1.4 数列在日常经济生活中的应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[11] 第一章 §4数列在日常 化组·基础自测 一、选择题 1.某产品计划每年成本降低g%,若三年后成本 为a元，则现在的成本是 A.a(1+g%)3元 B.a(1-g%)3元 a c0-%)元 a (1+9%)3元 D. 2.一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一 层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片， 斜面上铺了20层瓦片，共铺了瓦片() A.420块B.630块C.610块D.620块 3.某储蓄所计划从2020年起，力争做到每年的吸 储量比前一年增长8%，则2023年底该储蓄所 的吸储量将比2020年的吸储量增加（ A.24% B.32% C.(1.083-1)×100% D.(1.084-1)×1.08 4.(多选)某纯净水厂在净化过程中，每增加一 次过滤可减少水中杂质的20%，已知水中杂 质减少到原来的5%以下，则过滤的次数可能 为(1g2≈0.3010) A.5B.10 C.14D.15 5.（多选)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例 分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思， 通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A,B, C三人分配奖金的“衰分比”为10%，若A分 得奖金1000元，则B,C所分得奖金分别为 900元和810元.甲、乙、丙、丁四人入股某种 理财产品，其中一个月的月度分红为59040 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分 配，且甲与丙共获得32800元，则下列说法正 确的是 A.四人本月分红的“衰分比”为80% B.本月丙所获得的分红为12800元 C.四人本月分红的“衰分比”为20% D.本月甲所获得的分红为19680元 二、填空题 6.一种专门侵占内存的计算机病毒的大小为 2KB,它每3s自身复制一次，复制后所占内存 是原来的两倍，则内存为64MB(1MB= 20KB)的计算机开机后经过 s,内存被 占完 数列 经济生活中的应用 7.有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土 地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕 需要24小时，现在这些收割机是每隔相同的 时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一 直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机工 作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收 割完这片土地上的小麦需要小时： 8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天 植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2 倍，则需要的最少天数n(n∈N.)等于_： 三、解答题 9.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效 益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型 公交车.每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更 换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初 投人了电力型公交车128辆，混合动力型公交 车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比 上一年增加50%，混合动力型车每年比上一 年多投人a辆.设an,bn分别为第n年投入的 电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设 Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混 合动力型公交车的总数量. (1)求Sn,T,并求n年里投入的所有新公交 车的总数F; (2)该市计划用7年的时间完成全部更换，求 a的最小值， 22 乃组·能力提升 一、选择题 1.一个卷筒纸，其内圆直径为4cm,外圆直径为 12cm,一共卷60层，若把各层都视为一个同 心圆，π=3.14，则这个卷筒纸的长度为（精确 到个位) A.14m B.15m C.16m D.17m 2.某人从2019年1月1日起，且以后每年1月1 日到银行存入α元（一年定期），若年利率r保 持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年 定期，到2025年1月1日将所有存款及利息 全部取回，他可取回的钱数（单位为元）为 A.a(1+r)7 B.a[(1+r)7-(1+r)] C.a(1+r)8 D.4[(1+r)8-(1+r）] 3.已知甲、乙两工厂的月产值在2022年1月份 时相同，甲工厂以后每个月比前一个月增加相 同的产值，乙工厂以后每个月比前一个月产值 增加的百分比相同，到2022年11月份发现两 工厂的月产值又是相同的.现比较甲、乙两工 厂2022年6月份的产值，则有 A.甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值 C.甲的产值大于乙的产值 D.不能确定 二、填空题 4.某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10， 11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水 平，则这三次价格平均回升率是 5.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率 为b,2021年产生的垃圾量为a吨，由此预测， 该区下一年的垃圾量为 吨，2026年 的垃圾量为 吨， 123 三、解答题 6.某人为了出行方便，准备购买新能源汽车.假 设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、 充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维 修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第 三年0.6万元，…，等差逐年递增. (1)设使用n年该车的总费用（包括购车费 用)为f(n),试写出f(n)的表达式； (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合 算（即该车使用多少年平均费用最少），年平 均费用的最小值是多少？ 组·创新拓展 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被 列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华 名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园 注入了启动资金800万元，已知每年可获利 20%,但由于竞争激烈，每年年底需要从利润 中取出100万元进行技术改造和广告投入，方 能保持原有的利润率，则至少经过年，该 项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为 原来的4倍)的目标？ () (参考数：lg2≈0.3，lg3≈0.5，lg5≈0.7) A.7 B.8C.9 D.10=4+4.31-3）-4h3=4+23(3-1-1）-43, 1-3 =(2-4n)·3"-2,∴.T.=(2n-1)·3"+1. C组·创新拓展 CD{a,}各项乘10再减4得到数列{bn}:0,3,6,12,24,48, 96,192,…,所以该数列从第2项起构成公比为2的等比 数列， 0,n=1, 所以bn= l3×2-2,n≥2， 所以A错误： 从而a,=么+4=0.4，n=1, 10 10.3×2m-2+0.4,n≥2， 所以a24=0.3×222+0.4,所以B错误； 当n=1时，S1=a1=0.4; 当n≥2时， Sn=a1+a2+…+an=0.4+0.3×(2°+2+…+2"-2)+0.4 (n-1)=0.4n+0.3×22=0.4n+0.3x2-1-0.3 当n=1时，S1=0.4也符合上式，所以Sn=0.4n+0.3×2-1 -0.3,所以C正确； 因为6n=0,n=1, 所以当n=1时，T=b1=0 13n×2"-2,n≥2， 当n≥2时，Tn=b1+2b2+3b3+…+bn=0+3(2×2°+3×2 +4×22+…+n×2-2), 2Tm=3(2×2+3×22+4×23+…+n×2"-1), 所以-T.=0+3(2+2+22+…+2-2-n×2-l)》 =32+2-2- 1-2-nx2-) =3(1-n)×2"-1, 所以Tn=3(n-1)×2"-1. 又当n=1时，T1也满足上式，所以T.=3(n-1)×2"-1,所以 D正确， 练案[11] A组·基础自测 1.C设现在的成本为x元，则x(1-g%)3=a,故x= (1-9%)故选C 2.C由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首 项的等差数列，求前20项的和， 所以共铺了瓦片S=20×21+20X19x1=610(块). 2 3.C设2020年吸储量为a. 则2021年吸储量为a(1+8%), 2022年吸储量为a(1+8%)2, 2023年吸储量为a(1+8%)3, .∴.2023年底比2020年增加(1.083-1)×100% 4.CD设原杂质数为1， 由题意，得每次过滤杂质数成等比数列， 且a1=1,公比9=1-20%， 故a+1=(1-20%). 由题意可知(1-20%)“<5%， 19 即0.8”<0.05 两边取对数，得nlg0.8<lg0.05, 因为g0.8<0,所以n>g0.8, 、1g0.05 即n>g5-2=1-g2-2--g2-1 1g8-1=3lg2-1=3lg2-1 -0.3010-1≈13.41， 3×0.3010-1 故取n=14,15 5.BC由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列， 设此等比数列为an},且公比为q, 设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比"的值为x,则x=1一g 依题意，a1+a2+a3+a4=59040,a1+a3=32800,则a2+a4 =59040-32800=26240,g=%+04=0.8,所以“衰分比” a1+a3 的值x=1-0.8=0.2=20%,因为a1+a3=a1+a192=a1(1+ )=a41+0.8)=1.64a1=32800,a1=264=20000, 所以a3=a19=20000×0.82=12800, 所以丙所获得的分红为12800元 6.45设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{a,},且 a1=2×2=4,9=2,则an=4·2"-1 令4·2-1=64×20，得n=15,即复制15次，共用45s. 7.40设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1,a2, …,a.,依题意，{an}是一个等差数列，且 fa1=5am,① [a1+a2+…+am=24n,② 由②得(a+a, 2 =24n,所以a1+am=48.