第5章 拓展提升课3 利用导数解决与函数有关的问题-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

所以f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y-3= -2(x-1),即2x+y-5=0. (2)由(1)知fr(x)=2-4=2x-21,x[1,3]. 令f'(x)>0,则2<x≤3： 令f'(x)<0,则1≤x<2. 所以f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增. 所以f(x)min=f(2)=5-4ln2, 又f1)=3f(3)=7-4ln3, f1)-f3)=4(n3-1)>0, 所以f(x)mx=3. 所以f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为3与 5-4ln2. 11.A因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2]，所 以f(x)在[-1,1]上单调递减，在[1,2]和[-3，-1]上单调 递增.f-3)=-19,f代-1)=1，f(1)=-3f(2)=1,所以 在区间[-3,2]上，f(x)m=1,f(x)n=-19,又由题设知在 [-3,2]上1f(x1)-f(2)1≤f(x)m-f(x)=20,所以 t≥20，故选A. 12.(?,1由题意知函数f(x)=1+n的定义域为(0， +),且/()=-，当0<<1时f()>0)单调 递增；当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，即f(x)在区间 (0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以当x=1时， 函数f(x)取得极大值，也是最大值，因为函数f(x)在区间 a<1, (a,a+分)（其中a>0)内存在最大值，所以 解 a+- 2 得7<a<1 13.【解析】2xnx+x2-mx+3≥0，x>0, m≤2nx+x+3 设h(x)=2nx+x+3 则h'(x)=2+1-3=x+3)(x-D 2 x 当≤<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当1<x≤e时，h'(x)>0,h(x)单调递增 又A(日)=-2+日+3e,(e)=2+e+日 h()>(e), h()=h(合)=-2++3 存在xe[日，e]m≤2nx+x+是成立， -18 .m≤h(x)m, .m≤ 1+3e-2 实数m的最大值为。+3e-2。 14名+h3设y=)-g)=是+2x-l1n(x>0).则y =3x+2-1=3+2x-1-x+0(3x-D(x>0),当0< x<了时，<0，当x>了时，y>0,所以)=f)-g(x)在 (0,号)）上单调递减，在（兮，+如）上单调递增，所以当x =了时，y=)-8)取得最小值，最小值为子×（兮）】 +2×3 -ln3=6 上=三+n3,所以AB1的最小值 为+n3 练案[22] 1.【解析】1)当6=0时x)=了-+2， f(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2), 令f'(x)=0, 解得x1=1,x2=2, 当x变化时，f'(x)代x)的变化情况如下表所示： -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 f'(x) 0 + 23 2 f(x) 6 单调递增 6 单调递减 3 单调递增 可得当x=-1时，f代x)取得最小值为- 23 6 当x=3时八)取得最大值为子， 到[-1,3]上的位城克[-容，] (2)方程f代x)=1有三个不同的解， 即宁-弓+2=1-6有三个不同的解。 由()知，y=写2-2+2x在(-0，)，2，+0)上单调 递增， 在(1,2)上单调递减， y=了2-子2+2x在x=1处取得极大值为名在x=2处 取得极小值为号， .2 号<1-6<名， 解得石<6<分 6的聚位范强为（行写）】月 2.【解析】因为对任意x>0,不等式lnx≤ax≤x2+1恒成立， a≥x 所以 对任意x>0恒成立， a≤x+ 进-多转化为(）≤a≤(+） 设(x)=兰，则h'(x)=-n x21 当x∈(0，e)时，h'(x)>0: 当xe(e,+o)时，h'(x)<0 即h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，h(e) 所以h()≤日，所以。≤a: 又当x>0时，x+≥2（当且仅当x=1时等号成立）， 所以a≤2， 所以满足条件的a的取值范国是[日，2]： 3.【证明】(1)由题意，可得f代x)的定义域为(0，+0)， 由fx)=(x-1)lnx-x-1, 得f(x)=nx+--l=nx-L 显然∫(x)=lnx-上单调递增； 又f'(1)=-1<0, f2)=h2-7-4>0 故存在唯一x∈(1,2)，使得f'(x)=0; 又当x>x时，'()>0，函数fx)单调递增； 当0<x<时f'()<0,函数fx)单调递减， 因此，f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知，f(x)<f(1)=-2<0, 又fe2)=e2-3>0, 所以f代x)=0在(xo,+∞)内存在唯一实根， 记作x=a. 由1<o<a得<1<， 又日)（日-小h名女-10-0.是方程 f代x)=0在(0，xo)内的唯一实根； 综上，f代x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. -19 4.(解折】(1f()=a+士>0 ①当a≥0时，由于xe(0,+o), 所以f'(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞). ②当a<0时，令f()=0,得x=-日 当x变化时，f'(x)与f代x)的变化情况如下表： 0, 1 a f'(x) 0 f(x) 极大值 由上表知x)的单调递增区问为(0，-) ,单调递减区间 为（石+） 综上，当a≥0时，f代x)的单调递增区间为(0，+0)，无单调递 减区间； 当a<0时，)的单调递增区间为(0，-。），单调递减区 间为(-2+）广 (2)问题等价于f代x1)ma<g(x)mm: 因为g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xe[0,1], 所以g(x)的最大值为g(0)=2. 