第5章 拓展提升课4 利用导数研究不等式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

在(m,+∞)上单调递增； 综上，当m≤0时，f'(x)在(0，+∞)上单调递增： 当m>0时，f'(x)在(0，m)上单调递减，在(m,+∞)上单调 递增。 (2)由(1)知nx++1>号+2对Vxe(1,+)恒成立， 即nx+空-号-1>0对Vxe1,+0)恒成立， 令a()=血+g-号-山， 则)士号 x x2 ①当m≤0且m∈Z时，h'(x)>0 ∴.h(x)在(1，+o)上单调递增， A()>h(I)=2-1≥0， 解得m≥子（合）片 ②当0<m≤1且meZ, 即=1时，M@)=右音<0，不合宽花： ③当m>1且meZ时，若x∈(1，m),h'(x)<0: 若xe(m,+∞)，h'(x)>0; h(x)在(1，m)上单调递减， 在(m,+o)上单调递增， .h()=h(m)=In m-0 令F(m)=nm-号， 则F'(m)=L-1=3-m =m3=3m, 当me(1,3)时，F'(m)>0; 当m∈(3，+∞)时，F'(m)<0, .F(m)在(1,3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减 又2)=h2-号>0.f3)=n3-1>0. F4)=n4-手=2h2-号>0， F(5)=h5-号<0， .满足F(m)>0且m>1,meZ的所有整数为2,3,4. 综上，m的所有值为2,3,4. 练案[23] 1.De*≥x+1,当x=0时可取等号，故A、B错误；又e-1≥x, 即e≥ex,当x=1时可取等号，C错误，易知D正确. 2A由h>,可得ax-1+士>0，令f)=n-1+ 士则=宁，当0<<1时)0当 -19 >1时，f(x)>0,所以当x=1时，f(x)取得最小值f1)=0, 所以当x>1时)>0，血x>而当a>时>0 且x≠1，所以“x>1”是“nx>二1”的充分不必要条件 3.Af(x)=(-sinx)·e+cosx·e=(cosx-sinx)·e,当 平<<受时，m-smx<0,即f'()<0,八x)在（年 受）上单调递减，又牙<A<B<C<受f(A)>f(B)> fC). 4.A构造g(x)=f(x)-nx,x>0,则g(x)=f(x)-上= (x）-1<0,即g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(3)< g(2),即f3)-f2)<ln3-ln2. 5.D令2=3y=5=t(t>1),两边取对数得x=ogt=n2 Int y=-e4品等从而2=23= 5=加e由>1如，要比较三者大小，只需此较品23 5的大小又品2=击4e<3<4<5,由y=在(e,+x) 上单润递议，可知号，学>>0，从面<斋<后5 4 5 4 5 3y<2x<5z,故选D. 6>构造=则r(=e(0,e)时)>0， fx)单调递增；xe(e,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，又 2<5<e,f5)>f2),即5>2，即n5>5n2. 5 2 7.a<b<c设函数g(x)=f(x)cosx,则g'(x)=f'(x)cosx fx)sinx,因为f'(x)cosx-f(x)sinx>0,所以g'(x)>0,所 以g(x)在(0，m)上单调递增，a=f(号)=f(号)o胃 =g(骨)b=0=f受）受-8（受）=-(g) =/(g)msg=g(g),所以a<b<c 8.（-o,1]根据题意可知x>0,由x·e2r-ax-x≥1+lnx, 可得a≤2-hx+1-1(x>0)恒成立，令f(x)=e2: 血x+山-1，则a≤f代x)m,现证明e≥x+1恒成立，设g(x) =e*-x-1,g'(x)=e*-1,当g(x)=0时，解得x=0,当x< 0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,g(x)单 调递增，故当x=0时，函数g(x)取得最小值，g(0)=0,以 g(x)≥g(0)=0,e≥x+1恒成立，fx)=e2_血x+1-1= e产-nx-l。1:2-血-1≥ 1 nx+2x+1=nx-l-1=1,所以f(x)m=1,即a≤1.所以 X 实数a的取值范围是(-0,1]. 9.【证明】令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1, 令g'(x)=0,得x=0, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， .g(x)≥g(0)=0, 即e-x-1≥0， ..e≥x+1(当且仅当x=0时，等号成立). ① 令h(x)=x+1-ln(x+2), 则12华23-2. 易知h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调 递增， ..h(x)≥h(-1)=0, 即x+1-ln(x+2)≥0， 即x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时，等号成立). ② ①和②中的等号不能同时成立， .由①和②得e>ln(x+2), 即f(x)>0. 10.【解析】f(x)的定义域为(0，+o), f'(x)=ae-1-1 x (1)当a=e时，f(x)=e"-lnx+1, f(1)=e+1, f'(1)=e-1, 曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(e+1)= (e-1)(x-1), 即y=(e-1)x+2. 