第4章 拓展提升课1 构造法求数列的通项公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

(2)当a-2时，由a:=(兮）广<0解得≥4 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 跟踪训练3：2048依题意，这10个正方形的边长构成以2为 首项，√2为公比的等比数列{an},所以a.=2×(2)“-1,所以 第10个正方形的面积S=a0=[2×(2)’]2=4×2°=2048. 随堂检测重反馈 1C因为aa,=d=aa,所以a,4=受 2.C取等比数列an=(-1)“,则a1=-1,所以A、B不是等比 数列，又an+an+1=0,所以{an+a1}不是等比数列，故选C. 3.A由8a2-a5=0,可知g=g2=8,解得g=2.又41>0，所以 数列{a,}为递增数列. 4设衰分比例为9(0<g<1),则甲、乙、丙各分得28,28。 28g石28+28+28q=989=2或7又0<9<1,9 1 22 拓展提升课一构造法求数列的通项公式 例1.【解析】(1)因为a.+1=3a.+2, 设a+1+m=3(am+m), 则a+1=3a。+2m,对比原式知m=1, 所以am+1+1=3(am+1),又a1+1=2≠0， 所以数列{a+1}是首项为2，公比g=3的等比数列， 所以an+1=2·3"-1, 所以an=2×3-1-1. (2)设a+1+A(n+1)+B=3(an+An+B), 则a4+1=3an+2An+2B-A. 与原式比软系数得21=2，解得4=， 2B-A=1, B=1, a.+1+(n+1)+1=3(a.+n+1). 令bn=an+n+1,则b.+1=3bn且b1=a1+1+1=3≠0， .{b}是以3为首项，3为公比的等比数列， .b=3·3"-1=3”,.an=3“-n-1. 跟踪训练1：B由Sn+1-2S。=n得S1+n+2=2(S.+n+1), 因为a1=2,所以S1+1+1=4.所以Sn+n+1≠0.所以{Sm+ n+1}是首项为4，公比为2的等比数列.所以Sn+n+1=4× 2-1.所以S。=2+1-n-1.所以a1o=S10-S,=1023.故选B. 例2.【解析】方法一：由题意可设am+1+A·2"+1=3(a,+A· 2"), 即an+1=3an+A·2", 故A=2, 所以a4+1+2"+2=3(an+2"1), 所以{an+21}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2+1=5·3"-1,即an=5·3"-1-2+1 方法=：因为a3a.+2,所以2器=号·会+ 14 脚2+2=（径+2号+2= 所以数列侵+2是以弓为首项，号为公比的等比数列， 所以2+2=号(3）整理得a=53-2 跟踪训练2：【解析】将a+1=2a。+3·2两边同时除以2""， 所以-4。。3 以2-2”=2 故数列{会}是以1为首项号为公差的等差数列， 由等差列的道项公式，号=1+口-1)=。日 所以数列{an}的通项公式为a=(3n-1)·2"-1. 【解析】对递推式61三36+2的两边同时取倒数，得 1_36.+2 =2+3 因+3=2（六+3）+3=2。 故{位+3是以2为首项，2为公比的等北数列， 于是+3=22，可得6,2-3neN 1 an 跟踪训练3：【解析】a11+304=1心a,0, 1=1+3 即1-上=3，又a,=1,则=1， an+1 an a 数列日}是以1为首项，3为公差的等差数列 .1=1+(m-1)×3=3n-2, d.a n(aN). 随堂检测重反馈 1.C由am+1=an-2,可得anl-an=-2,则数列{an}为等差 数列，公差为-2，则a1o=2-2×9=-16. 2.D由a+1=2an+1得a+1+1=2(an+1),而a1+1=2,故 {an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2”,即 an=2-1.故选D. an+1 an 是公差为2的等差数列.又4，=1，L=1+2(n-1）=2n-1, a 即am=2n-1 4.496因为a.+1=4a.+2",所以an+1+2"=4(a.+2-1),所以 数列{an+2-1}是等比数列，首项为2，公比为4，则an+2"-1 =2×4"-1=22m-1,可得an=22m-1-2"-1,则a,=22×5-1-25-1 =29-24=496. 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 rna1,9=1 rna1,9=1 a1(1-9") a-anq 1-9 ,9≠1 1-q 9≠1 知识点二 2.na1 预习自测 1.As,=a11-92）-3×(1,2)=93. 1-9。 1-2 1 1 2B易知公比g=分，则S。= 210 1 1-2 =2-29 1 3.1依题意，a1+a2+a3+a4=15,故a1+2a1+4a1+8a1=15, 解得a1=1. 题型探究提技能 1:解析】()因为4=子4=4，可得q=之，所以= 255 1- 256 （2)由a=27,4=2可得243=27·g 1 又由9<0，可得9=-分 所以S=a1-a9=41-a, 27-243 1640 1-9 1-q 1-(-3) 81 跟踪训练1：C当x=1时，Sn=n; 当x≠1且x0时，5，=兰 1-x a1+a92=10, a1=8, 例2：【解析】(1)由题意知 g+ag=手.每野 9=2 从而S=1-9)-3到 1-9 -2 2)由s-9-gn万-2：6 1-9 解得9=-2，又由a.=a19"-1得，162=2(-2)m-1, 解得n=5. (3)设等比数列{a.}的公比为g(g>0), 由a=a9,得分=， 15 解得g=2或9=-（合去），则4=号=2， 9 所以S。-S5 2×[-(分)]2×[1-(3]3 1 1-2 1 256 1-2 跟踪训练2：【解析】设等比数列{a}的公比为g 由已知条件知S6≠2S,则q≠1. 由=子 63 a(1-93)7 1-9 =2 ① 得 a1(1-9)_63 1-9 -2 ① ②÷①，得1+g3=9,∴.q=2. 将q=2代入①，解得a=2 因此an=ag-1=2-2. 例3：【解析】方法-：当n≥2时，a.=Sn-S.-1=(4“-3)- (4"-1-3)=3×4"-1 当n=1时，a1=S=4-3=1,不适合上式. f1,n=1, ∴am= 3×4"-1,n≥2. 由于a1=1,a2=12,a3=48, 显然a1,a2,a3不是等比数列， 即{an}不是等比数列. 方法二：由等比数列b,}的公比g≠1时的前n项和Sn=A· g"+B满足的条件为A=-B 对比5n=4“-3,1≠3， 故{an}不是等比数列. 跟踪训练3：- 5 1 3 由Sn=a· 3 +5,可得Sn=3a· (兮）°+5，依题意有3a+5=0,放a=- 5 随堂检测重反馈 1R8-号8”-0. 2.D由等比数列前n项和公式，知2×1,2)=21-2= 1-2 126,n=6,故选D. 33由8=1·3-号=号3”-号，依题意有号+ (）=0,解得=3. 4.2设等比数列为an},其公比为g,前n项和为S 思路1：利用等比数列的前n项和公式.由题意知q≠1，由等比数 列的啦n项和公式得319由题意得-9卫=4，一 1-g r9=-2, a1-g）=68,解得{ r9=2, 1-g 4=手.（含去）或。=4因此g=2 5 a=15' 0030 随堂检测 重反馈 1.在等比数列{an}中，若a2a6+a1=T,则aa= A牙 B牙 c D.4T 3 2.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是 A.Ig a B.{1+an} C.a D.an+an+ 3.在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2-a=0,则数列{an}为 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得 28石，则衰分比例为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 拓展提升课一构造法求数列的通项公式 题型一已知a+1=pm,+f八n)(p≠0)(f(n)为一次多项式)求数列的通项公式a。 例1(（1若a=L,a1=3a+2,求数列a.的通项公式： (2)在数列{an}中，a1=1,a.+1=3an+2n+1,求数列{an}的通项公 [方法总结1] 式 >[方法总结1] 求解递推公式形如 an+1=pan+q(p≠0， q≠0且p≠1)的数列 {an}的通项公式的关 键是利用待定系数法 构造an+l+入=p(an +入)的形式；数列 的递推关系为an+l= Aan+Bn+C型，可转 化为an+I+入1(n+ 1)+λ2=A(an+入n +入2)的形式来求通 项公式 031 〉跟踪训练1 记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1-2Sn=n,则ao=（ A.1024 B.1023 C.513 D.256 [方法总结2] 题型二已知a.+1=pmn+g+1,求数列的通项公式an 形如an+1=p0。+g+ 例2在数列10.中，4=1，a1=30.+2,求数列a,的通项公式 的递推关系求通项公 式，一般可转化为 ●[方法总结2] an+1+入g+1=p(an+ 入g)的形式，构造出 一个新的等比数列 an+入g},然后再 求an 也可在原递推公式两 边同除以g”+1,引入 辅助数列{bn}其中 g产，得61= Pbn+1,再用待定系 数法构造新数列解 决. 》跟踪训练2 已知数列an}满足a+1=2an+3·2”,a1=2,求数列{a}的通项公式. 032 题型三 已知a1=pa.+9 （p,9,r≠0)，求数列的通项公式a, 列3在数别6中若b一1,6+2neN试求6，的面 式 ●[方法总结3] [方法总结3] 通性通法 》】跟踪训练3 一般地，形如an+l= 若a,=1,1=143a求数列a.的通项公式 0+gp,9,r*0) 结构的递推式往往可 以通过等式两边同时 取倒数变形构造出线 性递推式am+1=Aam+ B(A,B是常数)，进 而求出原数列的通项 公式. 随堂检测重反馈 1.已知数列{an}中，a1=2,an+1=an-2,则a10= A.-12 B.12 C.-16 D.16 2.已知数列{an}满足an+1=2an+1,a1=1,则an= A.2”-1 B.2-1-1 C.2” D.2"-1 3.已知数列{an}中，a1=1,a+1=1+2a。 2一，则a.= 1 1 A.2n-1 B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 4.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2”,则a5= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9]