课时作业(11)数学归纳法-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时作业（十一） 数学归纳法 答案见Pm 基础训练 A.过程全部正确 一、选择题 B.=1验得不正确 1用数学归纳法证明1十十号十…十2一<n C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k十1的推理不正确 (n∈N”,n>1)时，第一步应验证的不等式为 二、填空题 A1+22 a1+号+32 6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1一2十 C1++号3 1+号+号+3 2.用数学归纳法证明1一号十写十十2与 1 动)时，若已知假设n=k(≥2)为偶数时，命题 成立，则还需要用归纳假设再证 。十十2+叶云则当a=+1时，左 7.设数列{a,}的前n项和为S.,且对任意的正整数 边应在n=k的基础上加上 ( n都有(S.一1)2=anSw,通过计算S1,S2,Sa,猜想 1 1 S= A2k+2 B.一2k+2 观式子：1+安<，1+安+<号1+安十 1 C.2k+12k+2 1 1 D.2k+1+2k+2 十<子…，则可自纳出1十安十+…十 7 3.一个与正整数n有关的命题，当n=2时命题成 立，且由=k时命题成立可以推得n=k十2时 (n+1)2 命题也成立，则 () 三、解答题 A.该命题对于>2的自然数n都成立 9.(1)用数学归纳法证明：1十2十3十4十…十(n十 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C,该命题何时成立与k取值无关 3)=n+3)n+42(m∈N). D.以上答案都不正确 4利用数学归纳法证明1十之十号十}十…十 (2用数学归纳法证明：1十方十店十…+合 2 2wn(n∈N). 2白<n(n≥2，n∈N)的过程中，由n=k变到 1 n=k十1时，左边增加了 A.1项B.k项C.2-1项D.2项 5.对于不等式十n<n十1(n∈N),某同学用数 学归纳法证明的过程如下： (1)当n=1时，+1<1十1，不等式成立： (2)假设当n=k(k∈N)时，不等式√+k< k+1成立，当n=k十1时，1(k十1)产十k十1= √+3k+2<√（收+3k+2)+(k+2)=√/(k+27= (k十1)十1，所以当=k十1时，不等式成立. 上述证法 ·99 10.已知数列{a.中a=1a=平a猜想数列 （2)用数学归纳法证明：当>1时，+女十十 {a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 1 4.十2 ‖拓展探究 15.是否存在实数a,b,c使等式()+（层）+ (停)++（侣）-m咖+对-切nN 都成立？若不存在，说明理由：若存在，用数学 I能力提升Ⅱ 归纳法证明你的结论。 山（选）用数学归纳法证明不等式，十十2 ,十十+>的过程中，下列说法正确 1 的是 A.使不等式成立的第一个自然数。=1 B.使不等式成立的第一个自然数=2 C,由n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加 1 的式子是(2k+1)(2k+2) 16.用数学归纳法证明：n十(n十1)3+(n十2)3能 D.由n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加 被9整除(n∈N. 的式子是(2k+2)(2k+3 12.用数学归纳法证明“3+2十5w+1能被14整除” 的过程中，当n=k十1时，3++2十5+D+1应 变形为 13.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的 内角和f(k+1)=f(k)+ 14.已知数列{an}满足a,=2,a+1=a一a十1 (n∈N). (1)求a2,a,a4,并由此猜想出{aw}的一个通项 公式并用数学归纳法证明： ·100·可得么=2-，所以a,=21-1≥2)，检整a=1满足， 传〉++--)器 所以an=2n一1(n∈N),所以数列{a.}是公差为2的等差 1-号 数列，故A项正确：由等差数列的前n项和公式得S= n1+2=卫=，故S.=r<100解得n<10,故满足 所以≤品又函数x)=(号)广单调适减，且当=2 2 Sn<100的n的最大值是9，故B项正确：当n=2k一1，k∈ 时，号->品当川=3时，=器易故的最小值 N时，S,=n2=4一4k+1,此时S。徐以4的余数只能是 为3.故选C项. 1,当n=2k,k∈N时，S。==4k,此时Sn除以4的余数 16题1因为2之a1aeN,a2年2 1 只能是0，故C项正确：2S,=2n2,an=n(2n-1)=2n2一n 显然2S≠am,故D项错误.故选ABC项， 等式a1一。2年两边取例发可得。山-法2-士+日， 2an an 18服罚由1+号+号十…十2行=2①，可得1+号十 所以一⊥= d+1 du 21 号+十片=21@，两式相减得2=2，所以 因为-1，所以数列侵}是以1为首项，以日为公差的 am=(2n十1)2”l,经检验符合要求.令S。=a1十ag十…十 等差数列 a,则S,=3+5×2+7×22+9×23+…十(2n十1)21③， 所以1”号="空，调a子 2 2 2S.=3×2+5×22+7×23+9×2+…+(2m+1)2"④， ③-④得-5.=3+22+2+2+…+2"-(2n十1)2=3+ (2)由（侵）广<a≤（号）P(n∈N).可得（号）广< 2-2+1 1-2 -(2n十1)2=一1+(1-2n)·2”,所以S。= 品侵）户可得公<岁<2 (21-1)·2+1. 即2≤k+1<2*1,即2-1≤k<2+1-1, 答系(2-1)·2"十1 所以满足不等式2一1≤k<2+1一1(n∈N)的整数k的个 14.解析(1)若选择条件①：由4a1,3a2,2a%成等差数列，得 数为(21-1)-(2-1)=2， 6a2=4a+2aa,即6a1q=4a1+2a:g,又山1=2，所以12g= 故么=2，则会= 2 =2,所以数列{山，}为等比数列，且 8+4(,解得9=2或g=1(舍去)，故4n=2×2-1=2". 首项为2，公比也为2， 若选择条件②：由题意得Sn=21一a,因为a1=S=4 所以S21?)-21-2,由S>985可得21>987. a=2,所以a=2,所以当n≥2时，a=S,-S-1=2+1 1-2 2-(2-2)=2",检验可知，当n=1时，1=2满足上式， 因为2°=512<987<20=1024，所以n十1≥10，解得 所以dn=2". n≥9. 若选择条件③：由S,=14,得a1十a2十a1=14,又a1=2,所 因此满足不等式S>985的最小正整数解为n=9. 以2十2g十2财=14，解得q=2或q=一3（舍去），所以 课时作业（十一） an=2". 1.B解析因为n∈N”,n>1,所以第一步应验证n=2的情 (2)证明：由(1)可知6=2l0ga。-1=2log2-1=2n-1, 则.2w-2+D-号(22)】 况，即1十号十号<2.故选B项。 所以工=(1-号+号-吉+…+点) 2.C服损因为当n=大时，左边=1-号十}-}十…叶 办当n=+1时，左边=1一号十分一-号+叶 2(1-2)小 2k气一2张十2k中一2十2：所以左边应在n=k的基融上 因为neN,所以1一2市<1，故T< 加上2k一2欢十2故选C项. 15,C解析由题意得，S,是边长为了的4个正方形的面积之 3.B解析由n=k时命题成立可以推出n=k十2时命题也成 和，故5=×4=青S是边长为（号）的华个正方形 立，且n=2时命题成立，则对n=4,6,8,…,2m命题也成立， 故该命题对所有的正偶数都成立故选B项. 