4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

027 第2课时等比数列的性质及应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与 逻辑推理 项有关的性质. 2.能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决相关问题 逻辑推理、数学运算 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相关问题. 数学建模 教材梳理明要点 e情境导入 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的 [提示] 某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动.我们知道，在 在等比数列{an}中， 若m+n=s+t(m, 等差数列{an}中，若m+n=s+t,则anm+an=a,+a,那么在等比数列{an} n,s,teN),则 中是否具有类似的性质呢？ P[提示] aa=aa. 白新知初探 [知识点反思1] 知识点一等比数列项的运算性质 (1)下标和相等且左 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 右两侧项数相同时， 1.等比数列通项公式的推广和变形a.= 性质2可以推广， 2.若m+n=k+l(m,n,k,leN*）,则anan=aar 如：m+n+p=x+y 特别的，若m+n=2k(m,n,k∈N*),则anan= +z,则AmnAp =a,a,a2; 3.下标成等差数列的项ak,ak+m,ak+2m,…构成以 为公比的等比数 (2)在有穷等比数列 列. ●[知识点反思1] 中，与首末两项等距 离的两项之积都相 知识点二由等比数列衍生的新数列 等，即a·an=a2· 设等比数列{an}的首项为a1,公比为g. an-1=…. L.对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项 为ak+1,公比为 [知识点反思2] 2.若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为α，公比为 (1)在等比数列{an 中，依次每k（ke 3.若数列{an},{bn}均为等比数列，c是非零常数，则数列{can},{a2},{am· N)项的和（或积） 构成公比为g（或 6.会也为等比数列： g)的等比数列； (2)两个项数相同的 4.若数列{an}是等差数列，则数列{b}(b>0且b≠1)一定是 等比数列{an}与bn 数列； 对应项相加构成的新 5.若数列{an}是各项为正数的等比数列，那么数列{logia}(b>0且b≠1)一 数列{an+bn}不一定 定是 数列 [知识点反思2] 是等比数列 028 目预习自测 1.在等比数列a,中，4=27,9=-}则4 A.-3 B.3 C.-1 D.1 2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a1=16,则a5= 3,在等比数列{an}中，若a3a4a5=3,a6aag=24,试求aga1oa1,的值， 题型探究提技能 题型一等比数列性质的应用 [方法总结1] 巧用等比数列的性质 例1在等比数列a,中： 解题 (1)解答等比数列问 (1)已知a5=4,a=16,则a2= 题的基本方法一一基 (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,则a6+ag= 本量法 运用方程思想列出基 (3)若an>0,a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+l0g3a10= 本量a1和g的方程 组，解出a1和q,然 ●[方法总结1] 后利用通项公式 求解； 〉跟踪训练1 (2)利用等比数列的 性质解题 在等比数列a}中，a6·a2=6,a4+a4=5,则2= （）充分发挥项的“下 标”的指导作用，分 9 A4或) B 析已知条件中项与项 之间的关系，选择恰 当的性质解题，可简 c或好 39 D.2或4 化解题过程，降低计 算难度 029 题型二等比数列的判定与证明 例2已知数列1a,中，a=1,a1=2a,+n-1 (1)求证：数列{an+n}为等比数列； [方法总结2] 判定或证明数列为等 (2)求数列{a,}的通项公式 P[方法总结2] 比数列的常用方法 (1)定义法：1=q an (g为常数且q≠0)等 价于{a.}是等比 数列； (2)通项公式法：am =a1g-1(a1≠0且9 ≠0)等价于{an}是等 比数列； (3)等比中项法：若 对于任意连续非零三 项an-1,am,an+l, 》跟踪训练2 都有d=an-1an+1（n 设{an},{bn}都是等比数列，若a1b1=7,ab3=21,则ab= ≥2且neN),则数 题型三等比数列的实际应用 列{an是等比数列. 例3从盛满(a>)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒 出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问： [方法总结3] (1)第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？ 等比数列实际应用的 (2)当α=2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于 求解思路 (1)认真审题，弄清 10%? >[方法总结3] 题意，将实际问题转 化为适当的数学 模型； (2)合理设出未知 数，建立等比数列模 型，依据其性质或方 程思想求出未知 元素； (3)针对所求结果作 出合理解释 〉》跟踪训练3 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正 方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，…，这样共画 了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 030 随堂检测 重反馈 1.在等比数列{an}中，若a2a6+a1=T,则aa= A牙 B牙 c D.4T 3 2.若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是 A.Ig a B.{1+an} C.a D.an+an+ 3.在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2-a=0,则数列{an}为 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得 28石，则衰分比例为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 拓展提升课一构造法求数列的通项公式 题型一已知a+1=pm,+f八n)(p≠0)(f(n)为一次多项式)求数列的通项公式a。 例1(（1若a=L,a1=3a+2,求数列a.的通项公式： (2)在数列{an}中，a1=1,a.+1=3an+2n+1,求数列{an}的通项公 [方法总结1] 式 >[方法总结1] 求解递推公式形如 an+1=pan+q(p≠0， q≠0且p≠1)的数列 {an}的通项公式的关 键是利用待定系数法 构造an+l+入=p(an +入)的形式；数列 的递推关系为an+l= Aan+Bn+C型，可转 化为an+I+入1(n+ 1)+λ2=A(an+入n +入2)的形式来求通 项公式项中的数列是首项为1，公比为-2的等比数列；D选项中的 数列是首项为。，公比为。的等比数列故选ACD. 跟踪训练1：(1)V(2)×(3)×(4)× 【解析】(1)是等比数列，公比为-1.(2)不能确定第三项以 后的情况，不是等比数列.(3)所有项都是0的数列，不是等比 数列.(4)不是充要条件，是必要不充分条件. 例2：BCb是-1，-9的等比中项，.2=9，b=±3.由等比 数列奇数项符号相同，得b<0,故b=-3,而b又是a,c的等 比中项，故b2=ac,即ac=9. 跟踪训练2：D由题意知a4a6=1,所以a?=a4a6=1,所以a5= ±1. 例3：【解析】设数列{an}的公比为q 1)因为{，=4，°所以9=8，】 ① la9=2.② 号得g-=,因为4，>0，所以9=分4=128， 所以a.=4·g=128×(分）=（分） (2)a,== g5会=5，解得a1=5. 625 (3)因为厂+a=a9+a9=18, ① la3+a6=a192+a93=9, ② =子，所以4=32 -1 又a,=1,所以32×（分） =1, 即26-"=2°，解得n=6. 跟踪训练3：A由题得9+a9=1, 解得g2=3,∴q=5或 lag +aq=9, 9=-.当g=5时4-得当g=-5时4=-得 /3 1 a2=a19=4 随堂检测重反馈 1.BA项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. 24方法-ag=a4gg=2=16,q=4,a6=049 =4. 方法二：a6是a4与ag的等比中项，∴a6=a4·ag=16,又： a6与a4,ag同号，.a6=4. 3(-）广该数列是以-宁为公比，-之为首项的等比数 列，则a=(分)月 第2课时等比数列的性质及应用 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 1.am9"-m 2.a 3.g 14 知识点二 1.9 2.g 4.等比 5.等差 预习自测 1.Ca5=4·g2=27×（-3）=-1 2.1由等比数列的性质，知a=aa1=16.又数列{a,}的各项 都是正数，所以a=4.又a,=a,×9,则a,=子=1 3.【解析】因为an}为等比数列，所以aa4a5,a6aag,aga1oa 仍为等比数列， 公比g= dodqux=24=8,所以a,a041=(a,aas)·g=24×8 asads3 =192. 题型探究提技能 例1：(1)8(2)7(3)10 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则a,=a592>0.由 等比中项的性质可得a7=a5ag=64,解得a,=8. (2)由等比中项，化简条件得a6+2a6ag+a=49,即(a6+ ag)2=49,因为an>0,所以a6+ag=7. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2,=a3ag=a4a7= 9,所以log3a1+log3a2+…+log3ao=log3(a1a2·…·a1o)= logs[(aa)(aza)(a3as).(aaa)(asa)]=10g3 95=10. 跟踪训练1：A由a6·a2=a4·a14=6,且a4+a14=5,解得a4 =2,a4=3或04=3，a4=2,若a=2,au=3,则g°=子，即 2子若a,-3a2.则g=子2号 a59 例2：【解析】(1)证明：由a+1=2a,+n-1, 得a+1+n+1=2a+2n=2(a.+n),易知a1+1=2≠0， ∴.数列{a,+n是首项与公比都为2的等比数列. (2)由(1)得an+n=2·2"-1=2",∴.an=2"-n. 跟踪训练2：63因为a.},bn}为等比数列，所以{anbn}也为 等比数列，设anbn}的公比为g,又ab1=7,a3b3=21,所以g =a4=3,即a,bs=a,b·g2=21×3=63. a bi 例3：【解析】(1)由题意知开始时容器中酒精的浓度为1， 设第n次操作后容器中酒精的浓度为a。, 则第1次操作后容器中酒精的浓度为4，=1-工 a 第n+1次操作后容器中酒精的浓度为a1=a(1-日）， 所以a.是首项为a=1-日 公比为g=1-。的等比数列，所以a.=a191=（1-）, 即第n次操作后容器中酒精的浓度是(1-日)厂 48 (2)当a-2时，由a:=(兮）广<0解得≥4 故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%. 跟踪训练3：2048依题意，这10个正方形的边长构成以2为 首项，√2为公比的等比数列{an},所以a.=2×(2)“-1,所以 第10个正方形的面积S=a0=[2×(2)’]2=4×2°=2048. 随堂检测重反馈 1C因为aa,=d=aa,所以a,4=受 2.C取等比数列an=(-1)“,则a1=-1,所以A、B不是等比 数列，又an+an+1=0,所以{an+a1}不是等比数列，故选C. 3.A由8a2-a5=0,可知g=g2=8,解得g=2.又41>0，所以 数列{a,}为递增数列. 4设衰分比例为9(0<g<1),则甲、乙、丙各分得28,28。 28g石28+28+28q=989=2或7又0<9<1,9 1 22 拓展提升课一构造法求数列的通项公式 例1.【解析】(1)因为a.+1=3a.+2, 设a+1+m=3(am+m), 则a+1=3a。+2m,对比原式知m=1, 所以am+1+1=3(am+1),又a1+1=2≠0， 所以数列{a+1}是首项为2，公比g=3的等比数列， 所以an+1=2·3"-1, 所以an=2×3-1-1. (2)设a+1+A(n+1)+B=3(an+An+B), 则a4+1=3an+2An+2B-A. 与原式比软系数得21=2，解得4=， 2B-A=1, B=1, a.+1+(n+1)+1=3(a.+n+1). 令bn=an+n+1,则b.+1=3bn且b1=a1+1+1=3≠0， .{b}是以3为首项，3为公比的等比数列， .b=3·3"-1=3”,.an=3“-n-1. 跟踪训练1：B由Sn+1-2S。=n得S1+n+2=2(S.+n+1), 因为a1=2,所以S1+1+1=4.所以Sn+n+1≠0.所以{Sm+ n+1}是首项为4，公比为2的等比数列.所以Sn+n+1=4× 2-1.所以S。=2+1-n-1.所以a1o=S10-S,=1023.故选B. 例2.【解析】方法一：由题意可设am+1+A·2"+1=3(a,+A· 2"), 即an+1=3an+A·2", 故A=2, 所以a4+1+2"+2=3(an+2"1), 所以{an+21}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an+2+1=5·3"-1,即an=5·3"-1-2+1 方法=：因为a3a.+2,所以2器=号·会+ 14 脚2+2=（径+2号+2= 所以数列侵+2是以弓为首项，号为公比的等比数列， 所以2+2=号(3）整理得a=53-2 跟踪训练2：【解析】将a+1=2a。+3·2两边同时除以2""， 所以-4。。3 以2-2”=2 故数列{会}是以1为首项号为公差的等差数列， 由等差列的道项公式，号=1+口-1)=。日 所以数列{an}的通项公式为a=(3n-1)·2"-1. 【解析】对递推式61三36+2的两边同时取倒数，得 1_36.+2 =2+3 因+3=2（六+3）+3=2。 故{位+3是以2为首项，2为公比的等北数列， 于是+3=22，可得6,2-3neN 1 an 跟踪训练3：【解析】a11+304=1心a,0, 1=1+3 即1-上=3，又a,=1,则=1， an+1 an a 数列日}是以1为首项，3为公差的等差数列 .1=1+(m-1)×3=3n-2, d.a n(aN). 随堂检测重反馈 1.C由am+1=an-2,可得anl-an=-2,则数列{an}为等差 数列，公差为-2，则a1o=2-2×9=-16. 2.D由a+1=2an+1得a+1+1=2(an+1),而a1+1=2,故 {an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2”,即 an=2-1.故选D. an+1 an 是公差为2的等差数列.又4，=1，L=1+2(n-1）=2n-1, a 即am=2n-1