4.3.2 第2课时 等比数列前 n 项和的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

思路2：利用等比数列的性质， 数列{an}的通项公式为an=a1g"-1,由此可得S4=a1+a2+a +a4=a1(1+g+g2+g3),Sg-S4=a5+a6+a,+ag=a5(1+g +g+9),即33=9=g.由题意得g=16,解得q=-2, Sa a 或q=2.由数列{an}的各项均为正数知q=-2不符合题意， 因此g=2. 第2课时等比数列前项和的性质及应用 教材梳理明要点 预习自测 1.28易知Sm=4,S2m-Sm=8,.S3m-S2m=16,∴.Sm=12+16 =28. 2.2由题意，得 S奇+S偶=-240， 解得 「S奇=-80， .公比 S奇-S偶=80， S偶=-160. 9=8=-160-2 S奇-80 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由an1=2a.得g=2, S3_1-9_1-2531 S1-g1-2=7 (2)方法-：S2≠2Sm,.9≠1， ,a(1-g") ① 1-g =48, 由已知得 a1(1-g2"） 1-9 =60, ② ②÷①得1+g=年， 即g=4 ③ ③代入①得2g=64 :s4g2-611-）=68 1-g 方法二：{an}为等比数列，显然公比q≠-1， .Sn,S2n-Sn,Sn-S2n也成等比数列， ..(S2-S,)2=8,(Sa-S2), 即(60-48)2=48(S3m-60), .Sn=63. 方法三：由性质Sm+a=Sm+qS.可知Sn=Sn+q“Sa, 1 即60=48+48g,得9=4， .Sn=S2n+q2Sm=60+48× ()=63 (3)方法一：设原等比数列的公比为q,项数为2n(neN). -=85 ① 1-g 由已知a1=1,9≠1，有 q(1-9"）=170.② ,1-g 由②÷①，得g=21-4 .1-4" =85,4"=256,∴.n=4. 故公比为2，项数为8. 15 方法二：S=a2+a4+…+an=a19+a39+…+am-19=（a1 +a3+…+am-1)9=S特·9， -Ss=170=2 .q=S4285 又8=85+170=25，由3=011=92），得-2 1-9,得1-2 =255, 2"=256,.n=8.公比q=2,项数n=8 跟踪训练1：B设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为 5,所有偶数项之和为5，则g-2又它的首项为1，所 以通项为a.=2"-1,中间两项的和为an+a+1=2"-1+2”= 24,解得n=4,所以项数为8. 例2：【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20, 解得a1=1,d=3, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. (2)设等比数列{b,}的公比为g. 由(1)知b1=a1=1,b号=a6=3×6-2=16. 因为=(b192)2,所以q=2或9=-2， 又61>6，所以g=2,所以5=1x122=2°-1 1-2 令2"-1≤2025，得2"≤2026，又2°<2026<2"， 所以满足题意的正整数n的最大值为10. 跟踪训练2：【解析】(1)由题意知S6≠2S,9≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， g-$6-5-53-7 7=8,故q=2, 3=1-g）=7. 1-9 代入9可得a1=1,an=2m-1 (2)由(1)知bn=2"-1+n-1, .T.=(1+2+…+2"-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2"+ n2-n-1. 2 例3：【解析】(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数 列a,},其中a=128,9=立 3 所以2029年应投入的数量为 =ag=8×(侵）广-1458有 故该市在2029年应该投入1458辆电力型公交车. (2)设{an}的前n项和为Sn, 则Sn= 3 1-2 由S.>(10000+)×3,即S,>5000,解得n≥8 所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公 交车总量的了 跟踪训练3：【解析】(1)由题意得，小李在乙公司工作第n年 的年薪为bn=4.8·(1+8%)"-1. 令n=5,得bs=4.8·(1+8%)4≈6.72（万元） (2)由题意，小李在甲公司连续工作年的工资总收入为 4.2n+nn-x0.6, 2 小李在乙公司工作10年的总收入为 48x1=(1+8%)☐+0.72×10， 1-(1+8%) 则4.2n+n(n,-×0.6≥4.8×[1-1+86)1+7.2， 2 1-(1+8%) 整理得(n+24)(n-11)≥0，解得n≥11， 所以小李在甲公司至少要连续工作11年，工资总收入才不低 于在乙公司工作10年的总收入. 