1.1.2 数列的函数特性-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[2] 第一章数列 §1[1.2 数列的函数特性] 化组·基础自测 二、填空题 一、选择题 ! _1+a(neN+), 6.已知数列an}满足a1=2,a+1=1-a 1.下列四个数列中，是递增数列的是 则a16= B. -1)1 I n 7.已知数列{a,满足a<0,21=2(n∈N*),则数 a C.{cosπ} D.{sin 列{an}是数列（填“递增”或“递减”） n n 8.已知数列a.=29-3n 4 若对任意正整数n都有 2.已知数列{an}满足an= ,其中a,b,c均 an≤ak,则正整数k=一 为正数，则此数列 三、解答题 A.递增 B.递减 9.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并 C.先增后减 D.先减后增 用图象表示出来， (1)an=(-1)"+2(n∈N,); 3.已知数列1a,的通项公式a,=n+156 nEN.), (2)a,-="+l(neN.). n 则数列{an}的最小项是 A.a12 B.13 C.a12或a13 D.不存在 4.一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且 对任意a1∈(0,1)，由关系式an+1=f(an)得到 的数列{a}满足a+1>a.,则该函数的图象是 5.（多选)如果{an}为递增数列，则{an}的通项 公式可以为 A.a =2n+3 B.an=-n2-3n+1 ca=(2 D.a =1 logon —103 10.已知数列{an}的通项公式为an=p”+q(p,三、解答题 9 cR.ocN.).且a=分a=-圣 6.在数列{an}中，an=n(n-8)-20,请回答下 列问题： (1)求an的通项公式： (1)这个数列共有几项为负？ 2)-3是1a,中的第几项 (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小 (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 值；若无，请说明理由. 分组·能力提升 一、选择题 1.若数列{an}的通项公式是a.=（n+1)· 0.9”,对于任意的正整数n都有an≤av成立， 则N为 A.6或7 B.7或8 写组·创新拓展 C.8或9 D.9或10 2.已知函数y=f(x),x∈R,数列{an}的通项公 已知数列1a.的通项公式a.=n-s(neN,), n-√99 式是an=f(n),neN.,那么“函数y=f(x)在 求这个数列的前30项中最大项和最小项. [1,+oo)上递增”是“数列{an}是递增数列” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)已知数列{an}是递增数列，且an= r(入-1)n+5,n≤4， 1(3-λ)"-4+5，n> n∈N,,则入的值可能为 ( A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 二、填空题 4若数列a的通项公式为a崇（k>0,且 为常数)，则该数列是 （填“递增”“递 减”)数列. 5.已知a=n2-tn+2020(n∈N,t∈R),若数 列{an}中最小项为第3项，则t∈ —104[练案部分] 练案[1] 3.BD这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…， A组·基础自测 且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15+ 1.A数列的通项公式的定义域是正整数集N,或它的有限子 21=36,28+36=64,只有BD是正确的： 集，选项B错误：并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；4. 4,2=ga727 116 16 数列-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成an=(-1)“,也可 以写成an=（-1)+2,选项D错误.故选A :! ∴a+1=1+17-19 +a48+i6=16 2.C选项A、B、D中，a1=1不满足，排除A、B、D,故选C 5.3-229as= 8+55-尽=3-22 1 3C依题意知，a-a=(5++5+2+…+2k5 (d+42++4-g+0方0敢选心 1 “√10-3=√10-5=1 1 10+n=9. 7249 4.C数列各项可化为√/3×0+I,√/3×1+I,√3×2+I, 6.(1)a=7+150 1 √/3×3+1，√3×4+1，…，故am=√3n-2(neN*.由 2)证明a=1-产7 3n-2=2/19可得n=26,即2√/19是这个数列的第26项. .0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内. 5.AB由无穷数列的概念可知，选项A、B中的数列是无穷数 列，选项C、D中的数列是有穷数列故选AB. 22,<2<2 （33<n2+132 6.75因为an=n2(n-2),所以a=25×3=75 7.3由数列前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，∴.需要 又meNn=1,即在区间（分，号）内有且只有一项a 填的数为5=3. C组·创新拓展 &a号数别号品房 好分号，即数列号令 4=3,an+1=2an+1,.a2=7=2-1, a3=15=24-1,a4=31=2-1, 异吊放a号 67 a5=63=2-1, ·猜得an=2+1-1. 9.(1)符号可通过(-1)”表示，后面的数的绝对值总比前面的 练案[2] 数的绝对值大6，故通项公式为a.=(-1)"(6n-5). !A组·基础自测 (2)将数列变形为8(1-0.1)，8(1-001).8(1- 1.C 由于函数y=c0只，在xe[1,+)上单调递增，所以数 0o0.a=8-） 列cosπl是递增数列. n (3)各项的分母分别为2,22,2,24，…，易看出第2,3,4项的 分子分别比分母少3.因此把第1项变为-2,3 2.A2a6,e均为正数a,随n的增大而增大 2 6+ 至此原数列已化为23,2-3.2-32-3 故选A. 21,22， 23,24,…, 3.C函数y=x+56在(0,56)上单调递减，在[/6，+)上 0,=(-1)°.2”-3 24 单调递增，又12<√156<13.且a12=a13=25,故选C. 2a-1(n≥2)， 10.a1=1,a.=2+a- 4.A因为an+1=f(an),an1>an,所以f(an）>an,即f(x)>x :5.ADA是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列： 2a12 2a,2 2a3-2 a=2+a=3,4=2+4= 4a,=2+4=5,a= 3 B是n的二次函数，二次项系数为-1，且对称轴为n=-立， 2a42 22222 2+0=6,由吃5,4方6… 所以为递减数列： 可以归纳出a,=2 C是n的指数函数，且底数为)，是递减数列： +1' D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列. B组·能力提升 61 4=2,由a0得0=3.a-之a方 1 1 1LB令n+万=0产10女Tn=10,放述B 3 a5=2,…,.{an}是周期为4的数列， 2.C由已知a4=a2+a2=-12,ag=a4+a4=-24,a10=ag+a2 1 =-24-6=-30. a16=a4x4=a4=3 177 7.递减由已知a1<0,a.+1=2an(neN*),得a.<0(neN*). 4.递减=k.3”-1 又a+l-a.=2a.-an=an<0,所以{an}是递减数列. a3m·k=3<1.k>0a,>0, &9因为8=2列3n所以≤9时。>0，a≥10时，a<0, .aa+1<am,·an}是递减数列， 5.(5,7)因为f(x)=x2-tx+2020的图象开口向上，对称轴 因为an}在[1,9](neN*)上递增， 所以(an)m=ag, 为直线x=分，则由题意知子<子<子，所以1∈(5,7)， 又因为对任意正整数n都有an≤a, 6.(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当am<0 所以k=9. 时，0<n<10, 9.(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如图1. 所以数列{an}共有9项为负. 3 4 5 (2)a1=2,0=24=3a4= 4a=5.图象如图2. .6 (2)因为a+1-a。=2n-7,所以当aa+1-a。>0时，即2n-7 1a。 >0,解得n>子，放从第4项开始数列a,递塔 4 4 (3)am=n(n-8)-20=（n-4)2-36,根据二次函数的性质 知，当n=4时，a.取得最小值-36，即数列中有最小值，最小 1 值为-36 012345元 012345元 图1 C组·创新拓展 图2 0.(1)a=p+9,又a1==2,%=- a,=n-丽+(-8=网-s+L, n-99 n-99 4 p+q=-2 点(n,4,)在函数y=丽-⑧+1的图象上， 解得P=2, x-/99 +g=- lg=-1. a的通项公式是4=（分）广-1 (2令a.=2器即（广-1第 9￥10 “(分广=26即n=8 在平面直角坐标系中作出函数y=9-+1的图象， ·宽是a,中的第8项 x-99 由图象易知，当x∈(0,99)时，函数单调递减 (3)a,=(分)-1，且y=(2 随n增大而减小， ∴.ag<ag<a7<…<a1<1 ·a.的值随n增大而减小， 当x∈（√99，+0）时，函数单调递减 .an}是递减数列. .a10>a1>…>a30>1. B组·能力提升 所以，数列{an}的前30项中最大的项是a1o,最小的项是ag: 1.Cam+1-an=(n+2)·0.9"+1-(n+1).0.9=0.9[0.9(n 练案[3] +2)-(n+1)]=0.9(0.8-0.1n), A组·基础自测 当n=8时，a+1-an=0,当n<8时，a4+1-a.>0,当n>8时，1.C设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以 am+1-an<0. -- c-a=2d=4,故选C 所以当n<8时，an+1>a.,数列{an}单调递增； 2.C由等差数列的通项公式得an=a,+(n-1)d=4+(n-1)》 当n>8时，a.1<a,数列{a}单调递减，所以当n=8时，a, ×(-2)=-2n+6. =as为数列的最大项. 3.C.·a-1,a+1,2a+1是等差数列{an}的前三项，∴.a+1 2.A若“函数y=f代x)在[1，+∞)上递增”，则“数列{an}是递 (a-1)=2a+1-(a+1),.a=2,.{an}的首项a1=1,公差 增数列”一定成立；若“数列{an}是递增数列”，则“函数y= d=2,.通项公式am=1+(n-1)×2=2n-1. f代x)在[1，+)上递增”不一定成立，比如函数在[1,2]上先4.B设a,}的首项为a1,公差为d, 减后增，且在1处比在2处的函数值小.综上，“函数y=f(x) 1 r(a1+2d)+(a1+10d)=24, 在[1，+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分而不必 解得d=3 La1+3d=3, 要条件. 5.BCD对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,A 3.BCD由于数列为递增数列， 错；对于B,取a=b=c→2”=2=2，B正确，对于C,因为a, r-1>0, b,c成等差，所以a+c=2b,所以(ha+2)+（kc+2)=k(a+ 所以3-A>1, 解得Ae(L,了) 4(入-1)+5<(3-入)+5， e)+4=2(+2).C正确对于D,取a=6=6≠0则片=方 -178