直线y=(e-1)x+2在x轴y轴上的载距分别为2,2 e-1 因比所家三角形销百客为5=宁×。引x2=名 (2)当0<a<1时，f1)=a+lna<1该情况不符合题意. 当a=1时，fx)=e-1-lnx, f(x)=e--I x 当xe(0,1)时f'(x)<0: 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0. 所以当x=1时，f(x)取得最小值， 最小值为f(1)=1, 从而f(x)≥1. 当a>l时，f(x)=ae-1-lnx+lna>e-l-lnx≥x-lnx ≥1. 综上，a的取值范围是[1，+o). 19 11.BD由(x+1)f'(x)>f(x),得(x+1)f'(x)-f(x)>0,令 g(x)=则g(x)=x+1f'(x>0,g(x)在 x+1 (x+1)2 (0,+∞)上单调递增∴g(2)<g(3)<g(4,则22<3 3 4 <42,即42)<33)，53)<44)，故选BD. 5 12.①③f代x)的定义域为{xlx>0},f'(x)=nx+2x+1,所以 f'(xo)=ln6+2o+1=0,所以lnx=-1-2xo,即lno< -1,即n<ne,所以0<<f代)+。=血6+ x6+=x(lnx+x0+1).因为2x0=-(lnx0+1),所以 f代0）+x=-x号<0. l3.【解析】（1)：函数fx)=xnx, g(x)=A(x2-1), ..f(x)=1+In x,g'(x)=2x, :函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线， .f'(1)=g'(1), .1+h1=2入，解得入=2 (2)证明：当A=7,且≥1时， 设h()=g()-)=2(2-1)-h, .h'(x)=x-1-nx, 令p(x)=x-1-lnx, 9()=1-士≥0在[1，+)止恒成立， ∴.p(x)min=p(1)=1-1-ln1=0, ∴.h'(x)=x-1-nx≥0在[1，+∞)上恒成立， .h(x)在[1，+o)上单调递增， .h(x)n=h(1)=0, ∴.h(x)≥0， :若X=乃，且≥1代)≤g)成立 14.BCD因为名>x>0,所以-x>0,则专-n< x2-X1 2等价于xln名-lnx1<2(x2-x1),即xlnx2+2x1< 名ln+2,所以x(n+2)<(nx+2),则血与+2< 3X2 血2令)=血+2，可得)<)，又>名> m,所以f)在(m,+o)上是减函数，令f'(x)==nx-l ≤0.解得≥。则m≥。结合选项知B,CD符合要求放 选BCD.练案[23] 第五章 拓展提升课四； 利用导数研究不等式 A组·基础巩固 9.已知函数f(x)=e-ln(x+2),求证： 1.下列不等式一定成立的是 ( f(x)>0. A.e*<x+1 B.e*>x+1 C.e>ex D.e*>In x 2.“x>1"是“1nx>-1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，平<A<B<C<罗)=cosx· e,则下列结论一定成立的是 A.f(A)>f(B)>f(C)B.f(A)<f(B)<f(C) C.f(A)>f(C)>f(B)D.f(B)<f(A)<f(C) 4.设定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数 f'(x)满足f'(x)<1,则一定有 ( )10.已知函数f(x)=ae-1-lnx+lna. A.f(3)-f(2)<ln3-n2 (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1， B3)-(2)<号 f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角 形的面积； C.f(3)-f(2)>ln3-ln2 Df3)-f2)>7 5.设x,y,z为正数，且2=3'=5，则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 6.比较大小关系：ln5 5ln2. 7.设f'(x)是定义在(0，π)上的f(x)的导函数， 有f'(x)cosx-fx)sinx>0,若a=f(牙）， 6=0,c=-(君），则a,6e的大小关系是 8.已知对任意x,都有xe2“-ax-x≥1+lnx,则 实数a的取值范围是 -139 (2)若f(x)≥1，求a的取值范围. 13.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=入(x2-1)(入 为常数) (1)若函数y=f(x)与函数y=g(x)在x=1 处有相同的切线，求实数入的值； (2)若入=分，且≥1，证明)≤g(x). B组·综合运用 11.（多选)已知f代x)为(0，+∞)上的可导函数， 且(x+1)·f'(x)>f(x),则下列不等式一定 成立的是 ( C组·拓展提升 A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3) C.3f(3)<4f2) D.3f(3)>4f(2) 14.(多选)若对任意的x1,x2∈(m,+∞)，且 12.已知函数f(x)=xlnx+x2,且xo是函数f(x) x<3,都有n与-，n立<2，则m的值可 x2-x1 的极值点.给出以下几个结论： 能是（注：e=2.71828…为自然对数的底数） ①0<<2，>2 () ③f(x)+x<0;④f(x)+x>0. A I 3 B.1 C.3 D.1 e 其中正确的结论是 ·(填序号) -140