4.2.2 第1课时 等差数列的前 n 项和公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

2.B由a1+a1=2a6=10,得a6=5,所以2d=ag-a6=1,解得 d=2 3.B因为数列{an}为等差数列，且a3=3,所以a1+a5=2a3= 6,因为+d=。-号所以。6=号，所以04 +=aa5 =5. 4.8因为a,+ag+ag=3ag>0,而a,+a10=ag+ag<0,所以 ag>0,a,<0,所以等差数列{an}单调递减，所以，对于等差数 列{an},要使an>0,则n的最大值为8. 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 n(a+a) na+n(n-1)d 2 2 预习自测 1.D由公式S.=nm,+nn)业×d,得S。=10x1+10,x9× 2 2 (-2)=-80. 由S5=-25+7×24×25×d30,解得d 60 60 3.100S5= _5(a+a2_5×(15+25)=10. 2 2 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设等差数列an}的公差为d, 则a4=a1+3d=1+3d=7, 所以d=2. 故S,=9a1+9×84=9+9×8×2=81. 2 17(a1+a)_17(a+a1s）=17×40=340. (2)S1,= 2 /53 （3)油题意得80a言，之】。-5 2 2 解得n=15. 又as-8+15-1d=-2 3 所以d=石 所以=15d=石 跟踪训练1：23=·弓+402×(-）=-15，整理 2 得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)，即n=12. 例2：【解析】Sn=2n2-3n-1, ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2, 当n≥2时，.-1=2(n-1)2-3(n-1)-1, ② -14 ①-②得a.=S.-S.-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1) -1]=4n-5, 经检验当n=1时，am=4n-5不成立， f-2,n=1, 故an= 4n-5,n≥2. 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公 差的等差数列. 跟踪训练2：(1)-2(2)-1 【解析】(1)方法一：当n=1时，a1=S,=-1+1=0; 当n≥2时，an=S.-Sm-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n- 1)]=-2n+2, 经检验，n=1时，a1=0也适合上式 故an=-2n+2(neN*), .d=-2. 方法二：由二次项系数为-1，则公差为2×(-1)=-2 (2)Sn=n2+2n+1+入， ∴.1+入=0，.入=-1. 例3：【解析】.a1=13,d=-4,∴.an=17-4n. 当n≤4时，Tn=|a1I+la2l+…+|an|=a1+a2+…+an =m,+nn,4=13n+nn,山×(-4）=15n-22: 2 2 当n≥5时，Tn=la1l+|a2l+…+lan1 =(a1+a2+a3+a4）-(a5+a6+…+an） =S4-(Sn-S4)=2S4-Sm =2x×13+1)x4-(15n-2n) 2 =56+2n2-15m. 一 跟踪训练3：【解析】(1)当n≥2时，an=S。-S.- =(100m-n2)-[100(n-1)-(n-1)2] =101-2n. :a1=S1=100×1-12=99,满足上式， .'a,=101-2n(nEN"). 又a+1-an=-2为常数， .数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. (2)令am=101-2n≥0，得n≤50.5， neN*,.n≤50(neN*). ①当1≤n≤50时，an>0,此时bn=lanI=an, ∴.数列{bn}的前n项和Tn=100n-n ②当n≥51时，an<0,此时bn=lan1=-am, 由bs1+b2+…+bn=-(a51+a2+…+an) =-(Sm-S50）=Ss0-Sm, 得数列{bn}的前n项和Tn=Ss0+(S0-Sn)=2S0-S.=2× 2500-(100n-n2)=5000-100n+n2. 由①②得数列{bn}的前n项和为 T.= l00n-n2,1≤n≤50，neN 5000-100n+n2,n≥51，neN*. 5 随堂检测重反馈 1.B.S10 10(a+ao）=120a1+ao=24. 2.D设数列an}的公差为d,则S4=2+6d=20,解得d=3,所 以S6=3+15d=48 3B思路1：根据等差数列性质，可知S。=na+n(n,山d,其 中d是公差4为首项由已知，可得a+3以=6，。解得 l5a1+10d=-5, a1=5,d=-3.因此，所求S6=6a1+15d=-15. 思路2：设等差数列{an}的公差为d,a1为首项.由已知得S =3a1+3d=6,故a2=a1+d=2,同理，Ss=5a1+10d=-5,故 a3=a1+2d=-1.解得d=-3,a1=5.又S6=S+a6=S,+a +5d=-5+5+5×(-3)=-15.因此选项B正确. 4a=10咖-号 由S,=5n+2n,可知数列a,}为等差数列 d=2x5=10,a=S=号a.-=号+(a-1）x10=10m-号 第2课时等差数列前n项和的性质及应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1号 2.n2d 知识点二 1.(1)最大(2)最小 2.最小最大 预习自测 1.C由题意知，等差数列{a,}的前n项和为S,且S4=2,Sg= 10.由等差数列的性质，得S4,S-S,S2-S成等差数列，即 2,8,S2-10成等差数列，所以2+(S12-10)=2×8,解得 S12=24. 2.ABDS5<S6=S,>Sg,.a6>0,a,=0,ag<0,.d<0,.S6 与S,均为Sn的最大值.S,-S,=a6+a,+ag+ag=2(a,+ag) <0,.S,<S5,故选ABD. 题型探究提技能 例1：【解析】方法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, :S10=100,S1m=10, r10a,+1010-D4=100 2 [a:=1099 100 解得 100a,+10(100-D4=10, 11 2 d=-50 5o=110a,+101)0-少d=110×109 +110×109 2 100 2 (-0)=-10 方法二：设等差数列{a,}的前n项和S。=An2+Bn 11 A= 100 由题设条件可知 100A+10B=100,解得 10000A+100B=10, 14 故Sm=-品×10+0x10=-10 方法三：S10,S0-S0,S30-S0,…,S1m-S0,S110-S1m,…成 等差数列， 设公差为d, ∴该数列的前10项和为10×10+10X91=8m=10, 解得d=-22, 前11项和So=1×100+山X10x(-22)=-110. 2 方法四： {侣地是等差数列，南造新的等差数列沿=10， n 100-10 10-10 1 则d=100-10 11 -100 所以治需+10u=0+(贵)-1 所以S10=-110. 跟踪训练1：-10在等老数列巾，因为a=-10,号-之=1， 所以导=-10，所以{侣}是以-10为首项1为公考的等差 数列.所以0=-10+9x1=-1.。=-10, 例2：【解析】方法一：因为S=S1g,a1=25, 所以8×25+8×(8-山1=18×25+18x(18-D1, 2 解得d=-2. 所以3，=25n+nm,1x(-2)=-2+26n=-（n-13)2 2 +169. 所以当n=13时，S.有最大值为169. 方法二：同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0, 由a.=-2n+27≥0，得n≤132， 1 由a.=-2m+27<0,得n>132, 1 又因为n∈N,数列{an}前13项为正数，从第14项开始为 负数， 所以当n=13时，S,有最大值为169. 方法三：因为Sg=S18, 所以ay+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0,所以d<0. 所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时，S.有最大值. 由a13+a14=0, 得a1+12d+a1+13d=0, 解得d=-2, 所以5a=13×25+1312×(-2)=169, 2 6017 随堂检测重反馈 1.在等差数列{an}中，已知a2=3,a=15,则此数列的通项公式an A.n-5 B.n+5 C.4n-5 D.4n+5 2.等差数列{an}中，a1+a11=10,ag=6,则公差d= A日 B.1 C.2 D.- 2 3数列a是等类数列.若=3，+-号则a% A月 B.5 C.9 D.15 4.设等差数列{an}满足a7+ag+,>0,a,+a1o<0,若an>0,则项数n的最大值是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4] 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 逻辑推理 2.会用等差数列的前项和公式解决有关的基本量计算问题. 数学运算 3.掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和的计算方法 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 高斯7岁的时候首次进入到了学习数学的班 级，一天老师布置了一道题目，从1加到100等 [提示] 依据等差数列的性 于多少.