导数为0 的点仅有有限个，则 y=f(x)在(a,b)内仍 是单调函数，例如： y=x3在R上∫'(x)≥ 0,所以y=x3在R上 单调递增. 080 题型三 利用导数求含参数函数的单调性 例3.讨论函数x)=2+-(a+1)·l1nx(a≥0)的单调性 规律方法： 含有参数的函数单调 性问题的处理方法 (1)在判断含有参裁 ·[规律方法] 的函数的单调性时， 不仅要考虑到参裁的 》对点训练3 取值范围，而且要结 求函数)-亨+ola∈R)的单调递减区间 合函数的定义域来确 定∫'(x)的符号，否则 会产生错误 (2)分类讨论是把数 学问题刻分为若千个 局部问题，在每一个 局部问题中，原先的 不确定因素，就变成 了确定性问题，当这 些局部问题都解决 了，整个问题就解 决了. 081 题型四已知函数的单调性，确定参数的取值范围 例4.若函数)=-分+(a-1)x+1在区间1,4)上是减函数，在 规律方法： 区间(6，+∞)上是增函数，试求实数a的取值范围， 1.利用导数法解决取 值范围问题的两个基 [分析]根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解. 本思路： （1)将问题转化为不 等式在某区间上的恒 成立问题，即f'(x) ≥0（或f'(x)≤0） 恒成立，利用分离参 裁或函数性质求解参 数范围，然后检验参 数取“=”时是否满 足题意 (2)先令∫'(x)>0 (或∫'(x)<0),求 ·[规律方法] 出参数的取值范围 》对点训练4 后，再验证参数取 (1)若函数f()=(a2-x+5)e在区间3,4 上单调递增，则实数c的 “=”时f(x)是否满 足题意 取值范围是 2.恒成立问题的重要 A.(-∞，2] B.(-∞，4] C.(-0,8] D.[-2,4] 思路 (2)已知函数)-血+-)在[}，2上存在单调递暗区间，则实 (1)m≥f(x)恒成立 2 →m≥f(x)m 数b的取值范围是 (2)m≤f(x)恒成立 B.（-∞，3) D.(-0,2) 今m≤f(x)n 课堂检测 固双基 1.函数f(x)=2x+cosx在(-0，+o)上 B[-1,u别 A.是增函数 B.是减函数 c[-3-lui1.2 C.单调性不确定 D.是奇函数 2函数y=(x)在定义域[-号3内可导，其函 D[-3u[2u[3 3.函数f(x)=(x-4)e的单调递增区间是 数图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y= f'(x),则不等式f'(x)≥0的解集为() A.（-0,5) B.(5,+∞) C.(3,+∞) D.（-∞，3) y=fx) N1 4.已知函数f(x)=+在(-2，+)内单调 x+2 302 递减，则实数a的取值范围为 A[-3u[2,3] 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18]知识点二 [f(p(x))]'f'(u)p'(x),其中u=p(x) 想一想： 只有外函数y=f代u)的定义域与内函数u=p(x)的值域的 交集非空时才能复合. 练一练： 1.Gy3-=(3x-), y=-2(3x-1)3·(3x-1) =-6(3x-1)3=3x-1) 6 2.1易得f'(x)=4(2x+a), 又f'(2)=20,即4(4+a)=20 解得a=1. 关键能力攻重难 例1：函数2中1可以看成函数y=女与函数u=(2: +1)2的复合，也可以看成函数y= (a 与函数u=2x+1的 复合 对点训练1：函数y=e2-1可以看成函数y=e“与函数u= 2x-1的复合. 例2：(1)设y=t2,u=4-3x,则y'=2u,4'=-3,于是y =y'·u'=-6(4-3x)=18x-24, 即y'=18x-24. （2)设y=0s,u=2x-平， 则ya'=-sinu,u'=2, 于是，'=y.·4,'=-2m2x-牙） 即y=-2sn2x-4} (3)设y=l血u,u=4x-1,则y'= 4,'=4, 于是y'=y.'·4,'=4x- 4 即y=4x-了 4 (4)设y=e",u=x2,则y.'=e“,4'=2x, 于是y'=y.'·u,'=e2·2x,即y=2xe 对点训练2：(1)By'=(x2)'cos2x+x2(cos2x)' =2xcos2x+x2(-sin2x）·(2x)' 2xcos 2x -2xsin 2x. (2)Bf'(x)=。 1 2√ax-I ·(ax-1)'=a 2 /ax-1 f'(10=2a- a ==1, 解得a=2. (3)10f'(x)=5(2x+1)4·(2x+1)'=10(2x+1), ∴.f'(0)=10. 