的面积之和，截S=(分）×样=（告）厂，以此类旅得，4D暖霸用数孕归销法证明不等式1+号+号+是十十 5,=(）广×4=（号）”，从而5+s+…+5=音 2白<n(n≥2，nEN)的过程中，假设n=k时不等式成 ·171 立，左边=1十十号十…十2马则当=十1时，左 10团由a=l,a1=。得a:= 所以由n=长递推到m=6十1时不等式左边增加了十 3 },精想a,=,运明知下：①当1=1时， 2中十…十2共(21-1)-2+1=2（项.故选 a==1,等式成立.②假设当n=k时等式成立，即a4= D项. 5.D解扬在n=k十1时，没有应用n=k时的假设，即从n=k 到n=k十1的推理不正确.故选D项， ,则当n=k+1时，a+1=1十a1十 1 k+7,所以当 6.解析由于n为正偶数，已知假设n=(k≥2)为偶数，则下一 个偶数为n=k十2.故还要再证n=k十2时等式成立。 =k十1时，等式也成立，蟒上可得a,=成主 答率n=k十2时等式成立 7.照霸由(S-1)=分得5=号：南(S-102=(S-S)S 山0服霸当=1时，中>号不成立，当=2时动士 中2骨成立：故A项错误，B项正确：当用=大时，左边的 得S=号：由(S-1)=(S-S)S得8=呈.猜想 代裁式为十中2十十，当=k十1时，左边的代 s. 数式为中2十中3十十2十2故用n=十1时左边的代 图十 8.解扬由已知式子可知，所精测分式的分母为n十1，分子为3， 数式减去”=k时左边的代数式的结果，即2十十2k干2 十(2k+1)(2k+2)为不等式的左边增加的项，故C项 1 1 5,7,拾好是第n十1个正奇数，即2加十1，所以可得1十安+ 正确，D项错误.故选BC项。 2n十1 12.解析假设当n=k时，3+2十5+1能被14整除，则当n 俗率和+1 k+1时，34+D++52++1=81×3+2+25×524+1=25× +1 (34+2+5+1)十56×34+2。 9.证朋(1)①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边= 答案25×(3++5+1)十56×3+9 1+3)X(+=10,等式成立.②假设n=k(k∈N)时等 13.解析由凸k边形雯为凸k十1边形时，增加了一个三角形图 2 形，故f(k十1)=f(k)十π 式成立，即1+2+3+…+(k+3)=k+3),+4型，那么当 2 答系元 n=k+1时，1+2+3+4+…+(k+3)+(k+4)= 14.解析(1)由a1=2,得ag=a-a1十1=3：由=3，得a= 士3++(+4)=士4+》，即当M=k+1时， ai-2a2十1=4：由au=4,得a=ai-3as十1=5：由此猜想 2 2 aw的一个通项公式为a。=十1.下面证明a。=n十1.当n= 等式也成立，综上.1+2+3+…+(m+3)=0n+3m十4) 1时，a1=2=1十1，成主.假设当n=(k∈N)时成立，即 2 a=k+1,那么当n=k+1时，a+1=ad-ba4十1=(k十1) (n∈N"). k(k十1)十1=k+2=(k十1)十1，即当n=表十1时也成立. (2)①当n=1时，左边=1，右边=2，左边<右边，故当n=1 所以am=1十1. 时不等式成立.②假设当n=k(k∈N)时不等式成立，即1十 吉后…十症<2瓜，郑么当n=+1时，左边=引十 (②明：0当=2时十十日-音<2=1 不等式成立：②假设当n=k(k∈N”,k>≥2)时结论成立，即 方2+为+ +山叶年2当=+1时+十叶 a az a a2 +4k+1,所以2R+k<2k+1,所以2派+1 √+I 2、牛派+1=2F+及+1<2k+2=2、+.所以当 (k+1)2-(k+2)2+5 、十了 十I 十I k+3一2+<0，所以+1+…+1+ 1(k+1)2(k+1)2 十1时，不学式也成立培上1+号十疗+清 at+1 k+3一十1十2即n=+1时，结论也成立，由 2m(n∈N). ①和②可知，当>1时，上+上十…+1<广 a ag an十2 ·172. a+b+c=1, 解得a= 7.