5.1.2 导数的概念及其几何意义-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

054 》跟踪训练3 求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1,2)处的切线方程. 随堂检测重反馈 1.设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s=}-4+16(单位：米)，则 列车运行10秒的平均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 2.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)=-2+21,则它在t=0时的速度为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 3丽数y-号在=2处的切线斜率为 4.抛物线y=x2+4在点(1,5)处的切线方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 5.1.2导数的概念及其几何意义 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 数学抽象 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、直观想象 3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切 数学运算、直观想象 线方程 教材梳理明要点 ●情境导入 变速直线运动的瞬时速度问题，抛物线的切线的斜率问 题，都是研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程 度.物体的运动方程s(t)=512+1,抛物线的方程y=2x2 其实质都是函数.今天我们从函数的角度来认识“平均 变化率”到“瞬时变化率”的极限思想问题 055 令新知初探 [知识点反思1] (1)函数f(x)在xo,x0 知识点一函数的平均变化率 +△x处有意义； (2)x0+△x是x0附 对于函数y=f(x),量x从x,变化到xo+△x,相应地，函数值y就从f(x) 近的任意一点，△x可 变化到f(xo+△x).这时，x的变化量为△x,y的变化量为△y=f(xo+△x)- 正可负，但不能为0； (3)注意变量的对应 (o.我们把比值Ay,即Ay= △x=x0+△X-X0, △x 叫做函数y=f(x)从x到 '△x △y=f(x。+△x) f(x),而不是△y= x。+△x的平均变化率. ●[知识点反思1] f(xo)-f(x+△x); 知识点二函数在x=x。处的导数（即瞬时变化率） 《4)牛为变化率公的 意义是刻画函数的函 如果当△x→0时，平均变化率A义无限趋近于一个确定的值，即Ay有 数值在某区间上的平 均变化情况，可正可 △x 负，也可为零. 则称y=f(x)在x=x处 ,并把这个确定的值叫做y= [知识点反思2] (1)△x→0是指△x f(x)在x=x。处的导数（也称为瞬时变化率），记作 ,即 从0的左右两侧分别 趋向于0，但永远不会 f()=limAy=lim (xo+△x)-f(x) 为0； ●[知识点反思2] △x-0△X△x-0 △x (2)当△x→0时，若 知识点三导数的几何意义 A1的极限存在，则称 △x f(x)在x=x0处可导， 函数y=f(x)在x=x,处的导数f'(xo)就是曲线y=f(x)在点P(o, 且导数即为极限值， f(xo))处的切线的斜率ko,即k。=li f(xo+△x)-f(xo) 若A义的极限不存 =f'(xo). △x △x 在，则∫(x)在x=x阳 处不可导. [知识点反思3] [知识点反思3] (1)瞬时变化奉、曲 知识点四导函数（导数）的定义 线的切线的斜奉、函 数在该点的导数，三 当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的 (简 者等价； (2)曲线y=f(x)在点 称导数).y=∫(x)的导函数有时也记作 即f'(x)=y'= P(xo,yo)处的切线l 与曲线y=∫(x)的交 ●[知识点反思4] 点个数不一定只有一 个，如图所示 自预习自测 y=f(r) 1.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 ( A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 (3)f'(x)>0说明曲 2.设f(x)=2x+1,则f'(1)= 线在x0附近是上升 的，∫(xo)<0说明曲 3.如图，点A(x1,f(x)),B(x2,f(x2))在函数f(x)的图象 线在x,附近是下 上，且x2<x,则f'(x)与f'(x2)的大小关系是( 降的. [知识点反思4] A.f'(x1)>f'(x2) ∫'(x)与∫'(x)不相 同.f'(x)是函数f(x) B.f'(x)<f'(x2) 的导函数，是对某一 C.f'(x)=f'(x2) 区间内任意x而言 的；f·(xo)是函数 D.不能确定 f(x)在x=处的导 数值，是一个常数， 4.已知y=x2,则y= 是函数∫'(x)在x=x0 时的函数值 056 题型探究提技能 题型一求函数在某点处的导数 例1，求函数y=x-在=1处的导数 [方法总结1] [方法总结1] 求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化 量△y=f(x。+△x) -f(xo); (2)求平均变化率Ay △ =f八+ax)-) △x (3)取极限，得导数 f'(）=1imAy为了 △x0△X 求出△0时会的 极限值，要注意对AY △x 》跟踪训练1 进行适当变形. 设函数f(x)在x=1处的导数为2，则1im f1+△x)-f1) 3△x 题型二导数在实际问题中的意义 例2建造一栋面积为x平方米的房屋需要成木y万元，)是关于x的函数。 [方法总结2] y=)=若+焉+0.3，求了(10)的值，并解释它的实际意义 认识瞬时变化奉的关 键点 P[方法总结2] (1)极限思想是逼近 的思想，眸时变化奉 就是平均变化奉的 极限； (2)函数y=∫(x)在 x=xo处的导数∫'(xo) 反映了函数在x=x0 处的瞬时变化奉，它 揭示了事物在某时刻 的变化情况 ●057 》跟踪训练2 一只昆虫爬行的位移s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s= 3t2,0≤t<3, 求s'(1)与s'(4),并解释它们的实际意义. 15+3(t-1)2,t≥3， [方法总结3] 求过点P(,yo)的 曲线y=∫(x)的切线 方程的策略 (1)当点P(x,y)是 切点时，切线方程为 y-yo =f'(xo)(x- x0）; (2)当点P(x0,y0)不 是切点时，可分以下 几步完成： 第一步：设出切点坐 题型三求切线的方程 标P(x1,fx))； 例3已知函数y=)= 第二步：写出过点 (1)求曲线y=f(x)在点(-1，-1)处的切线方程； P(x1,f(x1)的切线 (2)求曲线y=f(x)过点E(2,0)的切线方程 P[方法总结3] 方程y-∫（x1)= f(x)(x-x); 第三步：将点P的坐 标(x,yo)代入切线 方程求出1： 第四步：将x,的值代 入方程y-f(x)= f'(x)·(x-x)可得 过点P(xo,yo)的切 线方程 058 》跟踪训练3 (2025·全国I卷)若直线y=2x+5是曲线y=e*+x+a的一条切线，则a 题型四与导数的几何意义有关的图象问题 例4.(1)函数)=fx)的图象如图所示f'(w)是函数x)的导函数，则下列 数值排序正确的是 =f( A.2f'(3)<f(5)-f3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(3)<2f'(5)<f(3)-f(5) (2)若函数f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增，则函数f(x)在区 间[a,b]上的图象可能是 o a a [方法总结4] 函数y=∫(x)在x=x0 [方法总结4] 处的导数的几何意义 就是该函数曲线在 )】跟踪训1练4 x=x0处的切线的斜 奉，所以比较两个导 已知函数f八x)在R上可导，其部分图象如图所示，设2）-1 2-1 2=a,则下 数值的大小可以根据 函数图象，观察函数 列不等式正确的是 ）y=f(x)在这两点处对 应切线的斜奉的大 小 A.f'(1)<f'(2)<a B.f'(1)<a<f'(2) C.f'(2)<f'(1)<a D.a<f'(1)<f'(2) ●059 随堂检测 重反馈 1.如图，函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.(2025·深圳月考)已知函数f代x)可导，且满足m3)人3+△)=2，则函数)=(x)在x=3处 △x 的导数为 () A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.已知函数y=寸()的图象在点M(1,(1)处的切线方程是y=3x+2,则f(1)+f(1)= 4.已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[15] 5.2 导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 新课程标准解读 学科核心素养 L.能根据导数定义求函数y=c,y=,y=,y=,y=y=的导数 数学运算 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 数学运算 教材梳理明要点 ●情境导入 利用导数的定义我们可以求出函数y=x2在x=1,2,3等任意值 时的导数.但对每一个给定的值都重复一遍相似的求解过程，费 时费力，不利于我们对新知识的探索，如果先求出y=x的导函 数，将其作为公式来利用，可以大大简化求某一特定值的导数的 过程，起到事半功倍的作用.本节我们探究几个常用函数的导数 公式又因为{an}的“生成子列”的通项公式bn=4,所以数列{an} 中a1=4, 所以符合条件的{an}有： {4,1,2,3},{4,1,3,2},4,2,1,3},4,2,3,1},4,3,2,1} 4,3,1,2 6种可能 第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.)-s6) t2-t1 2.某一时刻 4四6+》- 预习自测 1.3=22+2）-12+2)=3. 2-1 24k=im21+△)2-2×1 △x -=lim(2Ax+4)=4. 题型探究提技能 例1：【解析】由已知，得 m=(3）-2)-5x×32+3(5×2+2=26. 3-2 3-2 跟踪训练1：8-220=方-1=分 2-1 欲：（解桥】（1）因为兰-1+山 △t =(1+△t)2-(1+△)+1-(12-1+1)】 △t =1+△t, 所以受会-妈（1+)=1 即物体在t=1s时的瞬时速度为1m/s. (2)设物体在t。时刻的瞬时速度为9m/s. 又A-+△）-s6）-24-1+4 △t △t 8=期(24-1+)=26-1 于是2t。-1=9,所以=5. 则物体在t=5s时的瞬时速度为9m/s. 跟踪训练2：2=s2+△-s(2）-a(2+)°-40=4a+ △t △t △t a△t,质点M在t=2s时的瞬时速度为质点M在t=2附近平 均速度的极限值，即片=4a=8a=2 15 例3：【解析】2+4)-f22 △x =(2+A)'-(2+A)-2=3+Ax △x 所以切线的斜率k=im2+△x)-f(2) 4r0 △x =im(3+Ax)=3. 所以切线方程为y-2=3(x-2), 即3x-y-4=0. 跟踪训练3：【解析】由1+△)-) △x =1+A)2-21+△x）+3-2=Ax, △x 可得切线的斜率为k=lim△x=0. 所以切线的方程为y-2=0×(x-1),即y=2. 随堂检测重反馈 1.A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10) -s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度为 s(10)-s(0)=10(米/秒). 10-0 2D因为0=四-++2》=-+2型- △t im(-2+2-△)=-2+2，所以当t=0时，其速度为2. 4 4 3.-1因为△y=2+4-2=(2+4x 。-1= 含学所以是=务所以=四兰 △x+4 △x 42-1 4.2x-y+3=0切线斜率k=四+△4-5=(4x+ △x 2)=2.所以切线的方程为y-5=2(x-1),即2x-y+3=0. 5.1.2 导数的概念及其几何意义 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 f(x+△x)-fxo) △x 知识点二 极限可导f'(xo)或y1=o 知识点四 导函数y'lim fx+△x)-fx) △x 预习自测 1.A8g00-8=21 △x-1.1-1 2.2f'(1)=limL+4=f0=m21+A)+11-(2x1+ △x △x =2 6 3.A如图，根据导数的几何意义，f'(x1) 为曲线f代x)在点A处切线的斜率，设该 斜率为k1f'(2)为曲线f(x)在点B处 切线的斜率，设该斜率为k2,由图象可得 0>k1>2,即有f'(x1)>f'(x2). 42y-=± △x =lim(△x+2x)=2x,即y =2x. 题型探究提技能 :l解标】因为4=1+4)-7十A-(-宁）=4+ △x 所以 △x A+立-1+十a所以四 y △x = 典(1+1十4)=2，所以y八1=2，即面数y=x-在 1 1处的导数为2. 跟踪训练1：3 2 根据导数定义可知，im1+A-f。 3△x 号=1+20-兮×2-号 △x 例2：【解析】根据导数的定义， 得f(100=m =1im100+△x)-f100) △x州0 4x =1im100+△x+√100+△x+3-(100+100+3) 10△x =( /100+△x-10\ × 10△x -s[品*0x网+ax+0 1 1 =16+10×(10+10=0.105. f'(100)=0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本约以 1050元/平方米的速度增加. 跟踪训练2：【解析】当0≤t<3时，s(t)=32, -s1+4)-s-31+A2-3=6+34, At △t △t (1）=-(6+30)=6 当t≥3时，s(t)=15+3(t-1)2, As=s(4+△)-s(4) △t △t =15+3(4+△t-1)2-[15+3×(4-1)2] △t =18+3△t, s'(4)=imA=1im(18+3At)=18. 0△tA0 s'(1)=6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分， s'(4)=18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18 米/分. 19 例3：【解析】（因为f()=x+ △x 3x2△x+3x(△x)2+(△x)3 lim △x =lim[3x2+3xAx+(△x)2]=3x2, 所以曲线y=f(x)在点(-1，-1)处的切线的斜率为k= f(-1)=3, 所以切线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0. (2)设切点坐标为(，x), 则切线的斜率为k=f'()=3品， 所以切线方程为y-x=3x(x-x). 将点E(2,0)的坐标代入切线方程， 得-x=3x(2-x0), 则2x(x0-3)=0,解得x0=0或x0=3, 所以切线方程为y=0或27x-y-54=0. 跟踪训练3：4思路1：设直线y=2x+5与曲线y=e+x+a相 切于点(，o),由于(e+x+a)'=e*+1,故由题意知 r%=2x。+5, e0+1=2,由e0+1=2得x=0,从而yo=5.将x=0, Lyo =eo xo+a. y0=5代入0=e0+x+a,得a=4. 思路2：由于(e+x+a)'=e"+1,则曲线y=e+x+a在点 (o,yo)处的切线方程为y-(e0++a)=(e0+1)(x- x),即y=(e0+1)x+e0+a-e0.从而由题设可得 re0+1=2, 解得x0=0,a=4. Leo +a-xoe0 =5. 例4：(1)A(2)A 【解析】(1)由题图知：f”(3)<5)-3》<f”(5),即 5-3 2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) (2)函数f代x)的导函数f'(x)在[a,b]上单调递增，即对任意 x1和x2满足a<x1<2<b,都有f'(a)<f'(x1)<f(2)< f'(b),根据导数的几何意义，可知函数y=f代x)的切线斜率在 [a,b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合 跟踪训练4：B由图象可知，函数在[0，+∞)上的增长速度越 来越快，故函数图象在点(xo,f(x))(x∈(0，+∞))的切线 的斜率越来越大，2）1=a,f'(1)<a<f”(2),故 2-1 选B. 随堂检测重反馈 1.BA2=3）-12=-3=-1 △x3-1 2B由题意，知/(3)=一3+-③)=-2，故选B △x 3.3由图象在M点处的切线方程是y=2x+2,得f(1)= 分x1+2=号f=分)+f)=号+3=3. 4(子令）设切点坐标为(o),则4y=[2(6+4)2+ 1-(2号+1)=46·+2(4)月，8=46+2. f()四会=4又：切线的斜率为k=m45=1, 4=1,即%=-2x(）+1=切点坐标 为(4) 5.2导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 012x3x2 1 2 知识点二 0a“-1 -sin x a'ln a e 11 xln a x 预习自测 1.CD由导数的运算公式可知，由y=ln2,则y'=0,所以A错 1 误：由y=（2),则y=-（ 1 ln2,所以B错误；其他选 项均正确 1 题型探究 提技能 例1：l解析】1)y=(5)n5=-(兮)n5 (2)y'=n10 (3)因为y==，所以y=()y==弓 （4)因为y=2o分-1=，所以y=(eos)=-n上 跟踪训练1：【解析】(1)因为y=ln2023是常数， 所以y'=(1n2023)'=0. (2)因为y=4,所以y'=41n4. (3)因为y==x, 所以y=(x)=分=2 2xJ (4)因为y=cos(牙-x）=simx,所以y=c0sx 例2：【解析】因为点(3,2)不在曲线y=(上， 所以设过(3,2)与曲线y=:相切的直线在曲线的切点为 (x0,%),则0= 因为y=,所以y=()=分1， 2/x 所以根据导数的几何意义， 曲线在点(0%)处的切线斜率k=、1 2 思为晚对点62.所听名左 即2压=，1，整理得()2-4瓜+3=0， 3-x02 解得=1或x=9,所以切点坐标为(1,1)或(9,3). 15 ①当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k=2, 所以切线方程为y-2=之(x-3),即x-2y+1=0, ②当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k=6, 所以切线方程为y-2=石(x-3),即x-6y+9=0, 综上可知：曲线y=√x过点(3,2)的切线方程为x-2y+1=0 或x-6y+9=0. 跟踪训练2：【解析】设切点为(xo,少)： 因为y'=3ln3,所以k=30ln3, 所以切线方程为y=3oh3·x. 又因为切点(，)既在切线上又在曲线y=3”上， 所以3oln3·=3*0, 1 所以=n3lgc,所以k=dn3. 例3：【解析】由题意得p'(t)=1.1n1.1, 所以p'(5)=1.151n1.1=1.611×0.095≈0.15（万元/年）， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万 元/年. 跟踪训练3：【解析】由g=cost得，g'=-sint, 所以g'(5)=-sin5,g'(7)=-sin7, 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是-sin5安，-sin7安. 随堂检测重反馈 18f右f62 1 2168 2.BCy=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1，则P点坐 标为(-1，-1)或(1,1). 3.AC()=3),C(4)=32=3.故选A 2 2 4x+9y-6=0=-子在点M(3,})处的斜率k 号在点(3，号)处的切线方程为y-了=-号(x-3). 即x+9y-6=0. 5.2.2导数的四则运算法则 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.f'(x)±g'(x) 2.f'(x)g(x)+fx)g'(x) 3.f'(x)x)=(g(x)≠0) [g(x)]2 4.cf'(x) 预习自测 1.D 2.sin x+xcos x 3.1f'()=e=e=1=x (e)2 er