4.4 数学归纳法-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

043 随堂检测重反馈 1.已知数列{an}中，a1=1,an+an+1=3,Sn为其前n项和，则S22s= A.3034 B.3035 C.3036 D.3037 2.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2”-1,则Sn= A.2"-1 B.2n-1-1 C.2"-n-1 D.2+1-n-2 3.sinm21°+sin220+sin23°+…+sin288°+sin289°=， 4.化简：Sn=x+2x2+3x3+…+x"(x≠0)= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 4.4数学归纳法 新课程标准解读 学科核心素养 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 数学抽象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 多米诺骨牌是一种木制、骨制或塑料制成 [提示] 的长方体骨牌，按一定间距排列成行，轻轻碰倒 需要第一块骨牌倒下 且每一块骨牌都可以 第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依 推倒下一块骨牌 次倒下.多米诺骨牌发生连锁反应的前提条件 是什么呢？ >[提示] [知识点反思] 曰新知初探 (1)初始值no选择不 一定是1，要结合题 知识点数学归纳法 意恰当的选择； (2)数学归纳法的实质 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： 在于递推，所以从 (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立； “k”到“k+1”的过 程中，要正确分析式子 (2)(归纳递推)以“当 (k∈N·,k≥no)时命题成立”为条件，推出项数的变化.关键是弄 “当 时命题也成立” 清等式两边的构成规 律，弄清由n=k到n= 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数nk+1时，等式的两边 会增加多少项，增加怎 都成立，这种证明方法称为数学归纳法 [知识点反思] 样的项 044 目预习自测 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为，n(n-3)条时，第一步应验证n= A.1 B.2 C.3 D.4 2.用数学归纳法证明1+a+d+…+。三=a(a≠1)严.当验证n=1时，上式左端计算所得 1-a 为 题型探究提技能 题型一对数学归纳法的理解 例1.(1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-了+}-+ 1 234+…+ n-1 1 +…+ 1 n 2n 时，若已假设n=k(k≥2，k为偶 数)时命题为真，则还需要再证 ( A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 [方法总结1] C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 数学归纳法的三个关 (2)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2·1·3·…· 键点 (2n-1)”时，由k到k+1时，左边应添加的因式为 (1)验证是基础：找 (3)用数学归纳法证明1+2+22+…+2”-1=2”-1(n∈N*)的过程 准起点，奠基要稳， 有些问题中验证的初 如下： 始值不一定是1； ①当n=1时，左边=1，右边=2-1=1，等式成立 (2)递推是关键：数 ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即1+2+22+…+2-1= 学归纳法的实质在于 2-1,则当n=k+1时，1+2+2+…+21+2=1-2 递推，要正确分析式 1-2 子中项数的变化，弄 2+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈ 清式子两边的构成 N,等式都成立.上述证明，错误是 [方法总结1] 规律； (3)利用假设是核 》跟踪训练1 心：在第二步证明 对于不等式√n2+n<n+1(n∈N),某同学用数学归纳法的证明过程 n=k+1时，一定要 利用归纳假设。 如下： (1)当n=1时，√1+1<1+1，不等式成立 (2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即√k2+k<k+1,则当n =k+1时， √(k+1)2+(k+1)=W√2+3k+2 <√/(k2+3k+2)+k+2 =√(k+2)2=(k+1)+1, ∴.当n=k+1时，不等式成立，则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 .045 题型二用数学归纳法证明等式 例2用数学归的法证明1-}+行++习 111 +2n-1-2n-n+1n+2 [方法总结2] 1 十 2n(neN'). P[方法总结2] 用数学归纳法证明等 式的策略 应用数学归纳法证明 等式时需要确定两个 式子的结构，即： (I)n=n时，等式的 结构； (2)n=k到n=k+1 时，两个式子的结 构：n=k+1时的代 数式比n=k时的代数 式增加（或减少） 的项. 这时一定要弄清 三点： ①代数式从哪一项 (哪一个数)开始，即 )跟踪训练2 第一项； 用数学归纳法证明：(+1)+(2+2)+…+(2+m)=子n(n+1)(n+ ②代数式相邻两项之 间的变化规律， 2)(n∈N*). ③代数式中最后一项 (最后一个数)与n的 关系 046 题型三用数学归纳法证明不等式 例3用数学归纳法证明+宁+字+…+片<1-n2,neN） 111 [方法总结3] 数学归纳法证明不等 [方法总结3] 式的技巧 (1)证明不等式时，由 n=k到n=k+1时的 推证过程与证明等式 有所不同，由于不等 式中的不等关系，需 要我们在证明时，对 原式进行“放大”或 者“缩小”才能使用 到n=k时的假设，所 以需要认真分析，适 当放缩，才能使问题 简单化，这是利用数 学归纳法证明不等式 时常用的方法之一； 》跟踪训练3 (2)数学归纳法的应 用通常需要与数学的 求证+2+…+动>8a≥2.eN 1 其他方法联系在一 起，如比较法、放缩 法、配凑法、分析法 和琮合法等. ●047 题型四数学归纳法在数列中的应用 例4已知数列a,是正数组成的数列，其前n项和为S,对于一切n∈N 均有a。与2的等差中项等于Sn与2的等比中项 (1)计算a1,a2,a,并由此猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想， P[方法总结4] [方法总结4] 数学归纳法在数列中 的应用 (1)由已知条件归 纳、推理、猜想出数 列的通项公式或前n 项和公式； (2)利用数学归纳法 证明猜想推理正确 ）】跟踪训练4 已知数列{an}满足a1=1,an+1+ana.+1-an=0(n∈N). (1)求a2,a3,a4; (2)试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 048 随堂检测重反馈 1.(2025·丽水月考)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3》=n+3)m+4)(nN),验 2 证n=1时，左边应取的项是 () A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.用数学归纳法证明“2”>n2+1对于n≥mo的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值no应取 A.2 B.3 C.5 D.6 B用数学归纳法证明：+2+3+…+元心=”则当n=k+1时，左端在n=片时的左端加 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 章末复习与总结 知识体系构建 递增数列一 递减数列 定义 以前后两项的大 性质 小关系为分类标准 摆动数列 通项公式 等差数列 应用 常数列 等差中项 分类 性质 等差数列的前n项和 有穷数列 应用 以项数为分类标准 数 无穷数列 列 通项公式 列表法 定义 解析法 表示方法 一性质 递推公式 通项公式 图象法 等比数列 应用 等比中项 性质 数宇归纳法 等比数列的前项和 应用=1+号-1-n+1=3-n+3 2-2-2+1=2-2+1 所以数列6，}的前n项和T=3-n+3 2 跟踪训练3：DS。=n+(n-1)×2+（n-2)×22+…+2× 2-2+2-1, ① 2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2m-1+2",② ②-①得，S,=-n+2+2+…+2-1+2°=-n+21-?2 1-2 =-n+21-2=2"+1-n-2. 例4：【解析】步骤一：求数列{an}的通项公式 已为公我们利用聚爽法来求数列的道项公式 an-1 an-2 a 片…子日1 n+l n n-1 2 =n(n+1) 2 当n=1时，4=×着+=1，满足通项公式， 2 所以am=n(n+1) 步骤二：求数列{an}的前6项和 对a72行裂项，可释a.=2(片中)} 设数列{an}的前n项和为S.,则： s。=2[(1-)+(3)+(号4)+(4)+ (56)+(名)川 =21-7） 号 跟踪训练4：n+3-5a,=n+2+n+3 n+3-n+2 (n+2+n+3)(n+3-n+2) =n+3-n+2, ∴.Sn=a1+a2+a3+…+am-1+am =(4-5)+(5-4)+(6-5)+…+(n+2- √n+I)+(n+3-n+2) =√n+3-5. 随堂检测重反馈 1.D由题意a2=2,a=1,a4=2,…,故奇数项为1，偶数项为 2,则S2s=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(am4+a2ms）= 1+3×1012=3037. 2Da.=1+2+22+…+2=1x1,22=2”-1S.= 1-2 (2-1）+(2-1）+…+(2-1）=2x1,22-n=21 1-2 n-2. 15 3.44.5设S=sin1o+sin2°+sin3°+…+sin88°+ sim289°，①.将①式右边反序得，S=sin289°+sin288°+…+ sim23°+sin22°+sim21°，②.①+②得，2S=(sin21°+ sim289°）+(sinm22°+sin288）+…+(sim289°+sin21o）= (sin21°+cos21°）+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+ cos289°)=89，.S=44.5. ,n(n+1) ,x=1, 2 当x=1时，Sn=1+2+3 x(1-x)nx"+I 【(1-)2-1-元x≠1且x0 ++n=;当≠1时.S=42+3++, x5n=x2+2x3+3x4+…+(n-1)x"+nx+1,.