1.5 数学归纳法-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

的单调递增函数，因此F,是关于n的单调递增函数，所以满 足a的最小值应该是，≥1000，即256[(3）-+40× 7+75=100. 解得a≥3082，又因为a为正整数， 21 所以a的最小值为147 B组·能力提升 1.B纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l=πd +md,+…+md0=60m×4+2=480×3.14=1507.2(cm) 2 ≈15m,故选B. 2.B2024年1月1日，2023年1月1日，…2019年1月1日 存人钱的本息分别为a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r),求和 可得a1+r+91=a[(1+r-(1+r)]. 1-(1+r) 3.C不妨设2022年1月份甲、乙两工厂的产值均为a,甲工厂 以后每个月比前一个月增加的产值为d(d>0),乙工厂以后 每个月比前一个月产值增加的百分比为q(q>0),则由题意 得a+10d=a(1+q).易知甲、乙两工厂2022年6月份的产 值分别为a+5d.a(1+g)户=a·√t0=V瓜+10ad又 √a2+10ad<a+5d,所以2022年6月甲工厂的产值大于乙 工厂的产值 4.30-1设6月份降价前的价格为a,三次价格平均回升率 3 为x,则a×90%×(1+x)3=a, 30.2/10-1=30 1+x=√9x=√9 5.a(1+b)a(1+b)52021年产生的垃圾量为a吨，下一年 的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以 下一年的垃圾量为a(1+b)吨：2026年是从2021年起再过5 年，所以2026年的垃圾量是a(1+b)5吨 6.(1)由题意得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+ 0.9n=14.4+0.2mn+D+0.9n=0.1n2+n+14.4. 2 (2)设该车的年平均费用为S万元，则有 s=m=017+a+144)=0+441≥2函 72 +1=3.4, 当日仅当合=4兰，即n=卫时，等号成立，即5取最小值 3.4. ∴.这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小 值是3.4万元 C组·创新拓展 D设经过n年之后，该果园的资金为a.万元，由题意知a= 800×(1+20%)-100=860,am+1=am×(1+20%）-100= 5a.-100, 6 19 又a1-50=号(a.-50).4-50=360≠0， .可知an-500≠0，.数列am-500}为首项为360，公比为 的等比数列， a.-50=(a-50)x(号）=360x(号）， 即a.=360× 令a≥32m,可得()≥。 (a-1)s号≥lg号， 15 ∴.n-1≥ 空5-2.35-29. 6 1g 6-1g 51g 2+1g 3-1g5 1g5 n≥10.故选D. 练案[12] A组·基础自测 1.C由a2+1知，当n=1时，等式的左边是1+a+a2+a3. 2.B由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥2)为偶数 时命题为真， 则还需要用归纳假设再证n=k+2, 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数， 故选B. 3.C因为fk)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2),fk+1) =(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+ 1),则fk+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k. 4D当a=k时左猫=女+中2+…+2女 1 1 当n=k+1时，左端=+2++3+…++k+2k++ 1 26+2,② 11 ②-①得2k+12k+2 5.BD易知当n=1时，该同学的证法正确.从n=k到n=k+1 的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法 的证题要求，故推理不正确. 1.1 1 1 1 11 6.2交+3京++F+(k+1)+(k+2)>交k+3 观察不 等式中备项的分母变化，知a-+1时，+宁+…+定+ 1 1 1、11 (k+1)+(k+2)>2k+3 7.2*当n=k时成立， 即=1+宁+兮+ 则n=k+1成立时，有fk+1)）=1+分+写+…+2士 1 1 +…+2*+2- 所以增加的项数是(2+2-1)-(2-1)=2. 8.-nt号因为当n≥2时，有a=5。-S-1,因此由S,+S+2 n+2 =4可得8+发+2=-5，化简得8=2+因 为S,=a1=-3 2 所以5，=2+52+(-3) 1 1 、3 12 =-2+5 1 4 2+(-引 -51 由此猜想数列S,的通项公式为5=一只牛，用数学归纳法 证明： 当n=1时，S1=- ，显然成立： 2 假设当n=k时成立，即S= k+2' 当n=+1时，5=2+2 k+1 +(-k+2 号即 当n=k+1时，猜想也成立. 综上所述及=号 9.(1)当n=1时，等式左边=2，右边=2，故等式成立. (2)假设当n=k(keN*,k≥1)时等式成立， 即(k+1)(k+2)·…·(k+k) =2.1·3·5·…·(2k-1). 那么当n=k+1时， 左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2) =2·1·3·5··(2k-1)(2k+1)·2 =21.1·3.5·…·(2k-1)(2k+1) =2+1·1.3·5·…·[2(k+1)-1]. 这就是说当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立. 10.由已知得2bn=a.+a+1,a1=bba+1,a1=2,b1=4, 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20, b4=25. 猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，可得结论成立 ②假设当n=k(k≥1，keN)时，结论成立， 即a:=k(k+1),b=(k+1)2, 那么当n=k+1时， a4+1=2bg-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2), 41==+2+2少=6+2) (k+1)2 .