随堂检测重反馈 1.D由=9，可知g=2. S奇 2.B由a1a2a3=1得a2=1,又a4=4,故g2=4,a2+a4+a6+ 1-4m4“-1 +a=1-4=3 32设数列a,的公比为9，若g=1,则受=2，与题中条件才 a1(1-92m) 盾，故9≠1. =9=g+1=9…g=8 Sm a(1-q") 1-g 8192-1 419-=q”=8=5m+1 7m-1心m=3,92=8,q=2. 4.3设顶层的灯数是a1,则每一层灯数形成以a1为首项，以2 为公比的等比数列，设为a,,由题可得S,=1-2) 1-2 381,解得a1=3,故塔的顶层的灯数是3. 拓展提升课二数列求和的方法 例1：【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则d=50=2. 2 由a1+a2=10,得a1+a1+2=10,解得a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2. (2)设等比数列{b.}的公比为q, 则b2=a3=8,b3=a,=16, b3216=2, 所以q=b2=8 所以名号=4， 所以bn=4×2-1=2"+1 则cn=an+bn=2n+2+2+l, 则S.=[4+6+…+(2n+2)]+41-22 1-2 =n(4+2n+22+4(2”-1) 2 =2+2+n2+3n-4. 15 跟踪训练1：【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d,正项等 比数列{b}的公比为q(g>0), 2+2d=2+2g, 依题意得 3×2+3d=2g2+4, 解得d=9=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n,数列{bn}的通项公式为 bn=2". (2)由(1)知，a-1=4k-2,数列{aw-1}是等差数列，首项为 2,公差为4，b24=22=4,数列{b24}是等比数列，首项为4，公 比为4， 而c,=n=2k-1, (keN*), (bn=2k 则数列{cn}的前21项的和T21=(a1+a3+…+a2)+(b2+ 6+…+b）=11×2+Ⅱ10×4+4×(1-49_4"+722 2 1-4 3 所以数列{c,}的前21项的和为4"+722 3 例2：【解析】当n为奇数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9 +11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+（-2n+1)=2· "号2+(-2n+1)=-n 当n为偶数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3) +(2m-1]=2之=n 所以Sm=(-1)"·n(neN*). 跟踪训练2：-505012-22+32-42+…+992-1002 =(12-22)+(32-42)+…+(992-1002) =(1-2)×(1+2)+(3-4)×(3+4)+…+(99-100)× (99+100) =-(1+2+3+4+·+99+100) =-5050. 例3：【解析】(1)因为S。=2an-2, 当n=1时，S1=2a1-2,解得a1=2, 当n≥2时，S.-1=2a-1-2, 所以an=S。-Sm-1=(2an-2)-(2am-1-2)=2am-2an-1, 即an=2a4-1(n≥2). 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an=2×2"-1=2” (2)由(1)知an=2", 则6.=1+lga_1+lg,2-n+1 2" 2 所以=号+++…+ 。2,34 ① 21 23 ② =1+ n+1 1 1-2 2*037 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.掌握等比数列的前n项和性质并能正确应用. 数学运算 2.利用等比数列的前n项和公式解决常见数列求和问题 逻辑推理 3.能结合等比数列的通项公式，前项和公式解决实际问题 数学建模 教材梳理 明要点 e情境导入 在等差数列{an}中，S.,S2n-Sn,Sn-S2m,…构成等差数列，那么在等比数 列{an}中，Sn,S2m-Sn,Sm-S2m,…是否构成等比数列呢？ ●[提示] [提示] 在特定条件下构成等 曰新知初探 比数列. 知识点等比数列前n项和的性质 设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为g,则： [知识点反思] 1.当Sm≠0时，Sm,S2-Sn,Sm-S2m,…仍组成等比数列（公比为g,m≥2）； 当9=-1且n为偶数 2.S侧，S奇分别表示等比数列{a.}的奇数项和与偶数项和，当n是偶数时， 时，Sn,S2n-Sn,S3n -S2m,…不是等比数 =q;当n是奇数时，S海=a+g5侧 S奇 列，因为此时Sn= 3.S+m=S+q"s,=S+q"s. 0；当g=-1且n为 奇数时，Sn,S2m- 4.若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Ag”-A(A≠0，g≠0)，则{an}为等比 Sn,Sn-S2n,…是等 数列， P[知识点反思] 比数列， ⑨预习自测 简单地说就是：在S。 ≠0时，Sn,S2n-Sn, 1.等比数列{a,}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是 S3n-S2n,…是等比数 列. 2.等比数列{a,}共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80， 则公比g= 题型探究提技能 题型一等比数列前n项和的性质 例1已知等比数列a,的前n项和为s )若ae2a求字的值： [方法总结1] 观察题设条件，利用 等比数列前n项和的 (2)若Sn=48,S2n=60,求S3n的值； 性质解题，可以简化 (3)若a1=1,项数为偶数，且S奇=85，S偶=170，求公比与项数 计算，达到化繁为 P[方法总结1] 简、化难为易、事半 功倍的效果 038 》跟踪训练1 一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首 项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 () A.6 B.8 C.10 D.12 题型二等比数列前n项和的综合应用 例2已知等差数列a,满足a=7,4+0,=20. [方法总结2] (1)求{a,}的通项公式； 解决等比数列前n项 (2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1,b=a6,bn+1>bn,求 和公式有关问题时应 满足Sn≤2025的正整数n的最大值 ·[方法总结2] 注意 (1)首先将题目问题 转化为等比数列 问题； (2)当题中有多个数 列出现时，既要研究 单一数列项与项之间 的关系，又要关注各 数列之间的相互 联系 〉》跟踪训练2 已知等比数列{a}的前n项和为S.,且满足S,=7,S6=63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=am+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn 039 题型三等比数列前n项和的实际应用 例3.某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2023年投人128辆电力 型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则 [方法总结3] 解答数列应用问题的 (1)该市在2029年应该投入电力型公交车多少辆？ 方法 (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的}？ (1)判断、建立数列 模型：①变化“量” P[方法总结3] 是同一个常数：等差 数列；②变化“奉” 是同一个常数：等比 数列； (2)提取基本量：从 条件中提取相应数列 的基本量a,g(d), n,an,Sn,列出方程 (组)求解. )】跟踪训练3 在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出 的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加 6000元.乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的 年薪比上一年增加8%. (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李加入公司，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增 加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的 工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？（参考数据：1.08 ≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2,1.0811≈2.3) 040 随堂检测重反馈 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公 比为 ( A.8 B.-2 C.4 D.2 2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n= A.2”-1 C.1-(-4) D.1-(-2) 3 3 知S,是等比数列Q,的前n项和，若存在meN,满足2=9，=+则效列a的2 比为 4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八 十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 拓展提升课二 数列求和的方法 题型一分组转化法求和 例1已知等差数列a满足a+a,=10,a-a,=4 (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a,设cn=an+bn,求数列{cn}的 [方法总结1] 可以使用分组转化法 前n项和Sn ●[方法总结1] 的常见数列类型： (1)若an=bn±cn, 且{bn},{cn}分别为 等差数列和等比数 列，则可采用分组转 化法求a。}的前n 项和； (2)通项公式为an= bn,n为奇数， 的数 ca,n为偶数 列，其中数列{bn, {cn}是等比数列或等 差数列，可采用分组 转化法求和.