(1-x)Sn=x+ +++g-nx1=--x,S.=0=2 1-x (1-x)2 n(n+1) 2 ,x=1, na"+ 1-综上，可得S= 是-2*1且0 4.4*数学归纳法 教材梳理明要点 新知初探 知识点 (1)n=no(noEN")(2)n=k n=k+1 no 预习自测 1.C边数最少的凸n边形是三角形，故选C. 2.1+a+a2当n=1时，左侧第一个数是1，最后一个数是a2, 故左边式子应为1+a+a2. 题型探究提技能 例1：(1)B(2)2(2k+1)(3)未用归纳假设 【解析】(1)由数学归纳法的证明步骤可知，假设n=k(k≥ 2,k为偶数)时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即n= k+2时等式成立 (2)当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1 时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(2k+1)(2k+2),所以左边应添加的因式 为2k+)(2k+22=2(2k+1). k+1 (3)本题在由n=k成立证明n=k+1成立时，应用了等比数 列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求 不符. 跟踪训练1：D在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不 是数学归纳法 隙：l证明】（①当n1时，左道=1宁=分右道=分命 题成立 (2)假设当n=k(keN*)时，命题成立，即 1-分+号4+…+2=中*中2++2 111 那么当n=k+1时， 1-宁+5+…++ 11.11 1 1 1 1 1 =k+1+k+2+…+2+2k+12(k+1） 1 1 1 =(k+i)+1+(k+1）+2+…+(k+i)+k+2(k+1) 上式表明当n=k+1时，命题也成立 由(1)(2)知，命题对任何neN*均成立 跟踪训练2：【证明】(1)当n=1时，左边=2，右边=3×1×2 ×3=2,等式成立. (2)假设当n=k(keN)时，等式成立， 即(1+1)+(2+2)+…+(+)=子(k+1)(h+2),那 么当n=k+1时， (12+1)+(22+2)+…+(k2+k)+[(k+1)2+(k+1)]= 专(&+)+2)+(k+1)+(+0 =号(6+10(6+2)+(6+)1+6+1) =号(k+1)(k+2)k+3) =写k+1)[(k+)+[(k+I)+2], 即当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和(2)可知，等式对任意正整数n都成立. 郎，（证明1(）当m=2时，左边=京=分右边=1-方 子<分不等我成立 (2)假设当n=k(k≥2，keN*)时，不等式成立， 1 则当n=k+1时， 1 1 111 k(k+1)2 k(k+1)2 .当n=k+1时，不等式也成立 根据(1)和(2)知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 跟踪训练3：【证明】(1)当n=2时， 左道=+++石>不等实成立 (2)假设当n=k(k≥2，keN*)时不等式成立， 即中+中2+…+站>8， 1、5 1 则当n=k+1时，(+1)+7+(k+1)）+2+…+3k+3张+打 +3k+2+3(k+1) 15 +2*…+玩+(*+2*3中)> 名+(+2+中)>音+(3× +)=各 所以当n=k+1时不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，neN*均成立. 例：【解标】(0品2。区得5-02 8 由Sn可求得41=2，a=6,a3=10, 由此猜想{an}的通项公式为an=4n-2,neN*. (2)①当n=1时，a1=2,等式成立； ②假设当n=k(keN*)时，等式成立，即ak=4k-2, 所以当n=k+1时，41=S1-S=@+2)_a+22 8 8 所以(ak1+ae)(ak+1-ak-4)=0. 又ak+1+a≠0，所以ak+1-ak-4=0, 所以ak+1=ak+4=4k-2+4=4(k+1)-2, 所以当n=k+1时，等式也成立.由①②可知，an=4n-2对任 何neN*都成立. 跟踪训练4：【解析】(1)由al+a.aa+1-an=0可知a+l d n 二1+a 当n=1时，代入a=1,解得a=分 当n=2时，代入=分，解得4=分： 1 当n=3时，代入a,=号，解得a,=子 (2)猜想数列a}的通项公式为a,=元 1 ①当n=1时，左边=4=1，右边==1，a,=7成立 ②假设当n=(keN)时，a:=名成立 1 则当n=k+1时，有@1+a:1+名 1 )1工1+k,即当n=k+ 1时，a,=1也成立 由①2可知，a.=对任何neN都成立 随堂检测重反馈 1.D当n=1时，左边=1+2+3+4. 2.C当n取1,2,3,4时，2">n2+1都不成立，当n=5时，2= 32>52+1=26,所以第一个能使2">n2+1成立的n值为5. 故起始值n应取5. 3.（k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2n=k时，左端为1+2+3 +…+2,n=k+1时，左端为1+2+3+…+2+(2+1)+ (k2+2)+…+(k+1)2.