1.2.2 第1课时 等差数列的前 n 项和-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

想一想： d=a。-0.d是直线y=k+(a,-d)的斜率 m-n 练一练： 1.(1)V(2)V(3)V 2-1因为4=5,4，=1，故d=,-4=-1 7-3 知识点二 (1)等差数列0+b 2 练一练： 1.C设bn=3am+2,则b.+1-bn=3am+1+2-3am-2= 3(a+l-an）=3d. 2.12由等差数列的性质得a,+a3=2a5,则a,+2=2×7, 得a1=12. 关键能力攻重难 例1：方法一：设等差数列{a.}的公差为d, :a1s=a1+14d,ao=a1+59d, 64 a=15' a1+14d=8。解得 La1+59d=20, 4 d=15 as=a+74d-g+74×音=24 方法二：：{an}为等差数列， a15,a30,a45,a0,a5也为等差数列. 设其公差为d,则a15为首项，ao为第4项， .ao=a1s+3d,即20=8+3d,解得d=4. .a5=ao+d=20+4=24. 方法三：ao=a5+(60-15)d, d=00-a15.4 60-1515 a5=0a+(75-60)d=20+15×告=24 对点训练1：7方法一：设等差数列{an}的公差为d, 由题意，得a+d=3, la1+7d=6. [a1=2 1 d=2 ao=a+91=+号-7 方法二：设等差数列a.}的公差为d, .as-dz =6d=3d=2 六ao=4,+2l-6+2x7=7. 例2：(1)A{an}是等差数列，∴.2a,=a5+a3,故a13=2 ×6-3=9. (2)35方法一：设数列{an},{b,}的公差分别为d1,d2,因 为a+b3=(a1+2d)+(b1+2d)=(a1+b)+2(d+d2)=7 +2(d1+d2)=21, 所以d1+d=7,所以a5+b=(a3+b)+2(d1+d2)=21 +2×7=35. 方法二：因为数列{an},{bn}都是等差数列. 所以数列an+bn}也构成等差数列，所以2(a+b)=（a +b1)+(a5+b),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+bs=35. (3)D方法一：a3+a4+a5+a6+a,=750, .∴.5a5=750, ∴.a5=150,∴.a2+ag=2a5=300. 15 方法二：a3+a4+a5+a6+a,=750, ∴.a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=750, .a1+4d=150,.a2+ag=a1+d+a1+7d=2(a1+4d) =300. 对点训练2：(1)A(a1+a4+a,)+(a3+a6+ag）= 2(a2+a5+ag）, 即58+(a3+a6+ag)=88, 以a3+a6+ag=30. (2)24方法-：a1+3ag+a15=120,.5ag=120, .as=24,∴.2ag-a10=(ag+a1o）-a1o=ag=24. 方法二：a1+3ag+a15=120,.a1+3(a1+7d)+(a1+ 14d)=120, a1+7d=24, .2ag-a1o=a1+7d=24. 例3：设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则：{a-3)+(a-d+(a+d+(a+3d)=26① l(a-d)(a+d)=40 ② =号代入②，得d=±号四个数为2,5,8,1山 由①，得a=2 3 或11,8,5,2. 对点训练3：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0), a的。如动解科化立所以这三个致 是6,4,2. 例4：B 课堂检测固双基 1.Aa5+ag=a3+a10=3. 2.C因为(a2+a3)+(a+a6)=(a2+a6)+(a3+a5)=4a4= 12,所以a4=3. 3.AB设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 、[0-3d+a-d+a+d+a+3d=28,解得a-7,或a=7, l(a-d)(a+d)=40, ld=-3, 所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4，-2. 4.90因为数列an},bn}都是等差数列，所以{an+bn}也构成 了等差数列，所以(a2+b2)-(a1+b)=(a3+6)-(a+ b2),所以a+b3=90. 5.因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列 a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+ 1)+lg(c-1)知： 2lg4=lg(6-d)+g(4+d). 从而16=(6-d)(4+d),即P-2d-8=0. 所以d=4或d=-2. 所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3. 2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和 必备知识探新知 知识点 n(a1+am） natn(n-1d 2 想一想： 求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选 用公式S=a,+a;若已知首项、公差和项数，则选用公式 2 S.=na+a(n-Dd. 2 练一练： 1.D设公差为d,由+24=5解得4=d=5, la1+6d=35, 所以5=9a+98×4=25. 2.C由题意及等差数列前n项和公式知Sn=na1+ n(n-1)d=2m2=200,所以n=10. 2 3.140由等差数列的性质得a1+a0=a5+a6=28,故其前 10项之和S=10(a,+a0）=5×28=140. 2 关键能力攻重难 例1：a=2d分， 3 8=2m分g-15, 2 .m2-7m-60=0,解得m=12或m=-5(舍去). 31 a.=a2=2-2×11=-4 (2)S.=n(a,+a）-n1,512)=-1022,解得n=4. 2 2 又an=a1+(n-1)d,.-512=1+3d,.d=-171. (3)方法-8=5a,+54=24, .5a1+10d=24, a+2= 4+,=2a+4d=2(a+20）=袋 方法二S,-5a+a2=24, 2 48 .a1+a5=5, a+a,=a+-袋 对点训练1：(1)C等差数列{a.}中，a3+a4=12,所以等 差数列a,的前6项之和为：5。=6×(a,+a)_6×(a+a 2 2 -6×12=36. 2 (2)A设这个等差数列的公差为d,首项为a1,则S4=4a +4经3d=3=8a,+8=1,解得d=6 2 例2：(1)BSm-Sm-4=an+am-1+am-2+an-3=80. S4=a1+a2+a3+a4=40. 两式相加得4(a1+an)=120∴.a1+a.=30. 由S.=n(a,+a）=210n=14 2 2c已蜘-导2-杀器 (3)方法一：因为S10,S0-S1o,S0-S20,…,S1m-S0,S10 Sm成等差数列，设公差为d,前10项的和为：10×100+10x9d 2 =10,所以d=-22, 所以前11项的和So=11×100+山X10d=1×100+ 2 11×10×(-22)=-110. 2 方法二：设等差数列{a.}的公差为d, 则号=号(m-1)+a,所以数列}成等差数列 I n S1oo S1o Sio Sic0 所以10010_10100 100-10-110-1001 15 10100S11010 即10010_110-100 100-10 10 所以So=-110. 方法三：设等差数列{an}的公差为d, Si10=a1+a2+…+a10+a1l+a12+…+a110=(a1+a2+… +ao)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a1om+10d)]=So+ S1om+100×10d, 又Sm-1050=100×994_10x94=10-10×100, 2 2 即100d=-22,所以S10=-110. 对点训练2：(1)D等差数列an}满足：a2=2, Sn-Sm-3=54(n>3) Sn=100, .a.+am-1+am-2=54(n>3) 又{a.}为等差数列， .3a-1=54(n≥2)， .a-1=18(n≥2)， 又a2=2,Sn=100, S.=（a+):”=2+18)n=10. 2 .n=10,故选D. (2)29因为等差数列{a}共2n+1项，其中奇数项和为 319,偶数项和为20，记奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则 S1-S2=(a1+a3+a5+…+a2+i)-(a2+a4+a6+…+a2m）= a1+nd=am+1=319-290=29. 例3：(1)8由等差数列的性质，得a,+ag+ag=3ag>0,as >0. 又因为a,+ao<0,所以ag+a<0,所以a,<0,所以Sg> S,,Sg>S,,即数列an}的前8项和最大. ra+2d=8, (2)①设公差为d,由题意得{ 4a+43d=6, ra1+2d=8, +2=9 即 .解得d=-2, 1a1=12,a,=-2n+14 ②由①得S.=n12+14-2m）=-元+13n 2 -(+ 当π取与号最接近的整数，即6或7时，、有最大值，最大 值为S6=S,=-7+13×7=42. 对点训练3：(1)20方法一：对任意neN,都有Sn≤S: 成立，即S为Sn的最大值.因为a1+a4+a,=99,a2+a5+as= 93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=4+(n-4)d=41 -2n,当s.取得最大值时，对任意nEN满足a,0,解得n lam+1≤0， =20 即满足对任意n∈N*,都有Sn≤S:成立的k的值为20. 方法二：同方法一可得公差d=-2,a.=a4+（n-4)d=41 -2n,则a=1时，a,=39,所以S.=号+(a-号)=-2+ d 40n=-(n-20)2+400,即当n=20时，S.取得最大值，从而满 足对任意neN*,都有S,≤S成立的k的取值为20. (27S,=S,所以其对称轴为3=7，知a=7时 Sn取最大值， 例4：a1=S1=6, n≥2时，am=Sn-Sm-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+ 3(n-1)+2]=2n+2, 3 6-低+2,2：显然a-a=6-6=0,-a 2,.an}不是等差数列. 课堂检测固双基 1.BS1= 1(a+a_1(a,+as_1x16=88. 2 2 2 2B由已知可得+5d=2, 5a1+10d=30, 26 [a1=i 3 解得) 4 d=-3, 4S,=80,+8x2d=32 2 3.C am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm1-Sm=3,d=am+1-am =3-2=1.由S=m(a,+a=0,得a,=-a.=-2 2 .am=-2+（m-1)·1=2,解得m=5. 495因为数列a.为等差数列，则由题意得 68+4d解得日- fa1+2d+a1+3d=7 ,,则S0=10a+ 10x94=10×(-4)+45×3=95. 