4.2.2 第2课时 等差数列前 n 项和的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

021 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用. 数学运算、逻辑推理 2.会用等差数列的通项公式与前n项和公式的函数特性研究Sn的最值 数学运算 3.能在具体情境中发现等差关系，并能建立相应的数学模型，解决实际 数学建模 问题 教材梳理 明要点 e情境导入 利用公式S=m,+"少d-+a一号n可求等差数列前n项和 2 [提示] Sn S2n -Sn S3n Sn,也可求S2n,S3m,…,那么数列Sn,S2m-S.,S3m-S2,…有什么规律呢？ S2n,构成等差 D[提示] 数列. e新知初探 知识点一等差数列前项和的常见性质 [知识点反思1] 性质(1)可从公式S 1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 来理解， Sn d 2.若Sn,S2m,Sm,…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和， n 2h+ 则Sn,S2n-Sn,Sn-S2n,…也成等差数列，公差为 [a-号是关于e的 ●[知识点反思1] 一次函数； 性质(2)简单地说就 知识点二等差数列前项和的最值 是等差数列n项，n 1.在等差数列{an}中， 项，n项，…求和仍 构成等差数列 (1)当a1>0,d<0时，Sn有 值，使S,取到最值的n可由不等式组 an≥0， 确定； an+1≤0 (2)当a1<0,d>0时，Sn有 值，使S,取到最值的n可由不等式组[知识点反思2] an≤0， 由于n取正整数，所 确定 以Sn不一定是在顶点 an+≥0 处取得最值，而可能 2.因为S=+-},若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时， 是在离顶点横坐标最 近的取整数的点处取 Sn有 值；当d<0时，Sn有 值，且n取最接近对称轴的自 得最值。 然数时，Sn取到最值 [知识点反思2] 022 目预习自测 1.等差数列{an}的前4项和是2，前8项和是10，则S2= A.12 B.18 C.24 D.42 2.(多选)设{4n}是等差数列，Sn为其前n项和，且S<S6=S,>Sg,则下列结论正确的是( A.d<0 B.a7=0 C.S>Ss D.S。与S,均为Sn的最大值 题型探究提技能 题型一等差数列前n项和的性质 例1已知S,是等差数列a.的前n项和，且S。=100,Sm=10,求So [方法总结1] ●[方法总结1] 利用等差数列前n项 和的性质简化计算 (1)在解决等差数列 问题时，先利用已知 求出a1,d,再用公 式求解，是基本解 法，有时运算量大些； (2)等差数列前n项 和S。的有关性质在解 题过程中，如果运用 得当可以达到化繁为 》跟踪训训练1 简、化难为易、事半 S_S=1,则So= 已知等差数列a,的前n项和为S,若a,=-10,3-2 功倍的效果. [方法总结2] 题型二等差数列前n项和的最值 等差数列前n项和最 例2在等差数列a,中，41=25，S。=S&,求前n项和S.的最大值 值的求法 (1)二次函数法：等 ●[方法总结2] 差数列前n项和Sn= An2+Bn(A≠0)的形 式，通过配方法，结 合二次函数的图象求 最值，但要注意n为 正整数； (2)邻项变号法：对 于等差数列中a1> 0,d<0或a1<0, d>0的情况，通过研 究变号项来求S,的最 大值或最小值： 〉跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时，Sm 取得最大值，则公差d的取值范围是 023 题型三等差数列前n项和的实际应用 例3某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1150万元，购 买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利 息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的 第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？ [方法总结3] P[方法总结3] 应用等差数列解决实 际问题的一般思路 建模 根据题设条件，建立 数列模型；①分析实 际问题的结构特征： @②找出所含元素的数 )》跟踪训练3 量关系；③确定为何 种数列模型 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定 在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战 解模 军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时. 利用相关的数列知识 加以解决；①分清首 从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能 项、公差、项数等； 有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二 回分清是求a还是求 S,问题；③选用适当 道防线？ 的方法求解 还原 把数学问题的解客观化， 针对实际问题的约 束条件合理修正，使 其成为实际问题的解 随堂检测重反馈 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,Sg=20,则a13+a4+a15+a16= A.8 B.12 C.16 D.20 2.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个 兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子 的数目为 L3两 86 C.5两 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,>0,Sx=0,则使Sn取得最大值时的n的值为 4已知等差数列a的游：项和为8-子则汁 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]随堂检测重反馈 1.B.S10 10(a+ao）=120a1+ao=24. 2.D设数列an}的公差为d,则S4=2+6d=20,解得d=3,所 以S6=3+15d=48 3B思路1：根据等差数列性质，可知S。=na+n(n,山d,其 中d是公差4为首项由已知，可得a+3以=6，。解得 l5a1+10d=-5, a1=5,d=-3.因此，所求S6=6a1+15d=-15. 思路2：设等差数列{an}的公差为d,a1为首项.由已知得S =3a1+3d=6,故a2=a1+d=2,同理，Ss=5a1+10d=-5,故 a3=a1+2d=-1.解得d=-3,a1=5.又S6=S+a6=S,+a +5d=-5+5+5×(-3)=-15.因此选项B正确. 4a=10咖-号 由S,=5n+2n,可知数列a,}为等差数列 d=2x5=10,a=S=号a.-=号+(a-1）x10=10m-号 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1号 2.n2d 知识点二 1.(1)最大(2)最小 2.最小最大 预习自测 1.C由题意知，等差数列{a,}的前n项和为S,且S4=2,Sg= 10.由等差数列的性质，得S4,S-S,S2-S成等差数列，即 2,8,S2-10成等差数列，所以2+(S12-10)=2×8,解得 S12=24. 2.ABDS5<S6=S,>Sg,.a6>0,a,=0,ag<0,.d<0,.S6 与S,均为Sn的最大值.S,-S,=a6+a,+ag+ag=2(a,+ag) <0,.S,<S5,故选ABD. 题型探究提技能 例1：【解析】方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, :S10=100,S1m=10, r10a,+1010-D4=100 2 [a:=1099 100 解得 100a,+10(100-D4=10, 11 2 d=-50 5o=110a,+101)0-少d=110×109 +110×109 2 100 2 (-0)=-10 方法二：设等差数列{a,}的前n项和S。=An2+Bn 11 A= 100 由题设条件可知 100A+10B=100,解得 10000A+100B=10, 14 故Sm=-品×10+0x10=-10 方法三：S10,S0-S0,S30-S0,…,S1m-S0,S110-S1m,…成 等差数列， 设公差为d, ∴该数列的前10项和为10×10+10X91=8m=10, 解得d=-22, 前11项和So=1×100+山X10x(-22)=-110. 2 方法四： {侣地是等差数列，南造新的等差数列沿=10， n 100-10 10-10 1 则d=100-10 11 -100 所以治需+10u=0+(贵)-1 所以S10=-110. 跟踪训练1：-10在等老数列巾，因为a=-10,号-之=1， 所以导=-10，所以{侣}是以-10为首项1为公考的等差 数列.所以0=-10+9x1=-1.。=-10, 例2：【解析】方法一：因为S=S1g,a1=25, 所以8×25+8×(8-山1=18×25+18x(18-D1, 2 解得d=-2. 所以3，=25n+nm,1x(-2)=-2+26n=-（n-13)2 2 +169. 所以当n=13时，S.有最大值为169. 方法二：同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0, 由a.=-2n+27≥0，得n≤132， 1 由a.=-2m+27<0,得n>132, 1 又因为n∈N,数列{an}前13项为正数，从第14项开始为 负数， 所以当n=13时，S,有最大值为169. 方法三：因为Sg=S18, 所以ay+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0,所以d<0. 所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时，S.有最大值. 由a13+a14=0, 得a1+12d+a1+13d=0, 解得d=-2, 所以5a=13×25+1312×(-2)=169, 2 6 所以S,的最大值为169 方法四：设Sn=An2+B. 因为Sg=S1g,a1=25, 所以借助二次函数图象知对称轴为n-8+18=13,且开口方 2 向向下， 所以当n=13时，S.取得最大值. r82A+8B=182A+18B, 由题意得 A+B=25, 解得A=-1, B=26, 所以Sn=-n2+26n, 所以S13=169 即S的最大值为169. 限踪训练2：-1<一子 由题意，当且仅当n=8时，S,有最 d<0, d<0 大值，可知a>0,即7+7d>0,解得-1<d<-8 7 a,<0,l7+8d<0, 例3：【解析】由于购房时先付150万元，则欠款1000万元 依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}, 所以a.=50+[1000-50(n-1)]×1% =60-7(a-101≤a≤20，aeN), 所以a}是以60为首项，-了为公差的等差数列， 所以an=60-19×7=50.5 所以Sm=2(a,+a）×20=10×(60+50.5)=1105, 所以实际共付1105+150=1255（万元）. 故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1255万元. 跟踪训练3：【解析】从第一辆车投入工作算起各车工作时间 （单位：小时)依次设为a1,a2,…,a5: 由题意可知，此数列为等差数列，且a=24,公差山=-分 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+as=25×24+25 x2×(-) =500 而需要完成的工作量为24×20=480. .·500>480 .在24小时内能构筑成第二道防线. 随堂检测重反馈 1.D因为数列{an}是等差数列，且S4=8,Sg=20,Sg-S4=12, 所以数列S4,Ss-S4,S2-Sg,S6-S2,…是等差数列，且首项 为8，公差为4.所以a13+a14+a15+a16=S16-S2=8+4×3= 20. 2.C设10个兄弟由大到小依次分得an(n=1,2,…,10)两银 子，设数列{am}的公差为d,其前n项和为S,则由题意得 -1 86 a=6，即 a1+7d=6, [a1= 5 解得 09=10o 所以长兄 So=100,10a1+ 8 d=-5 分得两银子 3.13易知数列{an}是单调递减的等差数列，公差d<0,由S6 26(a+a6）=0,得a,+a6=0,所以as+a4=a+a6=0, 2 所以a13>0,a14<0,所以该数列前13项的和最大. 4. 4由等差数列的性质知S,S。-S,S,-S6,S2-S,成等差 数列，设S3=k,S6=4k(k≠0)，则S,=3S6-3S3=9k,S12=3S, -3+8=16,所以哈= 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.2比同一个公比 2.0出=9 a 知识点二 等比数列ab 知识点三 a1g-1 预习自测 11 1.【解析】 ()月臣不是等比数列 (2)是等比数列，公比为1. (3)是等比数列，公比为子 (4)有0项，不是等比数列. (5)是等比数列，公比为-4. 2.Ca5=a1g=3×2=48. 3±3设等比数列a的首项为a,则9=3， 解得g=9, la1g3=27. 所以q=±3. 4.±8由G=4×16=64得G=±8. 题型探究提技能 例1：ACDA选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是 等比数列：B选项中，号≠冬，所以该数列不是等比数列；C选