5.1.1 变化率问题-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

051 第五章一元函数的导数及其应用 S.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解瞬时速 数学抽象 度引入的必要性， 2.体会割线到切线的演化，理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系， 直观想象、数学抽象 3.初步体会极限思想 数学抽象 教材梳理明要点 ●情境导入 高速公路是我国交通运输的重要组成部分，也是人 们出行的主要选择之一为了保障高速公路的安全 [提示] 8配 区间测速反映的是汽 畅通，交通管理部门会对高速公路上的车辆进行测 车行驶在1个路段的 速监控，查处超速违法行为.目前，高速公路上常见 2个或多个区间截面 的测速方式主要有三种，分别是定点测速、区间测速 之间的平均速度；定 和移动测速.这三种测速方式的测速效果有什么区 @小* @其它车 点测速和移动测速反 别呢？ 所有 映的是测速的那一时 >[提示] 刻汽车行驶的速度， 台新知初探 也就是汽车行驶的瞬 知识点一平均速度与瞬时速度 时速度 1.平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s=s(),则物体在时间段 [1,2]上的平均速度v= =合，其中△，是时间的改变 量，△s是对应时间内位移的改变量： 2.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度 3.瞬时速度与平均速度的关系 物体在6到，+4这段时间内的平均速度为A:=s+△-s)从物 △ 理角度看，当时间间隔|△1无限趋近于0时，平均速度v就无限趋近于t=t。 时的瞬时速度. 052 4.瞬时速度的计算：设物体运动的时间t与位移的函数关系为s=s(t),则物体 [知识点反思1] 在o时刻的瞬时速度为v= [知识点反思1] (1)“△t→0”读作 “△t无限趋近于 知识点二曲线的割线与切线 0”，是指时间间隔 1.割线与切线的关系 要多小就有多小。 △t可正，可负， 如图所示，当曲线y=f(x)上的动点P.(xm,f(xn))沿着曲线无限接近定点 I△川可以小于任何预 P(xo(x))时，割线PP.无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直 先给定的正数，但 线PT称为曲线在点P处的切线。 △t始终不能为零： (2)当△t→0，比值 y s(to+△t)-s(o) y=f(x)l y=f(x) y=f(x) y=f(x) 趋 △t P P 近于一个确定的常数 P 1时，在数学中称此 T 常数为“当△t无限 趋近于0时， (1 (2) (3) (4) s(to+△t)-s(to) 的 △ 2.割线斜率与切线斜率的关系 极限·，记作职 割线PP,的斜率是k.=x,）-）,当点P沿着曲线无限接近点P时， s(to+△t)-s(to) xm一x0 △t =l. k。无限趋近于切线PT的斜率，即k=im f(xn)-f(xo） xm一x0 [知识点反思2] fx+△x)-f八o）(△x=x,-). 曲线在某点处的切线 lim D[知识点反思2] △x 的理解 (1)切线随切点的变 自预习自测 化而不同； 1.若一质点的运动方程为s=2+2,则在时间段[1,2]中的平均速度是 (2)曲线在其上某点 处可能不存在切线； (3)曲线的切线与曲线 2.抛物线y=2x2在点(1,2)处的切线的斜率是 可能有不止一个交点 题型探究提技能 题型一 物体运动的平均速度 [方法总结1] 求物体运动的平均速 例1一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间1（单位：）之间的函数 度的步骤 (1)先计算位移的改 关系为s(t)=5t+t,求这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度. 变量s(2)-s(); (2)再计算时间的改 P[方法总结1] 变量2-61： (3)得平均速度)= s(t2)-s(61) t2-t1 053 〉跟踪训练1 一质点按运动方程5()=上做直线运动，则其从，=1到5=2的平均速度 为 A.-1 C.-2 D.2 题型二物体运动的瞬时速度 [方法总结2] 例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间1（单位：）的关系可用函数 求物体运动的瞬时速 度的步骤 s(t)=t2-t+1表示. (1)求位移改变量△s (1)求此物体在t=1s时的瞬时速度； =s(+△t)-s(to); (2)求此物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s. P[方法总结2] (2)求平均速度 =48 4t: (3)求瞬时速度，当 △（无限趋近于0 时，合无限趋近于的 常数v即为眸时速 度，即=limAs △1s0△t [方法总结3] )》跟踪训练2 求曲线在点P。(x0, 一质点M按运动方程s(t)=a2+1做直线运动（位移单位：m,时间单位： ∫(xo))处的切线方程 s),若质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s,则常数a= 的步张骤 题型三求抛物线上某点处切线的斜率（方程） 求斜率 例3求抛物线八x)=-x在点(2,2)处的切线方程 利用公式 P[方法总结3] k=lim fot△df Ax-0△x 写方程 利用点斜式 y-f (xo)=k (x-xo) 求方程 变形式 将点斜式方程化为一 般式方程 054 》跟踪训练3 求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1,2)处的切线方程. 随堂检测重反馈 1.设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s=}-4+16(单位：米)，则 列车运行10秒的平均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 C.4米/秒 D.0米/秒 2.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)=-2+21,则它在t=0时的速度为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 3丽数y-号在=2处的切线斜率为 4.抛物线y=x2+4在点(1,5)处的切线方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 5.1.2导数的概念及其几何意义 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 数学抽象 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 数学抽象、直观想象 3.会求简单函数的导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切 数学运算、直观想象 线方程 教材梳理明要点 ●情境导入 变速直线运动的瞬时速度问题，抛物线的切线的斜率问 题，都是研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程 度.物体的运动方程s(t)=512+1,抛物线的方程y=2x2 其实质都是函数.今天我们从函数的角度来认识“平均 变化率”到“瞬时变化率”的极限思想问题又因为{an}的“生成子列”的通项公式bn=4,所以数列{an} 中a1=4, 所以符合条件的{an}有： {4,1,2,3},{4,1,3,2},4,2,1,3},4,2,3,1},4,3,2,1} 4,3,1,2 6种可能 第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.)-s6) t2-t1 2.某一时刻 4四6+》- 预习自测 1.3=22+2）-12+2)=3. 2-1 24k=im21+△)2-2×1 △x -=lim(2Ax+4)=4. 题型探究提技能 例1：【解析】由已知，得 m=(3）-2)-5x×32+3(5×2+2=26. 3-2 3-2 跟踪训练1：8-220=方-1=分 2-1 欲：（解桥】（1）因为兰-1+山 △t =(1+△t)2-(1+△)+1-(12-1+1)】 △t =1+△t, 所以受会-妈（1+)=1 即物体在t=1s时的瞬时速度为1m/s. (2)设物体在t。时刻的瞬时速度为9m/s. 又A-+△）-s6）-24-1+4 △t △t 8=期(24-1+)=26-1 于是2t。-1=9,所以=5. 则物体在t=5s时的瞬时速度为9m/s. 跟踪训练2：2=s2+△-s(2）-a(2+)°-40=4a+ △t △t △t a△t,质点M在t=2s时的瞬时速度为质点M在t=2附近平 均速度的极限值，即片=4a=8a=2 15 例3：【解析】2+4)-f22 △x =(2+A)'-(2+A)-2=3+Ax △x 所以切线的斜率k=im2+△x)-f(2) 4r0 △x =im(3+Ax)=3. 所以切线方程为y-2=3(x-2), 即3x-y-4=0. 跟踪训练3：【解析】由1+△)-) △x =1+A)2-21+△x）+3-2=Ax, △x 可得切线的斜率为k=lim△x=0. 所以切线的方程为y-2=0×(x-1),即y=2. 随堂检测重反馈 1.A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10) -s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度为 s(10)-s(0)=10(米/秒). 10-0 2D因为0=四-++2》=-+2型- △t im(-2+2-△)=-2+2，所以当t=0时，其速度为2. 4 4 3.-1因为△y=2+4-2=(2+4x 。-1= 含学所以是=务所以=四兰 △x+4 △x 42-1 4.2x-y+3=0切线斜率k=四+△4-5=(4x+ △x 2)=2.所以切线的方程为y-5=2(x-1),即2x-y+3=0. 5.1.2 导数的概念及其几何意义 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 f(x+△x)-fxo) △x 知识点二 极限可导f'(xo)或y1=o 知识点四 导函数y'lim fx+△x)-fx) △x 预习自测 1.A8g00-8=21 △x-1.1-1 2.2f'(1)=limL+4=f0=m21+A)+11-(2x1+ △x △x =2 6