由(1)知，当a≥0时，fx)在(0，+0)上单调递增，值域为R, 故不符合题意， 当a<0时x)在(0，-日）上单调递增，在(-行，+) 上单调递减， 故x)的极大值即最大值，为f(-石）=-1+(-。】 =-1-ln(-a). 所以2>-1-n(-a),解得a<-号 故实效a的取信范国为(-”，）】 5.【解析】(1)由题意知f代x)定义域为(0，+∞)， f'(x)=Inx+m+1, 令g(x)=f'(x)=nx+严+1， x 则g(x)=1-m==m, Γxx2x2 当m≤0时，g(x)>0恒成立， ∴f'(x)在(0，+o)上单调递增； 当m>0时，若xe(0,m),g'(x)<0; 若x∈(m,+o),g'(x)>0; ∴.f'(x)在(0，m)上单调递减， 0 在(m,+∞)上单调递增； 综上，当m≤0时，f'(x)在(0，+∞)上单调递增： 当m>0时，f'(x)在(0，m)上单调递减，在(m,+∞)上单调 递增。 (2)由(1)知nx++1>号+2对Vxe(1,+)恒成立， 即nx+空-号-1>0对Vxe1,+0)恒成立， 令a()=血+g-号-山， 则)士号 x x2 ①当m≤0且m∈Z时，h'(x)>0 ∴.h(x)在(1，+o)上单调递增， A()>h(I)=2-1≥0， 解得m≥子（合）片 ②当0<m≤1且meZ, 即=1时，M@)=右音<0，不合宽花： ③当m>1且meZ时，若x∈(1，m),h'(x)<0: 若xe(m,+∞)，h'(x)>0; h(x)在(1，m)上单调递减， 在(m,+o)上单调递增， .h()=h(m)=In m-0 令F(m)=nm-号， 则F'(m)=L-1=3-m =m3=3m, 当me(1,3)时，F'(m)>0; 当m∈(3，+∞)时，F'(m)<0, .F(m)在(1,3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减 又2)=h2-号>0.f3)=n3-1>0. F4)=n4-手=2h2-号>0， F(5)=h5-号<0， .满足F(m)>0且m>1,meZ的所有整数为2,3,4. 综上，m的所有值为2,3,4. 练案[23] 1.De*≥x+1,当x=0时可取等号，故A、B错误；又e-1≥x, 即e≥ex,当x=1时可取等号，C错误，易知D正确. 2A由h>,可得ax-1+士>0，令f)=n-1+ 士则=宁，当0<<1时)0当 -19 >1时，f(x)>0,所以当x=1时，f(x)取得最小值f1)=0, 所以当x>1时)>0，血x>而当a>时>0 且x≠1，所以“x>1”是“nx>二1”的充分不必要条件 3.Af(x)=(-sinx)·e+cosx·e=(cosx-sinx)·e,当 平<<受时，m-smx<0,即f'()<0,八x)在（年 受）上单调递减，又牙<A<B<C<受f(A)>f(B)> fC). 4.A构造g(x)=f(x)-nx,x>0,则g(x)=f(x)-上= (x）-1<0,即g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(3)< g(2),即f3)-f2)<ln3-ln2. 5.D令2=3y=5=t(t>1),两边取对数得x=ogt=n2 Int y=-e4品等从而2=23= 5=加e由>1如，要比较三者大小，只需此较品23 5的大小又品2=击4e<3<4<5,由y=在(e,+x) 上单润递议，可知号，学>>0，从面<斋<后5 4 5 4 5 3y<2x<5z,故选D. 6>构造=则r(=e(0,e)时)>0， fx)单调递增；xe(e,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，又 2<5<e,f5)>f2),即5>2，即n5>5n2. 5 2 7.a<b<c设函数g(x)=f(x)cosx,则g'(x)=f'(x)cosx fx)sinx,因为f'(x)cosx-f(x)sinx>0,所以g'(x)>0,所 以g(x)在(0，m)上单调递增，a=f(号)=f(号)o胃 =g(骨)b=0=f受）受-8（受）=-(g) =/(g)msg=g(g),所以a<b<c 8.（-o,1]根据题意可知x>0,由x·e2r-ax-x≥1+lnx, 可得a≤2-hx+1-1(x>0)恒成立，令f(x)=e2: 血x+山-1，则a≤f代x)m,现证明e≥x+1恒成立，设g(x) =e*-x-1,g'(x)=e*-1,当g(x)=0时，解得x=0,当x< 0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,g(x)单 调递增，故当x=0时，函数g(x)取得最小值，g(0)=0,以 g(x)≥g(0)=0,e≥x+1恒成立，fx)=e2_血x+1-1= e产-nx-l。1:2-血-1≥ 1练案[22] 第五章 拓展提升课三 利用导数解决与函数有关的问题 A组·基础巩固 2.已知函数f(x)=lnx.若对任意x>0,不等式 1.已知函数x)=子-32+2x+b(6eR). f八x)≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值 范围 (1)当b=0时，求f(x)在[-1,3]上的值域； (2)若方程f(x)=1有三个不同的解，求b的 取值范围。 —135 B组·综合运用 (2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根 3.已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明： 互为倒数 (1)f(x)存在唯一的极值点； 136- 4.已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R). (2)设g(x)=x2-2x+2,若对任意的x1∈(0， (1)求f(x)的单调区间： +),均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)< g(x2),求实数a的取值范围. 一137- C组·拓展提升 (2)是否存在meZ,使得∫'(x)>号+2对 5.已知函数f(x)=(x+m)nx+2m(m∈R), Hx>1恒成立？若存在，请求出m的所有 f'(x)是f(x)的导函数. 值；若不存在，请说明理由.（参考数据： (1)讨论f'(x)的单调性； ln2≈0.69，ln5≈1.61) —138