5.3.1 函数的单调性-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

071 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 新课程标准解读 学科核心素养 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象 2.能利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间. 逻辑推理、数学运算 3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题， 数学运算、逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 [知识点反思1] 在必修第一册中，我们通过图象直观（图象法），利用不等式（定义法）研究 (1）判断函数单调 了函数的单调性.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导 性，原函数的图象只 看增（减）的变化，导 数是关于瞬时变化率的数学表达，知道导数与曲线切线斜率的关系.本节 函数的图象只看正 我们研究导数与函数单调性的关系. (负)变化； 曰新知初探 (2)在区间(a,b)内， f'(x)>0(或<0)是 知识点一函数八x)的单调性与导函数∫'(x)正负之间的关系 y=f(x)在区间(a,b) f'(x)的正负 f代x)的单调性 上单调递增（或减）的 充分不必要条件.如 Vxe(a,b),f'(x)>0 f(x)在(a,b)上 f(x)=x是R上的可 Hx∈(a,b),f'(x)<0 f(x)在(a,b)上 导函数，也在R上单 调递增，但当x=0时， ●[知识点反思1] ∫'(x)=0.即若在某区 间内有有限个点使 知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 ∫'(x)=0,在其余的点 在某一范围内一个函数f(x)导数的绝对值为f'(x)I,则 恒有f'(x)>0(<0), 则f(x)在该区间上单 If'(x)I 函数值的变化 函数的图象 调递增（递减）. 越大 在这 内变化得较快 比较“ [知识点反思2] 图中f(x),(x)变 越小 在这一范围内变化得 比较“ 化越来越慢，听(x)川， ●[知识点反思2] f3'(x)1→0；f(x), ∫4(x)变化越来越快， 自预习自测 2'(x)1,f'(x)1→ 1,函数f代x)=cosx-x在(0，T)上的单调性是 ( +0∞ A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 2.函数f(x)=lnx-x的单调递增区间是 A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,2) D.(2,+0) 2 3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所 示，则函数f(x)的单调递增区间是 3-2 /1012 072 题型探究提技能 题型一 函数的单调性与导数的关系 例1利用导数判断下列函数的单调性： 0-=-+2g-5: (2)f(x)=x--In x; (3)f(x)=x-e(x>0) [方法总结1] [方法总结1] 利用导数判断函数单 调性的步骤： （1)确定函数的定 义域： (2)求导数f'(x): (3)确定∫'(x)在定义 域内的符号，在此过 程中，需要对导函数 进行通分、因式分解 等变形； (4)得出结论 》跟踪训练1 证明：函数)=2x-hx在区间（分+x]上单调递增，在区间0,7 上单调递减， 073 题型二函数图象与导函数图象的关系 例2（1)已知(x)的导函数∫()的图象如图所示，那么)的图象最有 可能是图中的 y=f'《x) [方法总结2] (1)函数的单调性可 以通过导数的正负来 分析判断，即符号为 正，图象上升；符号 (2)函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数 为负，图象下降； 下=x (2)看导函数图象 为'(x),则C)>0的解集为 f(x) 时，主要是看图象在 x轴上方还是下方， A.(1,6) 即关心导数值的正 B.(1,4) 负，而不是其单调 C.(-0,1)U(6,+0) 性，解决问题时，一 D.(1,4)U(6,+0) ●[方法总结2] 定要分清是函数图象 还是其导函数图象 〉跟踪训练2 已知函数y=f(x)的导函数y=∫'(x)的图象如图所示，则该函数的图象可 能是 [方法总结3] 利用导数求函数单调 区间的一般步骤： 题型三利用导数求函数的单调区间 (1)确定函数y=f(x) 例3求下列函数的单调区间： 的定义域： (2)求出导数∫'(x)的 (1)f(x)=x3-4x2+4x-1; 零点； 2)=x2 ●[方法总结3] (3)用∫'(x)的零点将 f(x)的定义域划分为 若干个区间，列表给 出∫'(x)在各区间上 的正负，进而求出单 调区间. 074 )跟踪训练3 (1)函数f()=5+nx的单调递减区间为 A.（-0,5)》 B.(0,5) C.(5,+0) D.(0,+∞) (2)函数f(x)=x+2cosx,x∈(0，π)的单调递减区间是 随堂检测重反馈 1.已知函数fx)=,则f(x) A.在(0,1)上单调递增 B.在(1,2)上单调递增 C.在(-∞，1)上单调递减 D.在(0，+∞)上单调递减 2.