1.3.2 第2课时 等比数列习题课-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

S3-S2=(34-A)-(33-A)=54. a1,a2,a3成等比数列.a=a1a3, .18=(9-A)×54,解得A=3 故答案为3. 7.310设等比数列{an}的通项公式an=a1g"-1.因为3a1, 2a2,a3成等差数列，所以2×2a2=3a1+,即4a19=3a1+ a192.又因为等比数列中a1≠0，则4g=3+g,解得q=1或 a(1-9) =3,又因为g≠1，所以g=3所以 =1-9二 1-9 S2a(1-9)1-9 1-9 +g2=1+32=10. 8.2设奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶， ,S奇+S偶=-240 由题意得 S特-S偶=80 6 4=S符 解得q=2. 9.(1)由题意得， ram=a1·2"-l=96, s=1-2) 1-2 =a1(2"-1)=189, 解得n=6. 2由题意得受+a,+00+9+q3 a1+a2 a1(1+g) 2· 又a1≠0，解得g=1或g=-2 10.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an=-1+(n-1)·d,bn=g"- 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+g2=6.② d=3, 联立①和②解得 g=0(舍去：0 因此{bn}的通项公式为bn=2-1. (2)由b1=1,T3=21得g2+g-20=0. 解得9=-5或9=4. 当q=-5时，由①得d=8,则S3=21. 当g=4时，由①得d=-1,则S3=-6. B组·能力提升 1.Ba1a2a3=1,.a=1,.a2=1,又a4=4.q2=4. a2(1-92")1-44"-1 .a2+a4+a6+…+a2m= 1-9 =1-4=3 2.A设公比为9，：an+2am+1+am+2=0,.a1+2a2+a3=0, .a1+2a19+a1g=0,92+2g+1=0,.q=-1, 又.a1=2, ∴5m=0g）21-(-)m1-2 1-9 1+1 3.C因为am+n=am·an,a1=2, 令m=1,可得an+1=ana1=2a., 所以数列{a,}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an=2·2"-1=2”, 所以+a++a,n:-2】 1-2 21.(1-2)=2*1(20-1）=25(20-1), 1-2 所以2+1=2，则k+1=5,解得k=4. 4.21 3 由a=a得(a19)2=a19,整理得g= =3 a }×1-39 ∴.S5= _121 1-3 3 5.752设小球每次着地后跳回的高度构成数列an},则数列 {an}为等比数列， 1 128x[1-(2] a=128,g=25, =248 1-2 共经过的路程为256+2S=752(米). 6.(1)由已知，a,b2+b2=b1,b1=1,b2=3 得a1=2. 所以数列{a.}是首项为2，公差为3的等差数列. 通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和a.b+1+b1=b,得b+1=3,因此数列{b. 是首项为1，公比为子的等比数列.记b,}的前n项和为S, 则Sn 1-（3 1 13 22×3"-1 C组·创新拓展 BD由题意可得，第n个括号内有2“-1个数，由题意得，前9 个搭号内英有12+24+2二号=2-1=51个数。 所以第10个括号内的第一个数为数列2n-1}的第512项， 所以第10个括号内的第一个数为2×512-1=1023，所以A 借误；前10个括号内共有1+2+2+…+2”=)二号=20-》 =1023个数，所以C错误：令2n-1=2023,得n=1012,所 以2023为数列2n-1}的第1012项，由A,C选项的分析可 得2023在第10个括号内，所以B正确：因为第10个括号内 的第一个数为2×512-1=1023，最后一个数为2×1023-1 =2045,所以第10个括号内的数字之和为S=21023+2045) 2 =2°×1534∈(2°，22)，所以D正确， 练案[10] A组·基础自测 1.BS224=(-1+2)+（-3+4)+…+(-2021+2022)+ (-2023+2024)=1012. 2.B依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是 前一个正方形边长的号，面所有正方形都相似，则从第2个正 87 方形开始，每个正方形面积都是前一个正方形面积的2， 因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列{a},其首 项a1=1,公比9=2， 111 所以S= 1-（2】-3别 1-16 12 3.A由题意得，2a4=a1+a3-a1, 因为S= 1 1-2 >16a1,a<0,解得k<5, 又因为k∈N,,所以ks=4. 4Da21- s=(1-2)+(-4)+(1-8）*…+(-2) -(分+好+日++) 边 1 1-7 =n-1+ 2分， 令-1+分-器=5+a=-6 1 5.BD由a6=8a3,可得ga3=8a3,则g=2, 当首项a<0时，可得a,为单周道减数列放A错误：由受 39故B正确：假设5，S。,,成等比数列，可得多 S,×S,即(1-2)2=(1-2)(1-2)，不成立，显然53，S6, S。不成等比数列，故C错误；由{a,}是公比为g的等比数列， 可得S.=-a9-20-4=2a,-41,所以S,=2a,-41,故 1一q 2-1 D正确. 64设=++++ ① 2" 8++…+ 2* ② ①-②得 水号++号++…+层=2 1 2-1 2n 2n+1 成4将 7.19:各项都为正数的等比数列{an},ag·a12+5a10=14, 「ai0+5a1o-14=0, 解得a0=2, a10>0, ∴.log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a19 一18 =log2（a1·a2·a3·…·a19） =log2a18=log229-19. 8.618- ,设沿着长方形纸长边折叠(0≤k≤5且keN) 次，则要沿着长方形纸片短边折叠(5-k)次， 放折叠5次后共出现的规格格况为[20×（分）门血× [2×2]m,k=01,23,45. 即有20dmx号dn,10如x子加，5d加×号dn,多dn× 3dn,dnx6d,令dnx12dn,共6种规格； 同理，对折n次共有(n+1)种规格，C=2×(12+6+20+10) =96,C2=2×(12+6+3+20+10+5)=112,,Cn=2× [2+6+3+…+12×(2)+20+10+5+…+20× (2]=28- 9.(1)因为a1=19,公差d=-4 所以a.=a+(n-1）d=23-4n,S.=na+a）=-2m2 +21n. (2)因为bn-an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn -a=2-1 又因为an=23-4n,故bn=2-1-4n+23, 所以Tm=2°+19+2+15+…+2”-1+(-4n+23)=(2°+2+ +2)+8=3+(-2r+2a)-2-2+2n-1 10.(1)因为2S=a., 当n=1时，2a1=a1,即a1=0; 当n=3时，2(1+a3）=3a3,即a3=2, 当n≥3时，2S.-1=(n-1)a-1,所以2(S.-Sm-1)=nan-(n -1)an-1=2an, 化简得：(n-2)a=(n-1)a1,当n≥3时=方 …=2=1,即a.=n-1, 当n=1,2,3时都满足上式，所以a.=n-1(neN*). (2)因为2-÷所以1=1×（分+2x(兮+3× (2)广+…*nx(号八， 2.=1×(2+2×(3)+…+(a-1×(2)+n x(2), 两式相碱得，=（分广+(2广+(2）+…+（位）广- 】” 1-2 8 =1-(1+受(2 即T.=2-(2+n),neN B组·能力提升 1.C由am+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1), 所以巴1+1 a+1=2,a.+1=(a+1021=2, 所以a,=2”-1,所以a2m=22-1. 2.A若该等比数列{an}的公比为1，a+a3+…+ag=7a5=8, 。=号+++女智2，不合题意，合去 所以该等比数列的公比不为1，设为q,则 21-g）=8, 1-9 -(】 两式作商得1-9.4g(g-1) 1-9 9-1 1 1- 9 =4, 即g°=4，a=4,所以a5=±2.故选A 3.BD数列3n-2}中的项为 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52, 55,58,61,64,67,…, 数列{2}中的项为2,4,8,16,32,64,128，…， 所以数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a =4": 所以(3n-2)a.=(3n-2)·4",记数列(3n-2)a.}的前n 项和为Tn, 则Tn=1×4+4×42+…+(3n-5)·4"-1+(3n-2)·4“, 4Tn=1×42+4×43+…+(3n-5)·4"+(3n-2)·4"+1, 两式相减：-3T.=4+3(42+43+…+4“)-(3n-2)·4+1 =4+3×4(1-4-)-(3n-2).41 1-4 =4+4"+1-16-(3n-2)·4+ =-(3n-3)·4+1-12, 所以T.=4+(n-1)·4"+1 4.2方法一：设该等比数列为an},Sn是其前n项和，则S4= 4,Sg=68, 设{an}的公比为g(q>0), 当g=1时，S4=4a1=4,即a1=1,则Sg=8a1=8≠68，显然不 成立，舍去： 当g≠1时，则5=11-2）=4,5=1-4）=68， 1-9 1-g 两式相除得}-4=68，即1-)1+2-17， 1-94-41 1-9g 则1+9=17，所以q=2, 所以该等比数列公比为2. 方法二：设该等比数列为a.},S.是其前n项和，则S4=4,Sg =68, 设{an}的公比为q(g>0), 18 所以S4=a1+a2+a3+a4=4, Ss =a+az+a3 +asas+a6 +az+as =a1+a2+a3+a4+a19+a29+a39+a49 =(a1+a2+a3+a4)(1+g)=68, 所以4(1+g)=68,则1+9=17，所以9=2， 所以该等比数列公比为2. 方法三：设该等比数列为{an},S.是其前n项和，则S4=4,S。 =68, 设{an}的公比为g(q>0), 因为Sg-S4=a5+a6+a7+ag=(a1+a2+a3+a4)q=68-4 =64, 又S4=a1+a2+a3+a4=4, 所以2=g-4=16,所以g=2, 所以该等比数列公比为2， 5.①③④令n=1,得a=9,又因为各项为正数，得a1=3. 令n=2,得a2(3+a2)=9,又因为各项为正数，得a2- 3(5-1)<3,所以①正确. 2 9 当n≥2时，由Sm= h 得S,1=9,两式相减得a,=9-9 an-1 an an-1 即a。=9- an-1 -9 者a为等比数列，则当n≥2时，0=9,2=常数，=常 数，an=常数，即从第2项起，an为同一常数.但是a3≠a2,所 以②错误 =5.<1,又因为各 由aS=9得aS,=a1,所以=S a 项为正数，所以am+1<an,③正确. 反证法，假设所有项都大于等于0取n>00,则4，≥ 08>9000×70=90. 所以a,5,>900×100=9,与a5,=9矛盾，所以假设错误，④ 正确. 6.(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4. 当n≥2时，4Sm-1=3a.-1+4,所以4S.-4S.-1=4a.=3a.- 3an-1即an=-3a-1, 而a1=4≠0，故n≠0，故a=-3, an-1 ∴.数列{a,}是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以am= 4·(-3)-1. (2)b.=（-1)m-1·n·4·(-3)"-1=4n·3-1. 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·3°+8·3+12·32+…+ 4n·3m-1 故3T,=4·3+8·32+12·3+…+4n·3", 所以-2Tn=4+4·3+4·32+…+4·3"-1-4n·3", 9 =4+4.31-3）-4h3=4+23(3-1-1）-43, 1-3 =(2-4n)·3"-2,∴.T.=(2n-1)·3"+1. C组·创新拓展 CD{a,}各项乘10再减4得到数列{bn}:0,3,6,12,24,48, 96,192,…,所以该数列从第2项起构成公比为2的等比 数列， 0,n=1, 所以bn= l3×2-2,n≥2， 所以A错误： 从而a,=么+4=0.4，n=1, 10 10.3×2m-2+0.4,n≥2， 所以a24=0.3×222+0.4,所以B错误； 当n=1时，S1=a1=0.4; 当n≥2时， Sn=a1+a2+…+an=0.4+0.3×(2°+2+…+2"-2)+0.4 (n-1)=0.4n+0.3×22=0.4n+0.3x2-1-0.3 当n=1时，S1=0.4也符合上式，所以Sn=0.4n+0.3×2-1 -0.3,所以C正确； 因为6n=0,n=1, 所以当n=1时，T=b1=0 13n×2"-2,n≥2， 当n≥2时，Tn=b1+2b2+3b3+…+bn=0+3(2×2°+3×2 +4×22+…+n×2-2), 2Tm=3(2×2+3×22+4×23+…+n×2"-1), 所以-T.=0+3(2+2+22+…+2-2-n×2-l)》 =32+2-2- 1-2-nx2-) =3(1-n)×2"-1, 所以Tn=3(n-1)×2"-1. 又当n=1时，T1也满足上式，所以T.=3(n-1)×2"-1,所以 D正确， 练案[11] A组·基础自测 1.C设现在的成本为x元，则x(1-g%)3=a,故x= (1-9%)故选C 2.C由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首 项的等差数列，求前20项的和， 所以共铺了瓦片S=20×21+20X19x1=610(块). 2 3.C设2020年吸储量为a. 则2021年吸储量为a(1+8%), 2022年吸储量为a(1+8%)2, 2023年吸储量为a(1+8%)3, .∴.2023年底比2020年增加(1.083-1)×100% 4.CD设原杂质数为1， 由题意，得每次过滤杂质数成等比数列， 且a1=1,公比9=1-20%， 故a+1=(1-20%). 由题意可知(1-20%)“<5%， 19 即0.8”<0.05 两边取对数，得nlg0.8<lg0.05, 因为g0.8<0,所以n>g0.8, 、1g0.05 即n>g5-2=1-g2-2--g2-1 1g8-1=3lg2-1=3lg2-1 -0.3010-1≈13.41， 3×0.3010-1 故取n=14,15 5.BC由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列， 设此等比数列为an},且公比为q, 设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比"的值为x,则x=1一g 依题意，a1+a2+a3+a4=59040,a1+a3=32800,则a2+a4 =59040-32800=26240,g=%+04=0.8,所以“衰分比” a1+a3 的值x=1-0.8=0.2=20%,因为a1+a3=a1+a192=a1(1+ )=a41+0.8)=1.64a1=32800,a1=264=20000, 所以a3=a19=20000×0.82=12800, 所以丙所获得的分红为12800元 6.45设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{a,},且 a1=2×2=4,9=2,则an=4·2"-1 令4·2-1=64×20，得n=15,即复制15次，共用45s. 7.40设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1,a2, …,a.,依题意，{an}是一个等差数列，且 fa1=5am,① [a1+a2+…+am=24n,② 由②得(a+a, 2 =24n,所以a1+am=48.③ 将①③联立，解得a1=40.故用这种方法收割完这片土地上的 小麦需要40小时. 8.6设每天植树的棵数组成的数列为{a.}, 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意 可得2-22≥100，即2≥51，而2=32,2°=64，nN.,所 1-2 以n≥6. 9.(1)an,b,分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公 交车的数量， 依题意知，数列a,是首项为128，公比为1+50%=弓的等 比数列；数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，所以数 12s1-(31 列{an}的前n项和Sn= =256[()-小 1-2 数列b,}的前n项和T.=400n+nn,a, 2 所以经过n年，该市更换的公交车总数 =5,+7.=256[(3)广-小+400a+an,-D 2 (2)因为256[(2-小，40n+an2山(a>0)是关于n 2练案[10] 第一章数列 §3[3.2 第2课时等比数列习题课] 名组·基础自测 7.已知各项都为正数的等比数列{an},若ag· 一、选择题 a12+5a10=14,则1og2a1+log2a2+log2a3+…+ 1.数列{(-1)”n的前n项和为Sn,则S2o24= l0g2a19= 8.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时 经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折.规格为 A.1011 B.1012 12dm×20dm的长方形纸，对折1次可以得到 C.2023 D.2024 10dm×12dm和20dm×6dm两种规格的图 2.如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的 形，它们的周长之和为C,=96dm,对折2次可 中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了 以得到5dm×12dm,6dm×10dm,3dm× n个正方形，设这n个正方形的面积之和为 20dm三种规格的图形，它们的周长之和为 Sn,则S= C2=112dm,以此类推，则对折5次后能得到 的所有不同规格图形的种数为；如果对折 n次后，那么能得到的所有不同规格图形的周 长之和Cn= dm 三、解答题 A号 B31 ·16 C. 器 9.已知{an}是首项为19，公差为-4的等差数 列，Sn为{an}的前n项和. 3.已知等比数列{an}的公比是q,首项a1<0,前 (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sm; n项和为Sn,设a1,a4,a3-a1成等差数列，若 (2)设{bn-an}是首项为1，公比为2的等比 31 S>6,则正整数k的最大值是 数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和T A.4 B.5 C.14 D.15 4.已知数列a.}的通项公式是a, 2,其的 n项和S则项数等于 A.13 B.10 C.9 D.6 5.(多选)已知等比数列{an}的公比为g,前n项 和为Sn,且满足a6=8a,则下列说法正确的是 A.{an}为单调递增数列 B.=9 C.S,S6,S,成等比数列 D.S =2a-a 二、填空题 6数列呢是号……前n项的和为 —120 10.(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2=1, ③an}为递减数列； 设Sn为{an}前n项和，2Sn=a ! (1)求{an}的通项公式； ④a中存在小于00的项 其中所有正确结论的序号是 (2)求数列 am+1 12" 的前n项和T 三、解答题 6.(2024·全国甲卷理)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)"-nan,求数列{bn}的前n项 和Tn 乃组·能力提升 一、选择题 1.已知首项为1的数列{an}中，am+1=2am+1, n∈N*,则a223= A.222-1 B.2202 C.22023-1 D.22023 1 2.在等比数列{an}中，a2+a3+…+ag=8, 1+…+1=2,则4，的值是 A.±2 B.2 C.±3 D.3 号组·创新拓展 3.(多选)将数列{3n-2}与{2"}的公共项从小 (多选)提丢斯·波得定律是关于太阳系中行 到大排列得到数列{an},则下列说法正确的有 星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 1766年由德国的一位中学老师提丢斯发现 A.数列{an}为等差数列 的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条 B.数列{an}为等比数列 定律，即数列{an:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2, C.an=4"+1 10,19.6,…,表示的是太阳系第n颗行星与太阳 D.数列{(3n-2)an}的前n项和为(n- 的平均距离（以天文单位A.U.为单位）.现将数 1)4"+1+4 列{an}的各项乘10后再减4，得到数列{bn},可 二、填空题 以发现数列{b}从第3项起，每项是前一项的2 4.(2025·全国一卷)若一个正项等比数列的前 倍，则下列说法正确的是 4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公 A.数列{b,}的通项公式为bn=3×2-2 比为 B.数列{an}的第2024项为0.3×222+0.4 5.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和 C.数列{an}的前n项和Sn=0.4n+0.3× S.满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四 2m-1-0.3 个结论： D.数列{nbn}的前n项和Tn=3(n-1)·2"- ①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； 121