例3：(1)Df'(x)= +心函数f(x)=ln(2+1)的 2x 图象在点11)处的切线的斜*k=f()=子1=1.设函 数f代x)=l(x2+1)的图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为 0,则an0=1,0=牙 (2)3设切点为(xo少)， y=h(s+o)n+ar ÷切线的斜率k=1=1, xo +a 16 ∴.0+a=1. 又yo=ln(+a),.yo=0, 又y0=0+2=0.0=-2..a=3. 对点训练3：2x-y=0设x>0,则-x<0,f代-x)=e*-1+x 又f(x)为偶函数，fx)=f(-x)=e-1+ 所以当x>0时f代x)=e-1+x 因此，当x>0时f'(x)=e-1+1f'(1)=e°+1=2. 则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2, 所以切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 例4：y'=(1-2x)e-2y'=e-2r+x(e-2)'=e-2+ xe1-2(1-2x)'=e1-24+xe1-2·（-2)=(1-2x)e-24 课堂检测固双基 1.A将x-1看作整体，记u=x-1,则y=(x-1)”由y=” 和u=x2-1复合而成. 2 2.Af"(x0=2x+1-a 2 所以f'(2)=5-a=-1,解得a=5 3.Bf'(x）=(cos2x）'-3=-2sin2x-3 f'(）=-2mm-3=3 4.-2ef'(x)=e2m+3·(-2x+3) =-2e-2x+3 f'(1)=-2e, .∴.所求切线的斜率k=-2e. §6用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 必备知识探新知 知识点一 f'(x)>0f'(x)<0 想一想： 1.充分不必要条件 2.是. 练一练： 1.(1)V由常函数的导数为0可知此说法正确 (2)×如(x)=士在定义域上都有f'()<0,但函数 f代x)=】在定义域上不单调递减。 1 (3)×区间A和B应满足B二A. (4)V若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点 恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）· 2.C因为函数f代x)=3x-x, 所以f'(x)=3-3x=-3(x+1)(x-1) 令f'(x)>0,解得-1<x<1. 所以函数y=3x-x3的单调递增区间是(-1,1). 知识点二 范围陡峭较慢平缓 练一练： B由导数的图象可得，导函数f'(x)的值在[-1,0]上逐 渐增大，故函数f(x)在[-1,0]上增长速度逐渐增大，故函数 f(x)的图象是下凹型的.导函数f'(x)的值在[0,1]上逐渐减 小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图象是上凸型 的，故选B. 关键能力攻重难 例1：(1)D由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x) <0,函数f(x)是减函数；当x∈(0,2)时，导函数f'(x)>0,函数 f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D. (2)(2,4]若f'(x)的图象为虚线，则f(x)的图象为实线， 由f'(x)>0,得x>3,则f(x)在(3,4]上单调递增，与f(x)的实 线图象不符，故不成立；若f'(x)的图象为实线，则f(x)的图象 为虚线，由f'(x)>0,得x>2,所以f(x)在(2,4]上单调递增，与 f代x)的虚线图象相符，故成立， 综上，f(x)在(2,4]上单调递增， 对点训练1：(1)ABCA,B,C均有可能；对于D,若C,为导 函数，则y=f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y= (x)应为减函数，也不符合，D不可能 (2)(0,2U(2,+）由y=f(x)的图象可知x)在 (-如，2）和(2，+∞)上单调递增，在（分，2上单调递减， 所以f"()>0的解集为-，U(2,+)”(x)<0 的解集为(22)： 由对'(x)>0得（）>0或'（)<0， Lx>0 x<0. 所以寸()>0的解集为0，U(2,+0). 例2：(1)Cf'(x)=(x+1)e, 当x<-1时f'(x)<0,函数单调递减， (2)D f(x)=x-2sin x+1,f'(x)=1-2cosx>0, 可得写<x<, 故(x)在(0，)上的单调递增区间为（写， 对点训练2：(1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0 即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1 ∴.函数f代x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)， 令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1. ∴.函数f(x)的单调递减区间为(-1,1). (2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， f')=(+)=1-名 "()>0,则宁(x+0(->0. x>6,或x<-6. 函数的单调递增区间为(-0，-√b)和（石，+）. 令f'(x)<0,则(x+6(x-⑥<0， ·.-√b<x<D,且≠0. .函数的单调递减区间为(-√石，0)和(0,6). 例3：函数f(x)的定义域为(0，+o), f'(x)=ax+1-a+1=a2+x-(a+1) ①当a=0时f'(x)==1 由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，+∞)内为增函数 a(x+a+(x-1) ②当a>0时f'(x)= a a>0.a+1>0. 由f'(x)>0,得x>1,由f(x)<0,得0<x<1. .f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，+∞)内为增函数 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1， +∞)内为增函数. 16 对点训练3：易得函数f(x)的定义域是(0，+0)，f'(x)= ①当a≤0时，f'(x)<0在(0，+)上恒成立， 故f代x)在(0，+o)上单调递减. ②当a>0时，若0<√层则f()<0: 若>√层则r)>0, 所以)在(0√会)上单调递减，在（√/只，+上单调 递增 综上可知，当a≤0时f(x)的单调递减区间为(0，+)，当 a>0时小)的单洲莲淡区肉为0，√ 例4：f'(x)=x2-a+a-1,由题意知f'(x)≤0在区间(1,4)上 恒成立，且f'(x)≥0在区间(6，+∞)上恒成立 由f'(x)≤0得x2-ax+a-1≤0. e1,4)-1e03a=+1 x+1∈(2,5)，而a≥x+1恒成立，.a≥5. f'(x)≥0得x2-ax+a-1≥0. :xe(6,+0),x-1>5,a≤=x+1. x-1 .x+1∈(7，+o),而a≤x+1恒成立，∴.a≤7 经检验a=5和a=7都符合题意， ∴.a的取值范围是5≤a≤7. 对点训练4：(1)B易得f'(x)=[x2+(2-c)x-c+5]e 函数)在区间宁小止单调遥蜡，等价于+(2-e小 c+5≥0对任意xe[分4恒成立， 六c≤+5对任意e[分4恒成立 x+1 e[宁5=+1+≥4，当且仅当 4 x+1 1时等号成立，.c≤4. 2)A易得f"()=+-6=2-2+ 2x 根据题意，得'(x)>0在[分，2]上有解，令()=2x 2bx+1, 因为A(0)=1>0,所以只需4(2)>0或(）>0。 解得6<是，放选A 课堂检测固双基 1.Af'(x)=2-sinx>0,∴f(x)在(-∞，+o)上是增函数. 2.c由图象可知在定义蚊[-子，3]内的递增区间为[-子 3 -]121. 则不等式f'()≥0的解集为列[-子-号]U[1,2], 3.Afx)=(x-4)e*, f'(x)=e-(x-4)e*=e(5-x) 由f'(x)>0得x<5,故选A. 4(-,2）f'()-a+》+2+）·x+2少y （x+2)2 =2a-1 (x+2)2, 由函数f代x)在(-2，+∞)内单调递减知，f'(x)≤0在(-2， +)内恒成立，即a2≤0在(-2，+∞)内恒成立，因此 2x+1 又当a=分时八)=+2宁为常数函数。 所以不符合题意，所以a的取值范围是(-，)} 6.2 函数的极值 必备知识探新知 知识点 (1)小于(2)大于极值点极值 想一想： 不一定 练一练： 1.Dy'=3-3x2=3(1+x)(1-x). 令y’=0得x1=-1,x2=1. 当x<-1时，y'<0,函数y=1+3x-x3在(-0，-1)上单 调递减：当-1<x<1时，y'>0,函数y=1+3x-x在(-1,1) 上单调递增；当x>1时，y<0,函数y=1+3x-x在(1，+0) 上单调递减.所以当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值 -1:当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3. 