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为 y y=f(x) y=f(x) (r 014十 914x C 3.已知函数f(x)=xlnx,则f(x)在x=2处比x=3处变化 （填“快”或“慢”) 4.函数f(x)=x2-5x+2ln(2x)的单调递增区间是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[19] 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值 新课程标准解读 学科核心素养 1.借助函数的图象，了解函数的极值及相关的概念；理解函数在某点取得 数学抽象、直观想象 极值的必要条件和充分条件 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数在求极值中的 数学运算 应用 3.能利用导数研究与函数极值等相关的问题， 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 一情境导入 小明是班里身高最高的，但他不是学 [提示] 校身高最高的同学.在右面的函数图 这样的点是函数图象 象中，A点不一定是图象的最高点，但 走势的转折点，可以 利用导数研究函数的 它是局部范围的最高点；B点是局部 单调性得到 范围的最低点.在数学中，如何通过解 析式找出函数图象中这样小范围内的 高低点呢？ P[提示](4)设y=e“,u=x2,则y'=e“,w,'=2x, 于是yx'=y'·u.'=e2.2x,即y'=2ae2 跟踪训练2：【解析】(1)设y=u,u=2x-1, 则yx'=y'u,'=(u)'(2x-1)'=4u3.2=8(2x-1)3. (2)设y=10,u=2x+3, 则y'=y'u'=(10)'(2x+3)” =101n10×2=2n10.102+3. (3)y.'=(e-)'sin2.x+e·(sin2x)' =-e-*sin 2x +2e*cos 2x. (4)y'=[n(3x)'·e-n(3x)·(e (e*)2 ·e-n3)·eh3 (e)3 例3：(1)A（2)见解析 【解析】(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x,y%)处的切线与 2 2 直线2x-y+3=0平行.y=2x-心10=20-=2， 解得x=1,∴yo=n(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).∴.切点 1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=2-0+31=5,即 √4+1 曲线y=n(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离 是5 （2)设)=3nx,=p()=没+爱 所以()=f"(x)e'()=3(os)·晋-平ms(晋+ )· 将1=18代入0)，得18)=平s=5（. 3 s'(18)表示当t=18h时，潮水的高度上升的速度为牙m/h 跟踪训练3：(1)20(2)石 【解析】(1)s(t)=(2t+1)2,∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+ 4,则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s). (2)f'(x)=-√5sin(5x+p),.fx)+f'(x)=cos(5x+ p)-5sin(5x+p),令g(x)=cos(5x+p）-√5sin(3x+ p),:其为奇函数，g(0)=0,即cosp-5 sin=0,.tanp =得，又0<p<e=吾 随堂检测重反馈 L.BCDA不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B由y= cos,u=x+平复合而成：C由y=,u=nx复合而成；D由 y=u,u=2x+3复合而成. 2.Ay'=(1-ax)2-2ax(1-ax)=3a2x2-4ax+1,则y'lx=2= 12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1(舍负). 3.(sin)'=2sin (sin)'=2sin xcossi y1学=血号夏商线在点A(名 1 3 ）处的切线的 斜率为 4.2设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)切于点(xo,yo),则yo =引+%=h(6+w),又曲线的导数为y=十a心yl, 1=l,即+a=1.又%=n(0+a)小%=0，= xo +a -1,.a=2. 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 单调递增单调递减 知识点二 范围陡峭较慢平缓 预习自测 1.D易知f'(x)=-sinx-1,xe(0,π)，∴f'(x)<0,则f(x) =cosx-x在(0，T)上单调递减 2.Af'(x)=元 -1,令f'(x)>0,又x>0,0<x<1,则fx) 的单调递增区间是(0,1). 3.(-1,2),(4,+∞)由题图可知，在区间(-1,2)，(4，+∞) 上f'(x)>0;在区间(-∞，-1)，(2,4)上f'(x)<0.由导函 数的正负与函数单调性的关系可得，函数f(x)的单调递增区 间是(-1,2)，(4，+0). 题型探究提技能 1 例1：【解析】（1)因为代x)=3-+2x-5, 所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, 所以函数)=了-+2-5在R上单调递增 (2)图为)=x--n,e(0,+0）: 所以f(x)=1+文 11 2 1 3 x2-x+1 x-2 *470, 所以f(x)=x- 上-lnx在(0，+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=x-e",x∈(0，+∞)， 所以f'(x)=1-e<0, 所以f代x)=x-e在(0，+o)上单调递减. 0 跟踪训练1：【证明】函数的定义域为(0，+∞) 【解析】(1)易知函数f(x)的定义域为(0，+0)，f'(x)= f()=4x--l.(2+2x业 子+士-兰，令f()<0得0<<5黄)的单调递 当xe(分，+m）时，2x+1>0,2x-1>0>0。 减区间为(0,5) (2)由f'(x)=1-2sinx<0,得sinx> 所以f'(x)>0, 2,又xe(0,π)， 所以x)在（分，+x)上单调递指： (倍)月 当xe(0,）时，2x+1>0,2x-1<0x>0, 随堂检测重反馈 所以f'(x)<0, .Af()=。三，令f()=0得x=l,所以)在(-0，) 上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.故选A. 所以x)在(0,2)上单调递减 2.Cfx)在(-∞，1)，(4，+0)上单调递减，在(1,4)上单 例2：(1)D(2)D 调递增，当x<1或x>4时，f(x)<0;当1<x<4时，f'(x) 【解析】(1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x)< >0. 0,函数f(x)是减函数；当xe(0,2)时，导函数f'(x)>0,函数 3.慢由f'(x)=1+lnx得f'(2)=1+ln2f'(3)=1+ln3,因 f(x)是增函数，D符合. 为f'(2)>0,f'(3)>0且f'(2)<f'(3),故x=3处变化快. 2由题充岩>0()·)>0，又因为，由图可知， 4.(0,),(2,+)f)的定义域是(0，+)"() (2x-1)(x-2 当xe(-∞，4)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当xe(4,+0) x ,由"()>0得x>2或0<x<,故f)的 时，f(x)<0,fx)单调递减；所以①当x∈(1,4)时f'(x)>0 且f(x)>0,②当xe(6,+o)时f'(x)<0且f代x)<0;综上， 单调递塔区间是(0，弓），(2，+0)。 x∈(1,4)U(6,+∞).故选D. 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 跟踪训练2：B由y=f'(x)的图象知，y=f(x)为增函数，且在区 间(-1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度 第1课时 函数的极值 越来越慢，故选B. 例3：【解析】(1)函数f(x)的定义域为R, 教材梳理 明要点 f'(x)=3x2-8x+4. 新知初探 令3x2-8x+4=0, 知识点 1.<>极小值点极小值 解得x=号或x=2 2.><极大值点 极大值 当x变化时，f'(x)与f代x)的变化情况如下表： 3.极值点极值 预习自测 2 2 ,3 3 号2 2 (2,+) 1.B若x。是函数f代x)的极小值点，则函数f代x)在。左侧邻近 f'(x) + 0 0 × 区域单调递减，在，右侧邻近区域单调递增，题图中的x,与 x都满足上述条件，即x1与x,都是极小值点.故选B. f(x】 单调递增 =27 单调递减 f(2)=-1 单调递增 2.D根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f'(x)>0;当xe(2, 4)时f'(x)<0;当xe(4,5)时，f'(x)>0.f(x)在(1,2)， 所以函数f(x)的单调递增区间为 和(2，+∞)， (4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x=2是f(x)在区间 单两是说区同为（号2） [1,5]上的极大值点，x=4是极小值点. 3.C根据极小值点存在的条件：①f'(xo)=0,②在x=x的左 (2)函数f(x)的定义域为(-，2)U(2,+o). 侧f'(x)<0,在x=xo的右侧f'(x)>0,可以判断出函数f代x) f(x)=e(x-2)-e=e(x-3) 的极小值点共有1个 (x-2)2 (x-2)2 4.-4思路1：由题设可知f'(x)=(x-1)(x-2)+(x-1)(x 令f'(x)=0可得x=3,当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况 -a)+(x-2)(x-a).又x=2是f(x)的极值点，故f'(2)= 如下表所示： (2-1)(2-a)=0,解得a=2.故f0)=(0-1)×(0-2)2= -4. x (-0,2) (2,3) 3 (3,+0) 思路2：根据已知，1,2，a是f(x)=(x f'(x) 0 + -1)(x-2)(x-a)的三个零点.根 f(x) 单调递减 单调递减 f3)=e 单调递增 据一元三次函数性质，当a≠1，a≠2 时，如图所示，在靠近x=2的两侧函 所以函数f代x)的单调递增区间为(3，+∞)，单调递减区间为 数取值时符号互异，x=2不可能为极 (-0,2)和(2,3) 值点；当a=1时，同理x=2不可能 跟踪训练3：(1)B 2() 为极值点，所以a=2.故f代0)=(0-1)×(0-2)2=-4. 161