1.4.2 数列的其他应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（北师大版）

该高中数学导学案聚焦数列在概率中的应用，通过甲、乙投篮等实际情境导入，连接数列递推关系与概率问题，搭建从具体情境抽象数学模型的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 以真实情境问题链驱动学习，例题到课后题层层递进，引导学生用数学眼光观察问题、逻辑推理构建递推模型，培养数学抽象和数学运算素养，习题设计注重应用与思维训练，提升解决复杂问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 4.2　数列的其他应用 (教师独具内容) 课程标准：能从具体的问题情境中抽象出数学模型，利用数列知识解决问题． 教学重点：以概率为载体融合数列，利用数列递推关系解决问题． 教学难点：从数学语言中进行数学抽象，找到递推关系式，并能解释其中的数学逻辑． 核心素养：利用概率相关知识并结合逻辑推理抽象出数学模型，再结合学习过的数列递推关系解析模型，从而培养数学抽象和数学运算素养． 题型　数列在概率中的应用 例　甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率． [解]　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1) ＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1) ＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)， 即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2， 构造等比数列{pi＋λ}， 设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－， 则pi＋1－＝， 又p1＝，p1－＝， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即pi－＝×， 所以pi＝×＋. 【感悟提升】解决概率与数列综合问题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将其化归为等差或等比数列求解． 【跟踪训练】 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻(在同一条棱上)，且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点(n＝0)位于点A处，第n秒亮灯点在底面ABCD上的概率为Pn，则(1)P1＝________，P2＝________；(2)Pn＝________． 答案：(1)　　(2)＋× 解析：(1)依题意，第一秒亮灯点等可能的在顶点B，D，A1处，其中在底面ABCD上的顶点为B，D，所以P1＝.若第一秒亮灯点在顶点B，D处，则第二秒亮灯点在底面ABCD上的概率为P1＝；若第一秒亮灯点在顶点A1处，则第二秒亮灯点在底面ABCD上的概率为(1－P1)＝.所以第二秒亮灯点在底面ABCD上的概率P2＝＋＝. (2)第n秒亮灯点在底面ABCD上的概率为Pn，在底面A1B1C1D1上的概率为1－Pn，所以Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝Pn＋，所以Pn＋1－＝，又P1－＝≠0，所以是首项为P1－＝，公比为的等比数列，所以Pn－＝×，则Pn＝＋×. 2．已知甲、乙、丙、丁四个人参加踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到．记第n次甲踢到毽子的概率为Pn，则P1＝1. (1)证明：数列是等比数列； (2)比较第k次与第k＋2(k∈N＋)次踢到毽子者是甲的可能性大小． 解：(1)证明：第n次甲踢到毽子的概率为Pn， 当n≥2时，第n－1次甲踢到毽子的概率为Pn－1，甲未能踢到毽子的概率为1－Pn－1， 所以Pn＝Pn－1×0＋(1－Pn－1)×＝(1－Pn－1)，所以Pn－＝－， 因为P1－＝≠0，所以数列是以为首项，－为公比的等比数列． (2)由(1)可知，Pn－＝， 即Pn＝＋， 所以Pk＋2－Pk＝＋－－＝－， 当k为奇数时，k－1为偶数，则Pk＋2－Pk＝－<0，即Pk＋2<Pk； 当k为偶数时，k－1为奇数，则Pk＋2－Pk＝－>0，即Pk＋2>Pk. 综上，当k为奇数时，Pk＋2<Pk；当k为偶数时，Pk＋2>Pk. 1．(多选)小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小、质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进n步的概率为pn，则下列说法正确的是(　　) A．p1＝ B．p2＝ C．pn＝pn－1＋pn－2(n≥3) D．小华一共前进2步的概率最大 答案：ACD 解析：对于A，每次随机抽取一个小球，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以p1＝，故A正确；对于B，p2＝×＋＝，故B错误；对于C，当n≥3时，其前进n步可分两种情况：第一种情况，先前进n－1步，再前进1步，其概率为pn－1；第二种情况，先前进n－2步，再前进2步，其概率为pn－2，所以pn＝pn－1＋pn－2，故C正确；对于D，由pn＝pn－1＋pn－2(n≥3)，可得2pn＝pn－1＋pn－2，即2pn＋pn－1＝2pn－1＋pn－2(n≥3)，因为2p2＋p1＝2×＋＝2，所以2pn＋pn－1＝2(n≥2)，即pn＝1－pn－1(n≥2)，可得pn－＝－，又p1－＝－＝－≠0，所以数列是首项为－，公比为－的等比数列，可得pn－＝－×.当n为奇数时，n－1为偶数，则pn－＝－×，即pn＝－×＋，此时数列{pn}递增，所以pn<；当n为偶数时，n－1为奇数，则pn＝×＋，此时数列{pn}递减，所以pn≤p2＝，综上，当n＝2时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确．故选ACD. 2．质点在x轴上从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动两个单位的概率为，设质点运动到点(n，0)的概率为Pn. (1)求P1和P2； (2)用Pn－1，Pn－2表示Pn，并证明{Pn－Pn－1}是等比数列； (3)求Pn. 解：(1)P1＝，P2＝×＋＝. (2)由题意可知，质点到达点(n，0)，可分两种情况：由点(n－1，0)右移一个单位或由点(n－2，0)右移两个单位，故由条件可知Pn＝Pn－1＋Pn－2(n≥3)． 上式可变形为Pn－Pn－1＝Pn－1＋Pn－2－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)， 又P2－P1＝－＝≠0，所以{Pn－Pn－1}是以为首项，－为公比的等比数列． (3)由(2)知Pn－Pn－1＝(n≥2)， 所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1＝＋＝＋＝＋. 课后课时精练 1．某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练．每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某位运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员．已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为pn. (1)求p2，p3； (2)求pn的表达式． 解：(1)p1＝1，p2＝，p3＝p2＋(1－p2)＝. (2)由已知pn＝pn－1＋(1－pn－1)， ∴pn＝－pn－1＋，即pn－＝－， 又p1－＝1－＝≠0，∴是以为首项，－为公比的等比数列， ∴pn－＝，∴pn＝＋. 2．甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2)． (1)求p； (2)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A)，证明：≤P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)<. 解：(1)记Ai＝“第i次答题时为甲”，B＝“甲积1分”， 则P(A1)＝，P(B|Ai)＝，P(|Ai)＝1－＝，P(B|i)＝1－p，P(|i)＝p， ＝＋，则＝，解得p＝. (2)证明：两次答题后甲积2分的概率为××＋××＝. 由答题的总次数为n时，甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙， 则x甲－x乙＝2，且x甲＋x乙＝n， 所以甲晋级时，n必为偶数，令n＝2m，m∈N＋， 当n为奇数时，Pn(A)＝0， 则P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)＝P2(A)＋P4(A)＋…＋Pn(A)＝×＋×＋×＋…＋×＝＝×＝， 当m≥1时，P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)随着m的增大而增大， ∴≤P2(A)＋P3(A)＋…＋Pn(A)<. 3．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k到k＋1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)求P0，P1，P2的值； (2)求证：Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，其中n∈N，2≤n≤99； (3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率． 解：(1)根据题意，分析可得棋子开始在第0站，则P0＝1， 若棋子跳到第1站，必有硬币掷出正面， 则P1＝， 若棋子跳到第2站有两种情况，即2次硬币掷出正面或1次硬币掷出反面， 则P2＝×＋＝. (2)证明：根据题意，棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种情况： ①棋子先跳到第n－2站，又掷出反面，此时概率为Pn－2； ②棋子先跳到第n－1站，又掷出正面，此时概率为Pn－1，则Pn＝Pn－1＋Pn－2， 故Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，其中n∈N，2≤n≤99. (3)根据题意，由(2)的结论，数列{Pn－Pn－1}是以P1－P0＝－1＝－为首项，－为公比的等比数列， 则Pn－Pn－1＝－×＝， 故P99＝P0＋(P1－P0)＋(P2－P1)＋(P3－P2)＋…＋(P99－P98) ＝1＋ ＝， 即玩该游戏获胜的概率为， 则玩该游戏失败的概率为1－＝. 4．投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为Pn. (1)求P1，P2，P3和P4； (2)写出Pn的递推公式． 解：(1)依题意，P1＝P2＝1， 投掷3次，共有8个不同结果，其中连续出现三次正面向上的只有1个，则P3＝1－＝， 投掷4次，共有16个不同结果，其中连续出现三次正面向上的有正正正正，正正正反，反正正正，因此P4＝1－＝. (2)共有三种情况： ①第n次出现反面向上，且前n－1次不连续出现三次正面向上，此时Pn＝Pn－1； ②第n次出现正面向上，第n－1次出现反面向上，且前n－2次不连续出现三次正面向上， 此时Pn＝Pn－2； ③第n次出现正面向上，第n－1次出现正面向上，第n－2次出现反面向上，且前n－3次不连续出现三次正面向上，此时Pn＝Pn－3. 所以Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3(n∈N＋，n≥4)，P1＝P2＝1，P3＝. 5．某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分．连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束． (1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn. ①求P1，P2，P3； ②求证：数列{Pn－Pn－1}(2≤n≤9)是等比数列； (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？(精确到1元) 解： (1)①由题意，员工在游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为P1＝； 累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为P2＝＋×＝； 累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为奇数或连续三次投掷都是奇数，其概率为P3＝2××＋××＝. ②证明：由题意知，累计获得n分时有可能是获得n－1分时掷骰子点数为奇数或获得n－2分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为， 所以Pn＝Pn－1＋Pn－2，3≤n≤9， 则Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，3≤n≤9， 又P2－P1＝，故{Pn－Pn－1}(2≤n≤9)是首项为，公比为－的等比数列． (2)由(1)知Pn－Pn－1＝， Pn－1－Pn－2＝，…，P2－P1＝， 将所有等式相加，得 Pn－P1＝·＝， 所以Pn＝＋＝＋(1≤n≤9)， 所以P9＝＋＝， P10＝P8＝×＝， 设一等奖的奖金为x元，二等奖的奖金为元， 由题意知×10≤10000元，解得x≤≈1499.27，即一等奖的奖金最多不超过1499元． 8 学科网（北京）股份有限公司 $