5.3.1 函数的单调性-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[19] 第五章 5.35.3.1函数的单调性 A组·基础巩固 9.判断函数f(x)=e+e*在[0，+∞)上的单 1.函数f(x)=sinx-2x在(-0，+∞)上 调性 A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增 2.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所 示，则y=f八x)的图象可能为 不卡下 10.求下列函数的单调区间. (1)fx）=x2·e; 3.（多选)函数f(x)=(x-3)e在下列区间上单 调递增的是 ( A.(-∞，2) B.(0,3) C.(3,4) D.(2,+∞) 4.函数f(x)=3+xlnx的单调递增区间是 A(0,5) B.(e,+∞) c(日，+如】 D.(e) 5.（多选)下列函数在(-∞，+0)上是单调函 数的是 ( A.y=x3+x-1 (2))=x+士 B.y=sin x-x C.y=xe*+1 D.y=e*-x 6.已知函数f(x)在(a,b)内连续可导，则f'(x) >0是f(x)在(a,b)内递增的 条件 7.函数∫(x)=x-3x的单调递减区间为 8.已知函数f(x)=ke1-x+(k为常数) 曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴 平行，则f(x)的单调递增区间为 129 B组·综合运用 C组·拓展提升 1.若函数f(x)的导函数为∫"(x)=父-4x+3,14.已知函数f(x)=nx+h(k为常数，e为自然 则函数(1+x)的单调递减区间是 e 12.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则 对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1f(1))处 关于x的不等式f'(x)<0的解集为 的切线与x轴平行. (1)求实数k的值； 13.已知函数f(x)=a二6的图象在点M(-1, x2+b f代-1))处的切线方程为x+2y+5=0 (1)求函数y=f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间. (2)求函数f(x)的单调区间. —130练案[18] 1Bfe)3x26放f0)=号-0= 2 2.ABC (士)广=子m女故A正确：(my 2 cos2,故B正确；(cos5x)'=-5sin5x,故C正确； (分in2x)广=m2x+ms2x,放D错误 3.Af'(x)=e-ae*为奇函数，由f'(0)=1-a=0得a=1,经 检验，符合题意。 4C由y=ln(x+I)+2a得，y=++2a,又切线2x-y=0 的斜率为2.则y1,00++2a=2,解得a=分 5.D“f'(x)=-sim(ox+石)的最大值为2,0=2 )=o(2+君）-2，xe[-石受]2x+ge [-87石](2x+6)e[-1,,即fx)e[-3, -1],f(x)的最小值为-3. 6.8由s=2·e-2,得s'=2t·e-2+·e-2,当t=2时，3'= 2×2×e2-2+22×e2-2=8,所以质点在t=2时的瞬时速度 是8. 2f'w2a后(w-2a=f0 a==1,解得a=2. 2a-1 8.2x-y=0设x>0,则-x<0,f(-x)=e-1+x.又f(x)为偶 函数，fx)=f-x)=e-1+x当x>0时，f'(x)=e-1+1, f'(1)=e°+1=2.则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率 为f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 9.【解析】（1)y=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x -16x. 33 (2)y'=6x+4(6x+4)'=3x+2 (3)y'=(103x-21n10)·(3x-2)'=3×10s-2×ln10=3n10 ·102-2. (4)y=22x- ·(2x-1)'=1 √2x-I (5)y=cos(（3x-年）·(3x-平）'=3cos(3x-年） (6)y'=2cos x.(cos x)'=2cos x.(-sin x)=-sin 2x. 10.【解析】f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f0)=1. f(x)=2a-2+x+i 1 f'(0)=-1, 一18 ..切点P的坐标为(0,1)，1的斜率为-1， .切线l的方程为x+y-1=0. 11.A如图所示，f'(x)=-2e2“, y=-2x+2 则f'(0)=-2,所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y= -2x+2.由 ∫=-2x+ ly=x. 2得=y=子所以A(子，号）则 12 1 围成的三角形的面积为2×行×1=3 2[停因为4ue的e -4e e+1 =，4一因为e>0所以e+。≥2（当且仅当x=0时 取等号)，所以y'e[-1,0),所以tan oe[-1,0).又因为 e[0,m).所以ae[学a） 13.【解析】函数S=5-25-9可以看作函数S=5-√x和x =25-92的复合函数，其中x是中间变量， 由导数公式可得S=-分宁=-18 故由复合函数求导法则得 5®=8=（分）(-18)= 9t √25-97 将t=1代入S(t), 得S'(1)=2.25(m/s). 它表示当t=1s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25m/s. 14.A依题意，得f'(x)=x2-x+3,f"(x)=2x-1,由f"(x) =0,即2x-1=0,得x=号又f(分）=1，函数) 子2-2+3x-的对称中心为（分1）故选1 练案[19] 1.Bf'(x)=cosx-2<0,∴f(x)在(-0，+∞)上是减 函数. 2.D由导函数不是常数函数，排除A;由导函数f'(x)的图象可 知，f(x)≥0，当且仅当x=0时，f(x)=0,所以函数f(x)是增 函数，故排除C;又f”(0)=0,故排除B;满足条件的只有D.故 选D. 3.CD:f(x)=e+(x-3)e=(x-2)e,由(x)>0得(x-2) e>0,x>2.f(x)的单调递增区间为(2，+0)，C、D 符合 5 4.Cf'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)>0,即lnx+1>0,得x> 故函数代)的单调递增区间为(，+贮） e 5.AB由y=x3+x-1,得y'=3x2+1≥1，所以函数是增函数，A 满足题意；由y=sinx-x,得y'=cosx-1≤0，所以函数是减 函数，B满足题意；由y=xe+1,得y'=e*(x+1),当x≥-1 时，y'=e(x+1)≥0，函数单调递增，当x<-1时，y'=e*(x +1)<0,函数单调递减，故函数在(-∞，+0)上不是单调 函数，C不满足题意；由y=e-x,得y'=e-1,当x≥0时， y'=e-1≥0，函数单调递增，当x<0时y'=e-1<0,函数 单调递减，故函数在(-∞，+∞)上不是单调函数，D不满足 题意 6.充分不必要f'(x)>0可推出f代x)单调递增，f(x)=x3单调 递增，但f'(x)=3x2≥0. 7.（-1,1)对fx)求导得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令f(x)<0,解得-1<x<1.故f(x)的单调递减区间为(-1， 1). 8.(0,+o)f'(x)=ke-1-1+.因为曲线y=f(x)在点(0， f(0)处的切线与x轴平行，所以f'(0)=k·e-1-1=0,解得 k=e,故f'(x)=e+x-1.当x>0时，f'(x)>0;当x<0时， f'(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(0，+o). 9.【解析】f'(x)=(e)'+(e)' =e+e*(-x)' =e*-e*=（e)2-1 e .·当xe[0,+0)时，e≥1， ∴f'(x)≥0，当且仅当x=0时等号成立， fx)=e+e在[0，+o)上单调递增. 10.【解析】(1)易知函数的定义域为(-0，+0). f'(x)=(x2)'e*+x2(e)'=2xe-x2e*=e*·(2x x2), 令f'(x)=0,得x=0或x=2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： x (-∞，0) (0,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 + 0 f() 单调递减 f0) 单调递增f代2) 单调递减 ∴f(x)的单调递减区间为(-0,0)和(2，+∞)，单调递增 区间为(0,2). (2)易知函数的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 且f'(x)=1-1 令f'(x)=0,得x=-1或x=1, 当变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： 18 -0,-1） -1 (-1.0) (0,1) (1,+3) f'(x) + 0 、 0 f代x） 单调递增八-1)单调递减单调递减f八1) 单调递增 .函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1)，单调递增 区间为(-∞，-1)和(1，+0) 11.(0,2)令f'(x)=x2-4x+3<0,得1<x<3,所以函数f代x) 的单调递减区间是(1,3)，又函数f1+x)的图象可由函数 f代x)的图象左移1个单位得到，故函数f代1+x)的单调递减 区间为(0,2) 12.(-0,-1)U(0,1)由f'(x)<0,可得 x>0, 或 Lf'(x)<0 「x<0, 由题图可知，当-1<x<1时，f(x)单调递减， f(x)>0, f'(x)<0:当x<-1或x>1时，f(x)单调递增，f'(x)>0,则 [x>0, 解得0<x<1或x<-1,所 -1<x<1lx<-1或x>1, 以f'(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1). 13.【解析】(1)因为f(x)的图象在点M(-1f(-1)处的切 线方程为x+2y+5=0. 所以f'(-1)=-7,且-1+2-1)+5=0， 即f-1）=-2,即二a-6=-2,① 1+b (x)=a(+b)-2x(a-6) (x2+b)2 所以a1+bta-62-分② (1+b)2 由①②得a=2,b=3. (因为b+1≠0，所以b=-1舍去) 所以所求函数的解析式是fx)=2=6 x2+31 (2)由(1)知(x)=-2x+12x+6 (x2+3)2 令-2x2+12x+6=0, 解得x1=3-25,2=3+23, 则当x<3-25或x>3+25时f'(x)<0: 当3-25<x<3+25时，f'(x)>0. f)=7+3 =2红的单调递增区间是(3-2厅，3+25)：单调 递减区间是(-0,3-25)和(3+25，+0). 14.【解析】(1)由代x)=血x+, 1-k-Inx 可得f'(x)= e 36 :曲线y=f(x)在点(1，f1))处的切线与x轴平行， ∴f(1)=0,即1-k=0,解得k=1. e 1-Inx-1 (2)由(1)知，f(x)= e (x>0), 设A()=子-nx-1(x>0), 则0=安<0 可知h(x)在(0，+o)上为减函数， 由h(1)=0知，当0<x<1时，h(x)>h(1)=0,故f'(x) >0: 当x>1时，h(x)<h(1)=0,故f'(x)<0 综上f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，+∞). 练案[20] 1.B对于y=x-e,y'=1-e,令y'=0,得x=0.在区间 (-∞，0)上，y'>0;在区间(0，+∞)上，y'<0.故当x=0时， 函数y=x-e*取得极大值. 2.C由题图可知导函数f(x)有三个零点，且x1<0,x2=0,x >0,当x<x1时，f'(x)<0,当x1<x<0时，f'(x)>0,所以函 数f代x)在x=处取得极小值；当：1<x<x2时，f'(x)>0,当 x2<x<x时，f'(x)>0,所以函数f(x)在x=x2处无极值；当 x>x时，f'(x)<0,所以函数f(x)在x=x处取得极大值，故 选C. 3.A易知函数f(x)的定义域是{xlx≠0}，由题意f'(x)=1- 4=x+2)x-2),当x<-2或x>2时，f”(x)>0,当-2< x- x<0或0<x<2时，f'(x)<0,所以f(x)在(-0，-2)和(2， +∞)上单调递增，在(-2,0)和(0,2)上单调递减，所以极大 值点是x=-2,极小值点是x=2. 4.A函数y=f(x)=2x+alnx在区间(1,2)上有极值点，所以 f(x)=2+。在区间(1,2)上有变号零点.所以f"(1)f'(2)<0, 所以(2+a)(2+分)<0，解得-4<a<-2 5.BC当x=1时，f'(1)≠0，所以x=1不是f(x)的极值点，所 以A错误；当x∈(-3，-1)时f'(x)<0,当x∈(-1,2)时， f(x)>0,所以f(x)在(-3，-1)上单调递减，在(-1,2)上 单调递增，所以x=-1是f(x)的极小值点，所以B正确；当 xe(2,4)时，f'(x)<0,所以f(x)在(2,4)上单调递减，所以 x=2是f(x)的极大值点，所以C正确，D错误 6.CDf'(x)=3x2-6x.令f(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0; 令f'(x)=3x2-6x<0,得0<x<2,所以函数f(x)在区间 (-0,0)和(2，+0)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减 当x=0和x=2时，函数分别取得极大值0和极小值-4. -18 7.0由题意可知，当x<1时，f(x)>0,当x>1时，f'(x)<0, 所以f'(1)=0. 8.2fx)=x3-12x,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令 f'(x)=0,解得x=±2，当x∈(-0，-2)时f'(x)>0;x∈ (-2,2)时f'(x)<0,x∈(2，+0)时f(x)>0,则fx)的一 个极小值点为2，此时a=2. 9.0函数)的定义域为(0，+)(x)=a-士= 所以当a≤0时，f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，所以函数 f(x)在(0，+o)上为减函数，所以f(x)在(0，+∞)上没有极 值点. 10.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2x-2 令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f'(x)<0; 当xe(1,+∞）时，f'(x)>0, 所以f(x)有极小值f1)=1,无极大值. (2)fx)的定义域为(-0,1)U(1,+∞)， f(x)=x=2)(x+1) 2(x-1)3, 令f'(x）=0,得x1=-1,x2=2,x,f'(x),f(x)的变化情况 如表： (-3,-1) -1 （-1,1） (1,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增 8 单调递减 单调递增 3 单调递增 所以f代x)有板大值-)=- 8,无极小值 11.B由y=e-2mx,得y'=e-2m.因为函数y=e-2mx有 小于零的极值点，所以e*-2m=0有小于零的实根，即m= 之e有小于零的实根，因为x<0,所以0<分e<分，所以 0<m<2 12.[1,5)因为f'(x)=3x2+2x-a,函数fx)在区间(-1,1) 上恰有一个极值点，即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根. 又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-子，所以应满 足(-)s 01即3-2-a≤0， 解得1≤a<5. Lf'(1)>0 3+2-a>0, 13.【解析】(1)：f(x)=alnx+bm2+x, f'(x)=a+2br+1 由极值点的必要条件可知： f'(1)=f'(2)=0, ∴a+26+1=0且号+46+1=0，