2 第2课时等差数列习题课 必备知识探新知 知识点一 ∫Sa,n=1 5,-5-1a.={s。-S-1n≥2 练一练： 2n-8当n≥2时，am=Sn-S.-1=(n2-7n）-[(n-1)2 -7(n-1)]=2n-8, 而a1=S1=-6,也符合上式， 所以an=2n-8. 知识点二 }位) 练一练： 1 。11 D因为a=n(n+1)=nn+T' 所以5=a++a+…+a=1-宁+分写+5-行 +4g+56+6-7179 关键能力攻重难 例1：(1)Aa4=S4-S3=42-1-32+1=7. （2)n=1时，a=8=-号+1-1=-多， 当n≥2时，a=8-S1=-子2+n-1 [-2(n-1)+(-)-刂小-3n+各，因为a,=-号不适 合a,=-3n+, 3 所以an= 2n=1, .5 -3n+2n≥2. (3)因为an+2S.·Sm-1=0, 所以an=-2S.·S-… 当n=1时，a1=2 15 当n≥2，neN*时，an=Sn-Sa-1, 所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①. 因为a=2,所以S,S1≠0， ①式的两边同除以SnS。-1得： 1 S-1 S -2即 1 1=2, 所以数列[付}是首项为2，公差为2的等法数列， 所以片=2+2(n-1)=2n,即：5.=2元， 1 1 则a,=-25,5.1=2n(m-n≥2)， 因为a1=方不消足a,=2日-n≥2)，所以数列的 2n=1, 通项公式为a.= 1 l2n(n-1)n≥2 对点训练1：(1)Ban=S.-Sn-1=2”-2-1=2”-(n≥2)， 又S1=2=2,a1=21-1=1.不符 r2,n=1, am={2-l,n≥2. a=28-1=27=128. (2)A由S.·S-i-Sa-1·√Sm=2√S.·Sm-1(n≥ 2),两边同除以√Sn·Sm-1,得√S。-√S-1=2;而S,=a1=1, .√Sn=1+2(n-1)=2n-1,.Sn=4n2-4n+1;再根据an= Sn-Sm-1(n≥2)，得a.=8n-8(n≥2)，所以a1o=8×10-8 =72. (3)/0,n=1, -2m+1,n≥2由题意知，当n=1时，4=5，=0， 当n≥2时，5n=-n2+1①， S4-1=-(n-1)2+1② 所以①-②，得an=Sn-S.-1=-2n+1. :4=0不适合an=-2n+1. a=0,n=1, l-2n+1,n≥2. n(n+1) 例2：因为a,n中+n子+…+=n子斤受 1 2 2 所以6，=2=2 an2女mn=8h-） 8 2 2 因此数列6.的前a项和为又=8（十-）+8（分-） +…+-i)=8--0 对点训练2：(1)C设数列{an}的公差为d, 已知得，td2解得a=1,d=1, la1+5d=6, 所以a,=1+(n-1)x1=n,所以， 1 aa+1n(n+l）=n 1 n+1 因此+++=1-分+分-+…中 1 a20a21 11 120 2027=1-2727 (2)①设等差数列{an}的公差为d, 由=a+2d=7, 1as+a,=2a。=2a1+10d=26,得{d=2’●019 2.2等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推 1.理解等差数列前n项和的推导方法. 导过程.培养逻辑推理素养 2.掌握等差数列的前n项和公式. 2.借助教材掌握a1,an,d,n,Sn的关系，培养数学 运算素养 必备知识 探新知 知识点等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 S,= S,= [提醒]在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”. 想一想： 求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ 练一练： 1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=15,a,=35,则S,= A.450 B.400 C.350 D.225 2.已知数列{an}为等差数列，首项a1=2,公差d=4,前n项和Sn=200,则n= A.8 B.9 C.10 D.11 3.已知等差数列{an}满足a+a。=28,则其前10项的和为： 020 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一有关等差数列前n项和公式的计算 例1.已知等差数列a,中： （0)a=2d=号.=-15，求m及a (2)a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d; 规律方法： (3)S=24,求a2+a4 等差裁列中基本量计 算的两个技巧 [分析](1)3=ma,+mm山4，解方程求得m,再利用通项公式a。《)到州装本量求位 2 =a1+（m-1)d,求am 等差数列的通项公式 (2)S,=na,+n,】 和前n项和公式中有 2解方程组求d. 五个量a1,d,n,an和 an=a1+(n-1)d, Sm,一般是利用公式列 (3)可以利用s.=a,+n(n)Dd求解，也可以利用S,=n(a,+a,） 出基本量a1和d的方 2 2,求 程组，解出a1和d,便 得a1+a,再利用等差数列的性质求得a2+a4 可解决问题.解题时 注意整体代换的 思想 (2)利用等差数列的 性质解题，等差裁列 的常用性质：若m+n =p q(m,n,p, q∈N,),则am+an= ap+a1,常与求和公式 S=a,结合 2 使用. ·[规律方法] 》对点训练1 (1)在等差数列{an}中，已知a3+a4=12,则数列{an}的前6项之和为 ( A.12 B.32 C.36 D.72 (2)设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的 公差为 () B.E n ●021 题型二等差数列前n项和的性质 例2(1)已知等差数列a前n项和为S,s,=40,S.=210. Sn-4=130,则n= () A.12 B.14 C.16 D.18 (2)两个等差数列a,,6,,若十+…+a=7n+2 b1+b2+…+bn-n+3’ 规律方法： 等差数列前n项和的性质 () (1)等差数列{an中，Sn,S2-Sn 44 B51 8 c器 D.93 S3n-S2n…也构成等差裁列. 12 (2)若{an}与{bn}均为等差数 (3)已知等差数列{an}的前n项和为S,且S0=100,S 列，且前n项和分别为Sn与Sn =10,试求S10 [分析](1)求m想到S,=(a+a）_n(a+an) 2 → (3)若等差数列{an}的前n项和 S-S-4=an+an-1+an-2+an-3,a1+a2 +a3+aa+a (2)求值想到s,=n(a+a) 为5，测装列侣}长客无丝到。丑 2 →若m+n=p+g则am+an三 首项为a1,公差为号 0=S2-1 a,+ag→6S2a-1 (4)项的个数的“奇偶”性质. an}为等差数列，公差为d. (3)求S11o想到Sn,S2n-Sn,Sm-S2m,…构成公差为nd的等 ①若共有2n项，则S2m=n(an+ 差数列→S10=100,S=10→项数和公差。 an+1); S话-S=ns=a。 ②若共有2n+1项，则S2n+1=(2n +1)an+1; ,S=n Sa-Sk=-an1iSs-n+T (5)等差数列{an}中，若Sn=m, Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (6)等差数列{an}中，若Sn= Snm(m≠n),则Sm+n=0. [规律方法] 022 》对点训练2 (1)已知等差数列{an}满足：a2=2,Sn-Sn-3=54(n>3),S, =100,则n= () A.7 B.8 C.9 D.10 (2)等差数列{a,共2n+1项，其中奇数项和为319，偶数项 和为290，则a.+1= 规律方法： 题型三等差数列前n项和的最值 等差裁列前n项和最值的两种 例3.1若等差数列a,满足a+十a,>0,a+a<0,则当末法 n= 时，{an}的前n项和最大. (1)转折项法 (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3=8,S4 ①当a1>0,d<0时，由不等式 =36. an≥0， 组 ①求{an的通项公式； lan+1≤0， ②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值 可求得Sn取最大值时的n值. [分析]求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也 ②当a1<0,d>0时，由不等式 可以利用前n项和的函数特性求解. 组/a,s0, lan+1≥0 可求得Sn取最小值时的n值 (2)利用二次函数求Sn的最值 知道公差不为0的等差数列的前n 项和Sn可以表示成Sn=an2+ bn(a≠0)的形式，我们可将其变 b1262 形为S,=an+2a-4n )3 ①若a>0,则当(n+2a 最小 时，Sn有最小值 12 ②若a<0,则当(n+2a 最小 时，Sn有最大值. ·[规律方法] 】对点训练3 (1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,已知a1+a4+ a,=99,a2+a+ag=93,若对任意neN*,都有Sn≤S.成立，则k 的值为 (2)已知等差数列{an}中，a1=13,S3=S1·那么当 n ,S取最大值 023 ●易错警示 由和求项注意验证首项 例4、已知数列a.的前n项和S.=2+3m+2,判断a是否为等差数列 [错解]：an=S。-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2]-(2n+2)=2(常数)， ∴.数列{an}是等差数列. [误区警示]an=Sn-Sn-1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证. [正解] 课堂检测 固双基 1.在等差数列{an}中，已知a4+ag=16,则该数 A.3 B.4 C.5 D.6 列前11项的和S,= ( )4.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{a.}的 A.58 B.88 C.143 D.176 前n项和，若a+a4=7,3a2+a=5,则S10= 2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若 a6=2且S=30,则S。等于 A.31 B.32 C.33 D.34 夯基提能作亚 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1= 请同学们认真完成练案[5] -2,Snm=0,Sm+1=3,则m ( 第2课时 等差数列习题课 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 l.会利用数列的前n项和Sn求数列的通项 1.等差数列前n项和公式Sn求a培养数学运算 公式an 素养 2.会使用裂项相消法求数列的前n项和. 2.借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想 3.掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和 象素养 的计算方法