2.DA.因为函数y=e*是实数集上的增函数，所以函数y =e没有极值；B.因为函数y=nx是正实数集上的增函数，所 以函数y=lnx没有极值：C.因为函数y=2在区间(0，+0）， x (-0,0)上是减函数，所以函数y=2没有极值：D.因为y= -2x=(x-1)2-1,所以该函数在(1，+0)上是增函数，在 (-∞，1)上是减函数，因此1是函数的极小值点，符合题意. 知识点二 (3)①左正右负②左负右正③相同 练一练： 1.(1)×(2)×(3)×(4)V 2.8y=3-3x2=3(1+x)(1-x),令y'=0得x1=-1,x2 =1,经判断知x=1是极大值点 故f1）=2+m=10,m=8. 关键能力攻重难 例1：(1)B由于f()=-1=1(x>0), 令f'(x)>0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递增： 令f'(x)<0,则x>1,所以f代x)在(1，+∞)上单调递减；所 以f代x)极大值为f1)=-1,无极小值 (2)AD由题可知f(x)=xnx+x的定义域为(0，+∞)， 对于A"()=ix+2n+1,则f(日)=l是+2h名+1 e e =1-2+1=0,故A正确；对于B,D,f'(x)=ln2x+2nx+1= (nx+1)2≥0，所以函数f代x)单调递增，故无极值点，故B错误， D正确；对于C,f(x)=xn2x+x=x(lnx+1)>0,故函数f(x)不 存在零点，故C错误. 对点训练1：(1)B因为三次函数过原点，故可设为y=x +br2+cx,所以y'=3x2+2bx+c. 又x=1,3是y=0的两个根， 「1+3= 3 所以 即，6=-6， 1×3=3: C c=9, 7 所以y=x3-6x2+9x, 又y=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),且当x=1时，y极大值=4， 当x=3时，y极小放=0，满足条件。 (2)2由f'(x)=3x2-6x=0, 解得x=0或x=2. 列表： x (-0,0)》 0 (0,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 0 + f(x) 极大值 极小值 所以当x=2时，f(x)取得极小值 例2：f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]e 令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2, 由a≠号知-2a≠a-2 分以下两种情况讨论： ①若a>子则-2<a-2 当x变化时，f'(x)f(x)的变化情况如下表： (-, (a-2, -2a (-2a, a-2 -2a) a-2) +0) f'(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-o,-2a),(a-2,+∞)上是增函数，在 (-2a,a-2)上是减函数，函数f(x)在x=-2a处取得极大值 f(-2a),且f代-2a)=3ae2“,函数f代x)在x=a-2处取得极小 值fa-2),且fa-2)=(4-3a)e-2. ②若a<号，则-2a>a-2. 当x变化时f'(x)fx)的变化情况如下表： (- (a-2, -2a (-2a, a-2) a-2 -2a) +0) f'(x) 0 一 0 × f(x) 极大值 极小值 所以f代x)在(-∞，a-2),（-2a,+∞)上是增函数，在(a -2,-2a)上是减函数，函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a -2),且f代a-2)=(4-3a)e-2,函数f代x)在x=-2a处取得极 小值f-2a),且f代-2a)=3ae. 对点训练2：由题意，函数x)=lnx+a2+(a+1)x的定 义城为0，+)，且f'()=+ax+a+1=a+山+山 若a≥0，则当xe(0,+∞)时，f'(x)>0, 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，函数f代x)无极值；若a <0,当xe(0,-)时，f'(x)>0:当xe(-a+时. '(x)<0, 故函数x)在(0，日上单调递增，在(-，+如上单 调递减，所以函数x)有极大值(-日)=(-日）六-山， 无极小值。 综上，当a≥0时，函数f(x)无极值；当a<0时，函数fx)有 极大值为山(-日）。-1，无板小值 例3：(1)f'(x)=3ax2+2bx+c 0