4.3.2 第1课时 等比数列的前 n 项和公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

4.496因为a.+1=4a.+2",所以an+1+2"=4(a.+2-1),所以 数列{an+2-1}是等比数列，首项为2，公比为4，则an+2"-1 =2×4"-1=22m-1,可得an=22m-1-2"-1,则a,=22×5-1-25-1 =29-24=496. 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 rna1,9=1 rna1,9=1 a1(1-9") a-anq 1-9 ,9≠1 1-q 9≠1 知识点二 2.na1 预习自测 1.As,=a11-92）-3×(1,2)=93. 1-9。 1-2 1 1 2B易知公比g=分，则S。= 210 1 1-2 =2-29 1 3.1依题意，a1+a2+a3+a4=15,故a1+2a1+4a1+8a1=15, 解得a1=1. 题型探究提技能 1:解析】()因为4=子4=4，可得q=之，所以= 255 1- 256 （2)由a=27,4=2可得243=27·g 1 又由9<0，可得9=-分 所以S=a1-a9=41-a, 27-243 1640 1-9 1-q 1-(-3) 81 跟踪训练1：C当x=1时，Sn=n; 当x≠1且x0时，5，=兰 1-x a1+a92=10, a1=8, 例2：【解析】(1)由题意知 g+ag=手.每野 9=2 从而S=1-9)-3到 1-9 -2 2)由s-9-gn万-2：6 1-9 解得9=-2，又由a.=a19"-1得，162=2(-2)m-1, 解得n=5. (3)设等比数列{a.}的公比为g(g>0), 由a=a9,得分=， 15 解得g=2或9=-（合去），则4=号=2， 9 所以S。-S5 2×[-(分)]2×[1-(3]3 1 1-2 1 256 1-2 跟踪训练2：【解析】设等比数列{a}的公比为g 由已知条件知S6≠2S,则q≠1. 由=子 63 a(1-93)7 1-9 =2 ① 得 a1(1-9)_63 1-9 -2 ① ②÷①，得1+g3=9,∴.q=2. 将q=2代入①，解得a=2 因此an=ag-1=2-2. 例3：【解析】方法-：当n≥2时，a.=Sn-S.-1=(4“-3)- (4"-1-3)=3×4"-1 当n=1时，a1=S=4-3=1,不适合上式. f1,n=1, ∴am= 3×4"-1,n≥2. 由于a1=1,a2=12,a3=48, 显然a1,a2,a3不是等比数列， 即{an}不是等比数列. 方法二：由等比数列b,}的公比g≠1时的前n项和Sn=A· g"+B满足的条件为A=-B 对比5n=4“-3,1≠3， 故{an}不是等比数列. 跟踪训练3：- 5 1 3 由Sn=a· 3 +5,可得Sn=3a· (兮）°+5，依题意有3a+5=0,放a=- 5 随堂检测重反馈 1R8-号8”-0. 2.D由等比数列前n项和公式，知2×1,2)=21-2= 1-2 126,n=6,故选D. 33由8=1·3-号=号3”-号，依题意有号+ (）=0,解得=3. 4.2设等比数列为an},其公比为g,前n项和为S 思路1：利用等比数列的前n项和公式.由题意知q≠1，由等比数 列的啦n项和公式得319由题意得-9卫=4，一 1-g r9=-2, a1-g）=68,解得{ r9=2, 1-g 4=手.（含去）或。=4因此g=2 5 a=15' 0 思路2：利用等比数列的性质， 数列{an}的通项公式为an=a1g"-1,由此可得S4=a1+a2+a +a4=a1(1+g+g2+g3),Sg-S4=a5+a6+a,+ag=a5(1+g +g+9),即33=9=g.由题意得g=16,解得q=-2, Sa a 或q=2.由数列{an}的各项均为正数知q=-2不符合题意， 因此g=2. 第2课时等比数列前项和的性质及应用 教材梳理明要点 预习自测 1.28易知Sm=4,S2m-Sm=8,.S3m-S2m=16,∴.Sm=12+16 =28. 2.2由题意，得 S奇+S偶=-240， 解得 「S奇=-80， .公比 S奇-S偶=80， S偶=-160. 9=8=-160-2 S奇-80 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由an1=2a.得g=2, S3_1-9_1-2531 S1-g1-2=7 (2)方法-：S2≠2Sm,.9≠1， ,a(1-g") ① 1-g =48, 由已知得 a1(1-g2"） 1-9 =60, ② ②÷①得1+g=年， 即g=4 ③ ③代入①得2g=64 :s4g2-611-）=68 1-g 方法二：{an}为等比数列，显然公比q≠-1， .Sn,S2n-Sn,Sn-S2n也成等比数列， ..(S2-S,)2=8,(Sa-S2), 即(60-48)2=48(S3m-60), .Sn=63. 方法三：由性质Sm+a=Sm+qS.可知Sn=Sn+q“Sa, 1 即60=48+48g,得9=4， .Sn=S2n+q2Sm=60+48× ()=63 (3)方法一：设原等比数列的公比为q,项数为2n(neN). -=85 ① 1-g 由已知a1=1,9≠1，有 q(1-9"）=170.② ,1-g 由②÷①，得g=21-4 .1-4" =85,4"=256,∴.n=4. 故公比为2，项数为8. 15 方法二：S=a2+a4+…+an=a19+a39+…+am-19=（a1 +a3+…+am-1)9=S特·9， -Ss=170=2 .q=S4285 又8=85+170=25，由3=011=92），得-2 1-9,得1-2 =255, 2"=256,.n=8.公比q=2,项数n=8 跟踪训练1：B设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为 5,所有偶数项之和为5，则g-2又它的首项为1，所 以通项为a.=2"-1,中间两项的和为an+a+1=2"-1+2”= 24,解得n=4,所以项数为8. 例2：【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20, 解得a1=1,d=3, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. (2)设等比数列{b,}的公比为g. 由(1)知b1=a1=1,b号=a6=3×6-2=16. 因为=(b192)2,所以q=2或9=-2， 又61>6，所以g=2,所以5=1x122=2°-1 1-2 令2"-1≤2025，得2"≤2026，又2°<2026<2"， 所以满足题意的正整数n的最大值为10. 跟踪训练2：【解析】(1)由题意知S6≠2S,9≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， g-$6-5-53-7 7=8,故q=2, 3=1-g）=7. 1-9 代入9可得a1=1,an=2m-1 (2)由(1)知bn=2"-1+n-1, .T.=(1+2+…+2"-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2"+ n2-n-1. 2 例3：【解析】(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数 列a,},其中a=128,9=立 3 所以2029年应投入的数量为 =ag=8×(侵）广-1458有 故该市在2029年应该投入1458辆电力型公交车. (2)设{an}的前n项和为Sn, 则Sn= 3 1-2 由S.>(10000+)×3,即S,>5000,解得n≥8 所以该市到2030年底电力型公交车的数量开始超过该市公 交车总量的了033 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与 数学运算、逻辑推理 前n项和公式的关系 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关的基本量计算问题： 数学运算、逻辑推理 教材梳理明要点 9情境导入 在信息狂潮的今天，网络谣言的快速传播已成为社会的一大隐患.如图所示， 如果一个人得到某个虚假信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称 为第1轮传播)，每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第 2轮传播)，…，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则 [提示] 每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1,3,9,27,81，… 利用等比数列的前n 项和公式可快速得出 结果 网络 如果信息按照上述方式共传播了10轮，那么知晓这个信息的有多少人呢？ [提示] 曰新知初探 [知识点反思1] 知识点一 等比数列的前n项和公式 求等比数列的前n项 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 和，需对公比分9=1 与q≠1两种情况进行 讨论，当g=1时，应 公式 S= S,= 利用公式Sn=na1 求和 [知识点反思1] [知识点反思2] 知识点二等比数列前n项和公式的函数特征 (1)Sn=Ag”-A(q≠ 1.当公比91时，设4，”等比数列的演a项和公式是8=A机可-1，即 1)时，an}是首项为 (Ag-A),公比为9 的等比数列； S,是n的指数型函数. (2)等比数列前n项 2.当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sn= ,Sn是n的正比例函数， 和公式的结构特点、， 即g”的系数与常数项 [知识点反思2] 互为相反数. 034 目预习自测 1.已知等比数列{a.}的首项a1=3,公比q=2,则S= A.93 B.-93 C.45 D.-45 2在等比数列a.中，若a,=1,a=g,则该数列的前10项和S。 A2、1 28 R2- C.2、1 0 D.2、1 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为2，且S4=15,则a1= 题型探究提技能 题型一等比数列前n项和公式的直接应用 [方法总结1] 例1.求下列等比数列前8项的和： 求等比数列的前n项 和，要确定首项、公 (1)1,11 1 248,…(2)a,=27,a=2439<0. >[方法总结1] 比或首项、末项、公 比，注意公比q=1是 否成立 】跟踪训练1 等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和Sn等于 A.1-x B.1-x-1 ”1-x 1-x [1-x” 1-xx≠1且x≠0 1-x"-1 1-x ,x≠1且x≠0 C. D. n,x=1 n,x=1 .035 题型二利用等比数列前n项和公式求基本量 例2在等比数列1a.中， 5 (1)若a+a=10,a4+a。=4,求S (2)若a1=2,am=16√2，Sm=11√2，求n和q; (3)若a=1,a=4,且a>0,求w-s P[方法总结2] [方法总结2] 与等比数列前n项和 公式有关的基本量的 求解 在等比数列前n项和 公式中，共可涉及五 个量：a1,an,n, q,Sn,其中首项a 和公比9为基本量， 且“知三求二”，常 常列方程组来解答， )跟踪训练2 在等北数列a中，S=子、- 2,求a 036 题型三等比数列前项和公式结构特点的应用 例3数列a的前n项和S,=4-3,求口，的通项公式，并判断a,是 否是等比数列. [方法总结3] [方法总结3] 利用S.=(1-g) 1-4 =a4·q+1-g =1-g 一结 构特点，9”的系数与 常数项互为相反数来 解题，可起到事半功 倍的作用 》跟踪训练3 数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a· (+5，则实数a= 随堂检测 重反馈 1.数列1,5,52,53,54，…的前10项和为 A写5”-) B4(5-1) c45-1) n5"-1 2.已知等比数列{an}中，a1=2,9=2,前n项和Sn=126,则n= A.9 B.8 C.7 D.6 3已知等比数列a,的前n项和S=1·3”?-行，则实数的值为 4.(2025·全国I卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68， 则这个数列的公比等于 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10]