小高斯通过细心观察发现： 质，可以利用倒序相 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51. 加法求和. 1~100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把 这道题巧算为 (1+100)×100÷2=5050.从1到100，正好是公差为1的等差数列.对于 [知识点反思1] 两个公式都需要知道 一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ P[提示] 首项a1和项数n,不 同点是公式①还需要 台新知初探 知道末项an,公式园 知识点一等差数列前n项和公式 还需要知道公差d.应 公式一：Sn= 用时根据不同的已知 条件选择合适的公 公式二：Sn= [知识点反思1] 式，以使计算简化. 018 知识点二等差数列前n项和的函数特征 [知识点反思2] 在等差数列a,中，S.=m,+n(n,d=r2+a,- d) 2 . Sn=An2+Bn+C,若 C≠0，则{an}不是等 当d=0时，Sn=na1; 差数列；若C=0,则 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数. [知识点反思2] {an}是等差数列. 预习自测 1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 2.等差数列{an}中，若a1=-1,Ss=30,则公差d= 3.已知数列{an}为等差数列，若a1=15,a=25,则S= 题型探究 提技能 题型一等差数列前项和公式的基础应用 [方法总结1] 等差数列中的基本 例1在等差数列a,中： 计算 (1)a1=1,a4=7,求Sg; (1)利用基本量 (2)a3+a15=40,求S1; 求值： 等差数列的通项公式 (3)a,= 4=S=-5,求n和d [方法总结1] 和前n项和公式中有 五个量a1,d,n,amn 和Sn,这五个量可以 “知三求二”，一般 是利用公式列出基本 量a1和d的方程组， 解出a1和d便可解决 问题.解题时注意整 体代换的思想； (2)结合等差数列的 性质解题： 等差数列的常用性 质：若m+n=p+q (m,n,p,q,k∈ N),则am+an=ap +ag,特别地，m+n =2k,则2ak=am+ an,常与求和公式Sm =(a+a】结合 2 使用. ●019 〉跟踪训练1 已知等差数列a中，4-d=号，及=-l15,则n= 题型二利用S证明一个数列是否是等差数列 例2若数列1a,的前n项和S=2m-3n-1,求数列1a的通项公式，并 判断数列{α，}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. D[方法总结2] [方法总结2] 若Sn是关于n的二次 多项式，且无常数项 (即常数项为0)，即 满足Sn=An2+Bn的 数列是等差数列.在 求解选择题、填空题 时也可以对比Sn= 用A+B=a1.d=2A 来快速求解 》跟踪训练2 (1)数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则{an}的公差d= (2)数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+入，则入的 值是 020 题型三数列{IanI}的前n项和 例3.若等差数列{a,的首项a=l3,d=-4,记了.=a,+1a,+…+1a,l, 求T [方法总结3] [方法总结3] 已知等差数列{an}, 求数列{IanI}的前n 项和的注意事项： （1)一般地，数列 {an}与数列{1an}是 两个不同的数列，只 有当数列{an}的每一 项都是非负数时，它 们才表示同一个 数列； (2)求{IanI{的前n )跟踪训练3 项和，关键在于分清 数列{an}的前n项和Sn=l00n-n2(neN*) 哪些项为正数，哪些 项为负数，最终化为 (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 去掉绝对值符号后的 (2)设bn=|anI,求数列{bn}的前n项和Tn 数列求和； （3)求数列{IanI}的 前n项和，要依据正 负项分界的n值进行 分类讨论 随堂检测重反馈 1.在等差数列{an}中，S1o=120,那么a1+a10= A.12 B.24 C.36 D.48 2设等差数列0.的前n项和为3，若4，=2，S.=20,则5。= A.16 B.24 C.36 D.48 3.（2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6= A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 4已知数列a.的前n项和为S.=5+之，则这个数列的通项公式为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5]