解桥4y=+Ax-1,Ay=1中△x-1 15.解折取1=1,2.3可得8a十4b+十2=5， △x △ √1+△z+1 27a+9b+3c=14, 四1+A+12,所以y1=2 1 是=合下面用数学归销法证明（分）广+（号）十 (是)广++(）'-2m中_+2+D,即证 图 6n 6n 8.解析因为s(t)=32,t6=3,所以△x=x(t%+△)一s(to)= 1P+罗+十i=名+1D(2+1.①当n=1时，左边 3(3+△)-3X3=18+3(,所以会-18+3，所以 1,右边=1，所以等式成立；②假设n=k时等式成立，即1十 2-m48+3w)=18 公十…十=名(+1D(2+1)成立，期当=十1时，等式 答系18 左边=1+2+…++(k+1)2=6k(k+1)(2k+1D+ 9.解析因为Ay=f(x十△x)-f(.x)=(x+△r-1)2-(x-1)2= +12=若(+1D(2+D+6(+1)门=言+D· △2x+ar-2,所以=2x+△x-2,别了(x)= (2+7k+6)=吉k+1+2)(2k+3),所以当n=k十1 lim Ay-lim(2x+△x-2)=2x-2,所以f(0)=2x0-2= -2,f(2)=2×2-2=2. 时等式成立，综合①②知当n∈N”时等式成立，故存在a 10.解析根据已知条件可得s(1十△1)一s(1)= -1 吉6合=吉使巴知等式成立 √1+N 1-+△ 1中a++t0+》 -△1 16.证朋①当1=1时，13十2+3=36能被9整除，所以结论 /+ △ 成立。 -1 ②假设当n=k(k∈N)时结论成立，即k+(k十1)3十(k十 ,片x1+什所以四+x1十，+西 2)3能被9签徐，则当n=k十1时，(k十1)3+(k十2)3+ 2,即物体在6=1时的眸时速度为一， (k+3)2=[k+(k+1)+(k+2)门+[(k+3)2一]= [k3+(k十1)3+(k+2)3]+9k+27k+27=[k3+(k+ 11.BC 霸在0到。范国内，甲，乙的平均连度都为一名， 1)3+(k+2)]十9(k2+3队+3).因为k3+(k+1)3+(k+ 故A项错误，B项正确：在到范国内，甲的平均逸度为 2)能被9整除，9(k十3k十3)也能被9整除，所以(k十 二，乙的平均速度为二.因为一0>一的，山 1)+(k+2)2十(k十3)也能被9整除，即n=k十1时结论 t-to 也成立.由①和②可知，命题对一切nEN”成立. >0,所以二>二，故C项正确，D项错误.故选C项。 t1一loth一la 课时作业（十二） 12.C{ 霸-1±8①-1+@- 3△x △ 1.B服面由题意可得4y=(2+号)一(2+1D=一，故选 ∫.故选C项 B项. 13.解析由题意得，函数f(x)在[一3，一1]上的平均变化率为 2.C解析△x表示自变量的增量，不能为零：△y可以为零.故 -1)-f-3)=[2×(-D+11=[2×(-3)+=2, 选C项. 一1-(-3) 3.C解插平均变化率为二@-5Ch@)=5.故选C项. 函数f)在r=5时的醉时变化率为m5+△二⑤)=2 △x b-a 4.B解标△y=f1+△x)-f1)=2(1+△x)-1-(2×1 答案22 14.解析因为△y-f(x+△x)-f(x)=a(x十△r)3+3(x+ 1)=4△r十2（△x),所以Ay=4十2△x.故选B项。 △x)2+2-(a.x2+3.x+2)=3a.x2·△x+3a.x(△r)2+ 反AD服霸因为了D=四±士=f=4,所以1 a(an+6r·dr+3(ar,所以8=3ar+3ar…ar+ 士2.故选AD项. aanr+6x+3a,所以m=3ar+6,即了() 6解析Ay 2[(+△x+1门-号(+1 =十号A 3a2+6x,所以f(-1)=3a-6=4,解得a=9 图号 ·173: