专题4.5 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题4.5 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 2 【题型3 等比数列前n项和的性质】 3 【题型4 求等比数列的前n项和】 3 【题型5 等比数列前n项和的最值】 4 【题型6 等比数列的简单应用】 5 【题型7 等比数列与不等式综合】 5 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 6 知识点1 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·湖南株洲·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【变式3-1】（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【变式3-2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ） A．8 B． C．4 D．2 【变式3-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【变式4-2】（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式4-3】（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【题型5 等比数列前n项和的最值】 【例5】（24-25高三上·天津·阶段练习）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-1】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-2】（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【变式5-3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式6-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【变式6-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【变式6-3】（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【变式7-1】（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）记是等比数列的前项和, 若，，设数列的前项和为，则满足不等式的正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·江苏·二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式8-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式8-2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【变式8-3】（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 等比数列的前n项和公式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 2 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 3 【题型3 等比数列前n项和的性质】 5 【题型4 求等比数列的前n项和】 7 【题型5 等比数列前n项和的最值】 9 【题型6 等比数列的简单应用】 11 【题型7 等比数列与不等式综合】 13 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 15 知识点1 等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【题型1 等比数列前n项和的基本量计算】 【例1】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【解答过程】由题知，所以. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高三上·湖南株洲·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解题思路】根据等比数列前项和公式的形式，可以得到。从而得到，当时，得. 【解答过程】显然，等比数列前项和公式为， 因为为等比数列的前项和，所以， 所以 所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据题意结合等比数列的求和公式列方程组求解即可. 【解答过程】由题意可知， 因为，， 所以，， 两式相除得，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【解题思路】先判断，再运用等比数列求和公式化简方程，求得，利用等比数列通项公式化简所求式即得. 【解答过程】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 【题型2 由等比数列的前n项和求通项公式】 【例2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可. 【解答过程】因为，所以当时，.两式相减，得，. 因为，且当时，，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由列出等式求得公比，即可求解； （2）由错位相减法即可求解； 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则. 因为，所以，解得. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，，所以， 则. 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以. 【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用即可求数列的通项公式； （2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得数列的前项和. 【解答过程】（1）由题得， ∴当时，，得， 当时，， 两式作差得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）得. ∴ . 【题型3 等比数列前n项和的性质】 【例3】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【解答过程】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【解题思路】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【解答过程】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【解答过程】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 【变式3-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【解答过程】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以 . 故选：B. 【题型4 求等比数列的前n项和】 【例4】（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的通项公式，结合已知条件，可求和的值，再利用等比数列求和公式可得的表达式. 【解答过程】设等比数列的公比为，则由 ，所以， 又 . 所以． 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去），   所以． （2）由于，， 则． 【变式4-3】（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值； （2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式； （3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式. 【解答过程】（1）因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，， 整理得，即， 解得或（舍去）. （2）因为，所以， 故. （3）. 【题型5 等比数列前n项和的最值】 【例5】（24-25高三上·天津·阶段练习）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解题思路】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解. 【解答过程】由，，得，而，则数列是等比数列， 于是，当为奇数时，，， 当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为， 所以的最大值与最小值的差为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【解答过程】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 【变式5-2】（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【解题思路】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【解答过程】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【解题思路】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【解答过程】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 【题型6 等比数列的简单应用】 【例6】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【解题思路】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【解答过程】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【解题思路】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 【变式6-3】（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【解题思路】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【解答过程】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C. 【题型7 等比数列与不等式综合】 【例7】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知等比数列的前项和为，公比，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 【答案】C 【解题思路】首先求出，即可求出通项公式及，依题意可得恒成立，参变分离可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】由，解得， 所以， 故由，可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故，所以实数的最大值为. 故选：C． 【变式7-1】（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的通项公式与求和公式求出，，由题意可得恒成立，运用基本不等式求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，即，解得， 所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故选：. 【变式7-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）记是等比数列的前项和, 若，，设数列的前项和为，则满足不等式的正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根就等比数列的通项公式求得，进而可求得，再利用分组求和可得，结合题意运算求解即可. 【解答过程】设等比数列 的公比为， 因为，所以, 解得， 可得， 所以 ， 故， 可得，即，解得， 故满足不等式的正整数的最小值是9. 故选：C. 【变式7-3】（2025·江苏·二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解题思路】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果. 【解答过程】已知， 当时，，则； 当时，，则； 因为数列是等比数列，所以，即， 整理得，解得，，公比， 所以. 由不等式得 ， 即，整理得，又， 所以，即，. 所以正整数的最大值为11. 故选：C. 【题型8 等差、等比数列的综合应用】 【例8】（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【解答过程】（1）设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. （2）由（1）可知， 则. 【变式8-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列求和公式求出，即可求出，从而求出公差，再由等差数列通项公式计算可得； （2）首先求出、，即可求出通项公式，从而得到，再由分组求和法计算可得. 【解答过程】（1），即， 又，，所以等差数列的公差， 等差数列的首项， . （2）因为是和的等差中项， ，即， 又，，， 所以等比数列的公比， 所以，则， 所以 . 【变式8-2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】（1）设出公比，根据题目条件得到方程组，消元后得到方程，求出，，从而求出通项公式； （2）利用等差和等比数列求和公式进行分组求和 【解答过程】（1）由题意得，又， 设的公比为， 故，相加得，则①， 两式相除得②， 又，所以③， 由①③得④， 由②④得，解得， 解得或0（舍去）， 由得，， 所以，所以， 其中，故， （2）， 其中， ， 故. 【变式8-3】（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答； （2）利用错位相减法求和； （3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. 【解答过程】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $