1.3.2 第1课时 等比数列的前 n 项和-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

当a=4,d=4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a=9,d=-6时，所求四个数为15,9,3,1. 方法二：设四个数依次为20-a,日，a,ag(a≠0). q 2a-a+ag=16 1 由条件得 解得？=2或= 4+a=12. la=8 la=3. 当g=2,a=8时，所求四个数为0,4,8,16； 当g=了，a=3时，所求四个数为159,31 B组·能力提升 1B因为2=2b-g=gc=县a+gc=g4+gc= logx Ig x Ig x Ig x Ig x Ig x Ig x 1 1 logx log.x' 所以logx,logx,logx各项的倒数依次成等差数列. 2.C设等比数列{an}的公比为q, a1,2a,2a,成等差数列， .a3=a1+2a2,.a19=a1+2a19, ∴.92-2g-1=0,9=1±2. am>0,.9>0,9=1+2. 小a+a0=g=(1+2)2=3+22 a7 +as 3.D由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2-5x+m=0 的根则m=4,另一根为4，设3，x4是方程x2-10x+n=0的 根，则x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为1，x3,4,x4,公 比为26=2=8，n=16,只=子：若1是方程-10x+n =0的根，另一根为9，则n=9,设x2-5x+m=0之两根为x1, x2则x+x2=5,无论什么顺序均不合题意。 4.4am-1am+1-2am=0, 由等比数列的性质可得，a-2am=0, am≠0，.am=2. T2m-1=a1a2··a2m-l=(a1am-l）·（a2am-2）·…·am =a2m-2an=a2-l=22m-1=128, ..2m-1=7,∴.m=4. 5.4.'a2·a4=4=a5,且a3>0,.a3=2. 又a1+a2+a3= 2+2+2=14, *9 =-3(舍去)或。=2，即g=7,a1=8 9 9 又a,=a,g=8×(分)=（合） .n的最大值为4. 6.(1)因为2Sn=3am+1-3, 所以2S+1=3a+2-3, 18 两式相减可得2an+1=3an+2-3aa+1, 即3aa+2=5aa+1, 所以等比数列a.}的公比g=3, 又因为2S1=3a2-3=5a1-3, 所以=1a-(引 (2)因为2Sn=3aa+1-3, 所以s=2a-)=2[(含-小 所以{Sn}的前n项和Tn=S,+S2+S+…+Sn =引号+(3)+(3)++（门]-2 -(] 2 13 5 C组·创新拓展 ABC由于等比数列{an}的各项均为正数，且a6+a,>a6a7 +1,所以(a6-1)(a,-1)<0,所以a6,a,中，一个大于1， 一个小于1，又a1>1,所以a6>1,a,<1,所以0<g<1,因为 a6a>1,所以T2=(a6a,)>1,T3=a<1. 练案[9] A组·基础自测 1.C由已知，S3=a1(1+g+92)=2(1+g+g2)=6, 即g2+g-2=0,解得q=-2或1. 2.A根据题意得q≠-1，由等比数列的性质可得，S2,S4-S2, S。-S4成等比数列， 所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),解得S6=7. 3.A当n=1时，a1=22+2m(m∈R), 当n≥2时，an=5。-Sm-1=2"+1+2m-(2"+2m)=2", 因为数列{an}为等比数列， 所以a1=22+2m=2,得m=-1, 所以2.2子0 -2 4.A由已知{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a+a4 +a5+a6=8+16+32+64=120. 5.BC当Sn=(n+1)2时，a1=S,=4;an=S。-Sm-1=(n+1)2 -n2=2n+1(n≥2)，a1=4不满足上式，所以数列an}不是 等差数列，选项A错误；当Sn=2"-1时，a1=S1=1,an=Sn- S.-1=2”-1-(2"-1-1)=2"-1,且a1=1满足上式，所以此时 数列a,}是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可 知：5--202(a+a)=22.(2a,)=(2m-10a: 2 所以选项C正确；当a,=(-1)“时，{an}是等比数列，而S2= -1+1=0,S4-S2=0,S。-S4=0,不能构成等比数列，选项D 错误 6.3Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn=3"1-A,.a1= S1=32-A=9-A,a2=52-S1=(33-A)-(9-A)=18,a3= 66 S3-S2=(34-A)-(33-A)=54. a1,a2,a3成等比数列.a=a1a3, .18=(9-A)×54,解得A=3 故答案为3. 7.310设等比数列{an}的通项公式an=a1g"-1.因为3a1, 2a2,a3成等差数列，所以2×2a2=3a1+,即4a19=3a1+ a192.又因为等比数列中a1≠0，则4g=3+g,解得q=1或 a(1-9) =3,又因为g≠1，所以g=3所以 =1-9二 1-9 S2a(1-9)1-9 1-9 +g2=1+32=10. 8.2设奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶， ,S奇+S偶=-240 由题意得 S特-S偶=80 6 4=S符 解得q=2. 9.(1)由题意得， ram=a1·2"-l=96, s=1-2) 1-2 =a1(2"-1)=189, 解得n=6. 2由题意得受+a,+00+9+q3 a1+a2 a1(1+g) 2· 又a1≠0，解得g=1或g=-2 10.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则an=-1+(n-1)·d,bn=g"- 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+g2=6.② d=3, 联立①和②解得 g=0(舍去：0 因此{bn}的通项公式为bn=2-1. (2)由b1=1,T3=21得g2+g-20=0. 解得9=-5或9=4. 当q=-5时，由①得d=8,则S3=21. 当g=4时，由①得d=-1,则S3=-6. B组·能力提升 1.Ba1a2a3=1,.a=1,.a2=1,又a4=4.q2=4. a2(1-92")1-44"-1 .a2+a4+a6+…+a2m= 1-9 =1-4=3 2.A设公比为9，：an+2am+1+am+2=0,.a1+2a2+a3=0, .a1+2a19+a1g=0,92+2g+1=0,.q=-1, 又.a1=2, ∴5m=0g）21-(-)m1-2 1-9 1+1 3.C因为am+n=am·an,a1=2, 令m=1,可得an+1=ana1=2a., 所以数列{a,}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an=2·2"-1=2”, 所以+a++a,n:-2】 1-2 21.(1-2)=2*1(20-1）=25(20-1), 1-2 所以2+1=2，则k+1=5,解得k=4. 4.21 3 由a=a得(a19)2=a19,整理得g= =3 a }×1-39 ∴.S5= _121 1-3 3 5.752设小球每次着地后跳回的高度构成数列an},则数列 {an}为等比数列， 1 128x[1-(2] a=128,g=25, =248 1-2 共经过的路程为256+2S=752(米). 6.(1)由已知，a,b2+b2=b1,b1=1,b2=3 得a1=2. 所以数列{a.}是首项为2，公差为3的等差数列. 通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和a.b+1+b1=b,得b+1=3,因此数列{b. 是首项为1，公比为子的等比数列.记b,}的前n项和为S, 则Sn 1-（3 1 13 22×3"-1 C组·创新拓展 BD由题意可得，第n个括号内有2“-1个数，由题意得，前9 个搭号内英有12+24+2二号=2-1=51个数。 所以第10个括号内的第一个数为数列2n-1}的第512项， 所以第10个括号内的第一个数为2×512-1=1023，所以A 借误；前10个括号内共有1+2+2+…+2”=)二号=20-》 =1023个数，所以C错误：令2n-1=2023,得n=1012,所 以2023为数列2n-1}的第1012项，由A,C选项的分析可 得2023在第10个括号内，所以B正确：因为第10个括号内 的第一个数为2×512-1=1023，最后一个数为2×1023-1 =2045,所以第10个括号内的数字之和为S=21023+2045) 2 =2°×1534∈(2°，22)，所以D正确， 练案[10] A组·基础自测 1.BS224=(-1+2)+（-3+4)+…+(-2021+2022)+ (-2023+2024)=1012. 2.B依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是 前一个正方形边长的号，面所有正方形都相似，则从第2个正 87练案[9] 第一章 §3[3.2第1课时 名组·基础自测 一、选择题 1.已知等比数列{an}中，a1=2,S3=6,则公比g 等于 A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或-2 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4, S4=6,则S6= A.7 B.8 C.9 D.10 3.已知等比数列{an}的前n项和S。=2+1+ 2m(meR),则2m a2+a4 A.-10 P.1o 4.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先 出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴 分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六 次二分形成六十四卦.设经过n次二分形成a。 卦，则a3+a4+a5+a6= A.120B.122 C.124D.128 5.（多选)已知数列{an的前n项和为S.,下列 说法正确的是 A.若Sn=（n+1)2,则{an}是等差数列 B.若Sn=2”-1,则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则S2m-1=(2n-1)a。 D.若{an}是等比数列，则Sn,S2m-Sn,S3n-S2a 成等比数列 二、填空题 6.设S.为等比数列{an}的前n项和，且Sn= 3+1一A,则A= 7.设Sn为公比g≠1的等比数列{a.}的前n项 和，且3a1,2a2,a3成等差数列，则9=， g S2 8.已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240， 且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= 7 数列 等比数列的前n项和] 三、解答题 9.设等比数列{an}的前n项和为Sn (1)若公比q=2,am=96,Sn=189,求n; (2)若S3:S2=3:2,求公比q. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数 列{bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1, a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式； (2)若T3=21,求S3 8— 8组·能力提升 一、选择题 1.等比数列{an}中，a1a2a=1,4=4,则a+a4+ a6+…+a2m= A.2"-1 B.4“-1 3 C.1-(-4) D.1-(-2) 3 3 2.设{an}是等比数列，Sn是{an的前n项和，对 任意正整数n,有an+2am+1+an+2=0,又a1= 2,则S1o1的值为 (0 A.2 B.200 C.-2D.0 3.数列{an}中，a1=2,am+n=anan,若a+1+ a4+2+…+a+10=25-2,则k=() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 4设5.为等比数列a.的前n项和若a,=了 a4=a6,则S= 5.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后 又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地 时，共经过的路程是 米 三、解答题 6.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满 足b1=1,b2=3,a.b.+1+b+1=nb (1)求{an}的通项公式； —119 (2)求{bn}的前n项和. 组·创新拓展 (多选)将数列{2n-1}中的各项依次按第一 个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括 号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16 个数，…，进行排列，（1)，（3,5)，（7,9,11， 13),(15,17,19,21,23,25,27,29),…,则以下 结论中正确的是 () A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2023在第10个括号内 C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和S∈(21°，22”)