③ 将①③联立，解得a1=40.故用这种方法收割完这片土地上的 小麦需要40小时. 8.6设每天植树的棵数组成的数列为{a.}, 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意 可得2-22≥100，即2≥51，而2=32,2°=64，nN.,所 1-2 以n≥6. 9.(1)an,b,分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公 交车的数量， 依题意知，数列a,是首项为128，公比为1+50%=弓的等 比数列；数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，所以数 12s1-(31 列{an}的前n项和Sn= =256[()-小 1-2 数列b,}的前n项和T.=400n+nn,a, 2 所以经过n年，该市更换的公交车总数 =5,+7.=256[(3)广-小+400a+an,-D 2 (2)因为256[(2-小，40n+an2山(a>0)是关于n 2 的单调递增函数，因此F,是关于n的单调递增函数，所以满 足a的最小值应该是，≥1000，即256[(3）-+40× 7+75=100. 解得a≥3082，又因为a为正整数， 21 所以a的最小值为147 B组·能力提升 1.B纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l=πd +md,+…+md0=60m×4+2=480×3.14=1507.2(cm) 2 ≈15m,故选B. 2.B2024年1月1日，2023年1月1日，…2019年1月1日 存人钱的本息分别为a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r),求和 可得a1+r+91=a[(1+r-(1+r)]. 1-(1+r) 3.C不妨设2022年1月份甲、乙两工厂的产值均为a,甲工厂 以后每个月比前一个月增加的产值为d(d>0),乙工厂以后 每个月比前一个月产值增加的百分比为q(q>0),则由题意 得a+10d=a(1+q).易知甲、乙两工厂2022年6月份的产 值分别为a+5d.a(1+g)户=a·√t0=V瓜+10ad又 √a2+10ad<a+5d,所以2022年6月甲工厂的产值大于乙 工厂的产值 4.30-1设6月份降价前的价格为a,三次价格平均回升率 3 为x,则a×90%×(1+x)3=a, 30.2/10-1=30 1+x=√9x=√9 5.a(1+b)a(1+b)52021年产生的垃圾量为a吨，下一年 的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以 下一年的垃圾量为a(1+b)吨：2026年是从2021年起再过5 年，所以2026年的垃圾量是a(1+b)5吨 6.(1)由题意得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+ 0.9n=14.4+0.2mn+D+0.9n=0.1n2+n+14.4. 2 (2)设该车的年平均费用为S万元，则有 s=m=017+a+144)=0+441≥2函 72 +1=3.4, 当日仅当合=4兰，即n=卫时，等号成立，即5取最小值 3.4. ∴.这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小 值是3.4万元 C组·创新拓展 D设经过n年之后，该果园的资金为a.万元，由题意知a= 800×(1+20%)-100=860,am+1=am×(1+20%）-100= 5a.-100, 6 19 又a1-50=号(a.-50).4-50=360≠0， .可知an-500≠0，.数列am-500}为首项为360，公比为 的等比数列， a.-50=(a-50)x(号）=360x(号）， 即a.=360× 令a≥32m,可得()≥。 (a-1)s号≥lg号， 15 ∴.n-1≥ 空5-2.35-29. 6 1g 6-1g 51g 2+1g 3-1g5 1g5 n≥10.故选D. 练案[12] A组·基础自测 1.C由a2+1知，当n=1时，等式的左边是1+a+a2+a3. 2.B由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥2)为偶数 时命题为真， 则还需要用归纳假设再证n=k+2, 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数， 故选B. 3.C因为fk)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2),fk+1) =(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+ 1),则fk+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k. 4D当a=k时左猫=女+中2+…+2女 1 1 当n=k+1时，左端=+2++3+…++k+2k++ 1 26+2,② 11 ②-①得2k+12k+2 5.BD易知当n=1时，该同学的证法正确.从n=k到n=k+1 的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法 的证题要求，故推理不正确. 1.1 1 1 1 11 6.2交+3京++F+(k+1)+(k+2)>交k+3 观察不 等式中备项的分母变化，知a-+1时，+宁+…+定+ 1 1 1、11 (k+1)+(k+2)>2k+3 7.2*当n=k时成立， 即=1+宁+兮+ 则n=k+1成立时，有fk+1)）=1+分+写+…+2士 1 1 +…+2*+2- 所以增加的项数是(2+2-1)-(2-1)=2.