当n=k+1时，结论也成立 由①②可知，an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都 成立 B组·能力提升 1B1+分+++克= ,1 =2- =2”-1 1-2 1 26 26 1 19 2.D由f(n)可知，f(n)中共有(n2-n+1)项，且n=2时，f2) =方+行+子故选D 11 3.D当n=k时，等式的左边为1-2+3-4+…+2k- 2k' 当a=6+1时，等式的左边为1-分+兮-号+…+水1 1 1 2k+2k+12k+2 故从“n=k到n=k+1”,左边所要添加的项是2k+2k+2 1 4.k+1当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+ 1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k+1个 区域 5(1+2+1+2+31+2）2- 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是 (1+2十)最后一个是(1+2）根据等差数列通项公 式可求得共有2-)，(2+山+1=2-2=2项 2 _2a,-(neN"). 6.(1)在数列{a.}中，a=1,a1=2+a 2a1-2×1-2. 当n=1时，4=2+42+139 2 当n=2时，a42+a,2+号 2a2 1 2a3 2×2-2 当n=3时，a4=2+a,2+2 2 12 2 所以a=行a=2=4a=5, 猜测a,=2 +1 2 (2)证明：①当n=1时，a1=11+=1, 所以a1=1,所以n=1时，等式成立； ②假设当n=k时，等式成立，即a:=k+ 2 2× 2a=+1=4=2 则a122+as2+k+1 ,2=2k+4=k+2 2 F(k+1)+1' 所以n=k+1时，等式成立 综合①和2可知，对于任意的aeN”,4=7子均成立 C组·创新拓展 25(34+2+521)+56·3+2当n=k+1时，3(4)*2+ 52(k+101=81·34+2+25·52k+1=25(34k+2+52k+1)+ 56·34+2练案[12] 第一章数列 *§5数学归纳法 见组·基础自测 √(k+1)2+(k+1)=√+3张+2 < 一、选择题 √+3k+2+(k+2)=√(k+2)2=(k+1)+1, 1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2m+1 所以当n=k+1时，不等式成立.上述证法 1-a2m+2 一(a≠1)”.在验证n=1时，左端计算 () 1-a A.过程全部正确 所得项为 B.n=1时证明正确 A.1+a B.1+a+a2 C.过程全部不正确 C.1+a+a2+a D.1+a+a2+a3+a4 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 2.已知心为正偶数，用数学归纳法证明1-了+ 二、填空题 6用数学归纳法证明}+分+…+ 1 n+2 十 n+1)2> n-1 n 11 +2n)时，若已假设n=k(k≥2)为偶数时命题 1 2n+2假设n=k时，不等式成立，则当n= k+1时，应推证的目标不等式是 为真，则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立 7.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k A.n=k+1 B.n=k+2 C.n=2k+2 D.n=2(k+2) 时成立推导n=k+1时成立时）=1+了+ 3.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+… +(3n-2)=(2n-1)2(n∈N,)时，若记f(n) 号+…+2一增如的项数是 =n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2),则8.已知数列{an的前n项和为Sn,满足S.+ f(k+1)-f(k)等于 1 A.3k-1 B.3k+1 +2=a(n≥2)4=-号则s. C.8k D.9k 三、解答题 4用数学归纳法证明不等式1 9.求证：(n+1)(n+2)…(n+n)=2”·1·3· 几+1十22+·+ 5·…·(2n-1)(n∈N*). n+n>24(n≥2，neN,)的过程中，由n=k递 1、13 推到n=k+1时，不等式左边增加了( 1 1 1 A.2(k+1) B.2k+1+2h+2 11 1 1 C2k+1k+1 D.2k+12k+2 5.(多选)对于不等式Wn2+n≤n+1(n∈N*), 某同学运用数学归纳法的证明过程如下： ①当n=1时，√12+1≤1+1，不等式成立. ②假设当n=k(k≥l,keN)时，不等式成立，即 +k≤k+1,则当n=k+1时， —124 10.在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,二、填空题 a+1成等差数列，b.,a.1,b+1成等比数列4.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任 (n∈N*). 何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},bn} ()个区域，则k+1条直线把平面分成的区域数 的通项公式，并证明你的结论 f(k+1)=f(k)+ 5.用数学归纳法证明1+3)1+51+）· …1+2小2平(>1)，则当 2 k+1时，在n=k时的左端应乘上 ,这个乘上去的代数式共有因式的个数是 三、解答题 乃组·能力提升 2a.(n∈N*): 6.在数列an}中，a,=1,a+1=2+a 一、选择题 (1)分别求出a2,a3,a4,并根据上述结果猜想 1.用数学归纳法证明不等式1+ 1 2+4+…+ 这个数列的通项公式； 士>阳成立时，起始值至少应取为 (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想. A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知(m)=1+ 1 1 n+,1十n+2力2·0川 Am)巾共有n项，当n=2时2)=分+号 B.f(n)中共有(n+1)项，当n=2时，f(2)= 3+好+好 C.f(n)中共有(n2-n)项，当n=2时，f(2)= 3+ D.f(n)中共有(n2-n+1)项，当n=2时， 11.1 f2)=2+3+4 3用数学归纳法证明1-方+兮- 34+…+ 1 11 1 1 2n-12nn+1+n+2+…+2nneN), 则从k到+1时左边添加的项是 ( 组·创新拓展 1 1 1 用数学归纳法证明3+2+52+1能被14整除 A.2k+1 B.2k+22k+4 的过程中，当n=k+1时，34(+1+2+52+)+1 1 1 应变形为 C.-2k+2 D.2k+12k+2 125