精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试题

临澧一中2025年下学期高二年级期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算计算出复数，再利用复数的模的公式计算得出答案. 【详解】因为，所以 因此. 故选：C. 3. 已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解. 【详解】由事件 A 与事件 B 相互独立，可得 由，可得，则事件与事件相互独立， 故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件. 故选：D. 4. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合条件列方程可求结论. 【详解】在方向上的投影向量为， 由已知可得， 因为，所以，又， 所以，又， 所以与的夹角为. 故选：D. 5. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 6. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出圆的圆心和半径，并判断直线过圆心，求得，再转化为二次函数求最小值. 【详解】， 圆的圆心为，半径， 因为直线所截得的弦长为，所以直线过圆心，即， 即， ， 当时，取得最小值2. 故选：B 【点睛】本题考查直线与圆相交，最值问题，重点考查计算能力，属于基础题型. 7. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，点是在以线段为直径的球与平面形成的交线上， 如图，取的中点，的中点，设BP的中点为， 连接，则，， 过点作，垂足为N， 由于， 又根据正三棱柱可知，平面， 所以平面，则平面， 则， 而， ，，， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 故的最小值为， 故选：D. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. B. 的最小正周期是 C. 的值域是 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，代点求值可以判断A；根据周期计算公式可以判断B；根据，可以判断C；求解函数的单调递增区间可以判断D. 【详解】 ， 对于A，，故正确； 对于B，的最小正周期，故错误； 对于C，因为，所以， 即的值域是，故正确； 对于D，令， 可得为函数的单调递增区间， 所以在区间单调递减，故错误， 故选：AC. 10. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项. 【详解】设过点的直线方程为：，与抛物线联立方程组， 消得：， 由可得：， 又由， 所以，故A正确； 设的中点， 则， 即中点到准线的距离为 ， 假设抛物线的准线与以为直径的圆相切，则， 这显然是不成立的，故无解，所以抛物线的准线与以为直径的圆不相切，故B错误； 由 ， 所以有，故C正确； 由抛物线方程或， 求导得：或， 则抛物线在点的切线方程分别为：和， 两式消得：， ， 令，则 所以， 所以交点在直线上，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过导数求切线方程，进而可得，所以A正确；对于B，需要构造，再用导数证明可得结果；对于C，根据两点间的距离公式，再结合不等式即可判断；对于D，先计算，再结合等差数列的性质即可得结果. 【详解】由函数，得. 对于A：过点作曲线的切线为：. 又因为切线交x轴于，代入上述切线，得， 即， 故数列是等差数列，所以A正确； 对于B：由上可知，即.又， 所以，. 要证，只需证明：， 令，. 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以函数，所以恒成立， 故成立，所以B正确； 对于C：， 同理，. 由数列是等差数列，设公差为，. 所以，，. 所以 . 即，故C错误； 对于D：因为中，， 所以三角形底边长为，高为， 所以三角形的面积， 同理，且数列是等差数列，. 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设,且,则______. 【答案】100 【解析】 【分析】 将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值. 【详解】,,. ,.又∵,,即,,. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为，根据，可得，在中，根据，结合，可得关于的方程，即可求解. 【详解】 如图，不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为， 因为，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，即， 整理可得，解得，则， 在中，，所以， 两边平方可得，又， 所以，即， 解得或（舍）. 故答案为：. 14. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，，即 为的增函数，，，即， 由题意，只需， 记，，令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，所以； 当时，，，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得其通项公式； （2）由，求得数列的通项公式，根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到数列的前n项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 则，解得. 所以的通项公式； 【小问2详解】 数列满足，，①. 当时，，解得； 当时，，②， ①-②得：，整理得， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以； 结合（1）知， 所以数列的前n项和. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将向量数量积转化为，结合已知条件化简，利用正弦定理将边化为角，结合与三角恒等变换求，进而解得角. （2）由三角形内角和求角，用面积公式得的关系，结合正弦定理将用表示，代入化简求即可. 【小问1详解】 由已知得，且三角形边长大于零，则， 又由正弦定理（为外接圆半径）， 所以，而在中， 所以， 即，整理得， 又，所以，则，所以. 【小问2详解】 由已知，，则， 由三角形的面积公式，已知，， 则，即. 又由正弦定理，可得， 而，， 所以， 解得或（边长不能为负，舍去）， 所以. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）① ； ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025年下学期高二年级期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. 2 C. D. 1 7. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上（不含三棱柱的顶点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. B. 的最小正周期是 C. 的值域是 D. 在区间上单调递增 10. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设,且,则______. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为_____. 14. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $