4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

014 第2课时等差数列的性质及应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与 逻辑推理 项有关的性质。 2.能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决相关问题 逻辑推理、数学运算 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相关问题. 数学建模 教材梳理明要点 情境导入 等差数列1,2,3,4,5,6,7,8,9，…的奇数项1,3,5,7，…与偶数项2,4,6，[提示] 在等差数列中，项数 8,…分别构成公差为2的等差数列.一般的等差数列都有类似的性质吗？ 成等差数列的项构成 P[提示] 新的等差数列. [知识点反思1] e新知初探 (1)若{an}为等差数 知识点一等差数列项的运算性质 列，且m+n=p(m, n,peN),则am+ 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 am=ap不一定成立. (1)a =am+ d,此式也称为通项公式的推广式，还可以变形为d= 如数列1,2,3,4， (m,n∈N*,且m≠n); …,满足a1+2= (2)若m+n=s+t,则am+an= a3;而数列1,1， 特别地，若m+n=2p,则am+an=2an(m,n,s,t,p∈N）; 1,1,…,则不满足 a1+a2=a3; (3)下标成等差数列的项a,at+m,a4+2m,…组成以 为公差的等差 (2)在等差数列{an 数列， ●[知识点反思1] 中，如果am+am=ap +ag,不一定有m+n 知识点二由等差数列生成新等差数列 =p+9,如常数列. 1.若{an}是公差为d的等差数列，则有 (1){c+an}(c为常数)是公差为 的等差数列； [知识点反思2] (2){can}(c为常数)是公差为 的等差数列； 一般情况下，等差数 列{an},bn构成的 2.若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列，则数列{pan+gbn}(p,q是 新数列{anbn}不是等 常数)是公差为pd1+gd2的等差数列. ●[知识点反思2] 差数列. 自预习自测 1.在等差数列{an}中，已知a3=10,s=-20,则公差d等于 A.3 B.-6 C.4 D.-3 2.在等差数列{an}中，a1=2,a3+a5=10,则a,= A.5 B.8 C.10 D.14 3.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7,a3+b3=21,则a+b= 015 题型探究提技能 题型一公式an=am+(n-m)d的应用 [方法总结1] 例1已知数列1a.为等差数列，as=8,aw=20,求as 等差数列通项公式的 >[方法总结1] 常见变形 设等差数列{an的首 项为a1,公差为d,则 (1)an=dn+(a1-d) (neN"); (2)a,=a+(n-m)d (m,neN"); (3)d=0.-0(m,n n m eN°，且m≠n) )》跟踪训练1 [方法总结2] 在等差数列{an}中，已知a4=10,a4=70,则an= 等差数列运算的两种 常用方法及思路 题型二等差数列的性质 例2在等差数列a,中，若a+a+a,=32,a+a+au=18,则a,+an (1)基本量法：根据 已知条件，列出关于 ( a1,d的方程（组）， A.45 B.50 C.75 D.60 确定a1,d,然后求 ●[方法总结2] 其他量； )》跟踪训练2 (2)巧用性质法：观 察等差数列中项的序 在等差数列{an}中，若a3+a。=26,则a3+3a2= ( 号，若满足m+n= A.13 B.26 C.39 D.52 p+q=2r(m,n,P, 题型三由等差数列生成的新等差数列 g,reN),则am+ 例3已知两个等差数列4,7,10，…和8,12,16，…都有100项，则它们共同 an=ap+a =2a,. 的项有 A.12个 B.24个 C.11个 D.36个 [方法总结3] [方法总结3] 两个等差数列的公共 项构成的数列还是等 )】跟踪训练3 差数列，其公差为原 已知两个等差数列{an}:5,8,11,…,与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组 两数列公差的最小公 成数列{cn},则数列{cn}的通项公式c.= ;若数列{an}和{bn}的 倍数 项数均为100，则{cn}的项数是 016 题型四等差数列的实际应用 例4有一批电视机原销售价为每台80元，在甲，乙两家家电商场均有销 [方法总结4] 售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760 解答等差数列实际应 用问题的基本步骤 元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台 最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一 审题 仔细阅读材料，认 批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ >[方法总结4] 真理解题意 建模 将已知条件翻译成 数学（数列）语言， 将实际问题转化成 数学（数列）问题 判型 判断该数列是否为 等差数列 求解 求出该问题的解 还原 将所求结果还原 到实际问题中 》】跟踪训练4 某公司2024年经销一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利 润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司不开发新产品， 也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ 017 随堂检测重反馈 1.在等差数列{an}中，已知a2=3,a=15,则此数列的通项公式an A.n-5 B.n+5 C.4n-5 D.4n+5 2.等差数列{an}中，a1+a11=10,ag=6,则公差d= A日 B.1 C.2 D.- 2 3数列a是等类数列.若=3，+-号则a% A月 B.5 C.9 D.15 4.设等差数列{an}满足a7+ag+,>0,a,+a1o<0,若an>0,则项数n的最大值是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[4] 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 逻辑推理 2.会用等差数列的前项和公式解决有关的基本量计算问题. 数学运算 3.掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和的计算方法 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 高斯7岁的时候首次进入到了学习数学的班 级，一天老师布置了一道题目，从1加到100等 [提示] 依据等差数列的性 于多少.小高斯通过细心观察发现： 质，可以利用倒序相 1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51. 加法求和. 1~100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把 这道题巧算为 (1+100)×100÷2=5050.从1到100，正好是公差为1的等差数列.对于 [知识点反思1] 两个公式都需要知道 一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ P[提示] 首项a1和项数n,不 同点是公式①还需要 台新知初探 知道末项an,公式园 知识点一等差数列前n项和公式 还需要知道公差d.应 公式一：Sn= 用时根据不同的已知 条件选择合适的公 公式二：Sn= [知识点反思1] 式，以使计算简化.2.B由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8.又由2m和n的 等差中项为5，得2m+n=10.两式相加，得3m+3n=18,即 m+n=6所以m和n的等差中项为=3 3.487依题意得，该数列的首项为-8，公差为5，所以a1m= -8+99×5=487, 4.【解析】(1)a1o=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)由an=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10. 第2课时 等差数列的性质及应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1)(n-m）a,-a(2)a,+a(3)md n-m 知识点二 1.(1)d(2)cd 预习自测 1.B由等差数列的性质得ag-a3=(8-3)d=5d,所以d= -20-10=-6. 5 2.B由等差数列的性质可得a1+a,=a3+a5=10,又因为a1=2, 所以a,=8. 3.35因为数列{an},{bn}都是等差数列，所以数列{an+bn}也 构成等差数列，所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+bs),所以 2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35. 题型探究提技能 例1：【解析】方法一：设数列an}的公差为d, 则a0=a15+(60-15)d=8+45d, 所以4行-号=青 4 所以a=a0+(75-60)d=20+15×15=24 方法二：因为数列an}为等差数列， 所以a15,a30,a45,a0,a5也成等差数列， 设其公差为d,as为首项，则ao为第四项， 所以a0=a1s+3d,得d=4,所以a5=ao+d=24. 跟踪训练1：6n-14 【解折】方法-：设公差为d,则+3让=10， [a1+13d=70, 解得∫-8， d=6. 所以an=a1+(n-1)d=6n-14. 方法二：设公老为，则d=号=0-6，a.=4,+(a-4)d =10+6(n-4)=6n-14. 例2：B因为在等差数列{a.}中，a+a2+a3=32,a1+a2+a1 =118.所以3a,=32,3ae=118.所以a,=32,a2=8,所以 3,a12= 3 a4+a10=a2+a12=50. 14 跟踪训练2：D因为数列{an}是等差数列，所以a3+ag=2a6= 26,解得a6=13,所以a3+3a7=a3+a7+2a7=2a5+2a7= 2(a5+a,）=4a6=52. 例3：B数列4,7,10，…的首项a1=4,公差d=3,通项公式为 am=3n+1.数列8,12,16，…的首项b1=8,公差d2=4,通项公 式为bm=4m+4.它们的末项分别为a1o=301,b1=404,它 们相同的项为a,=6,3n+1=4m+4n=智+1，其中n,me N*,所以m=3k(keN*),即n=4k+1.a4k+1=3(4k+1)+1 =12k+4≤301，解得4≤24子，取=24 跟踪训练3：12n-125 【解析】由于数列{an}和bn}都是等差数列，所以cn}也是 等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11,故cm=11+12(n 1）=12n-1.又a1m=302,b1m=399,所以 r11≤12n-1≤302， 解得1≤n≤25.25，故{c.}的项数为25. 11≤12n-1≤399， 例4：【解析】设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所购买电视机的售价构成等差数列{α，}， am=780+(n-1)×(-20)=-20n+800, 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800-20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用 (800-20n)n-600n=20n(10-n). 当n<10时，(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少； 当n=10时，(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费 相同； 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n,到甲商场购买花费 较少； 当n>18时，440n<600n,到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较 少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同：当购买 电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 跟踪训练4：【解析】记2024年为第1年，由题设可知第1年获 利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元， …,则每年获利构成等差数列{an},且当a.<0时，该公司 经销此产品将出现亏损. 设第n年的利润为a.,因为a1=200,公差d=-20,所以an= a1+(n-1)d=220-20n 由题意知，数列{an}为递减数列，令an<0,即an=220-20n <0,解得n>11,即从第12年起，也就是从2035年开始，该公 司经销此产品将出现亏损. 随堂检测重反馈 1.C设等差数列{an}的公差为d,因为a5=a2+(5-2)d,所以 15=3+3d,解得d=4.又因为an=a2+(n-2)d,所以an= 3+(n-2)×4=4n-5. 2.B由a1+a1=2a6=10,得a6=5,所以2d=ag-a6=1,解得 d=2 3.B因为数列{an}为等差数列，且a3=3,所以a1+a5=2a3= 6,因为+d=。-号所以。6=号，所以04 +=aa5 =5. 4.8因为a,+ag+ag=3ag>0,而a,+a10=ag+ag<0,所以 ag>0,a,<0,所以等差数列{an}单调递减，所以，对于等差数 列{an},要使an>0,则n的最大值为8. 4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时等差数列的前n项和公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 n(a+a) na+n(n-1)d 2 2 预习自测 1.D由公式S.=nm,+nn)业×d,得S。=10x1+10,x9× 2 2 (-2)=-80. 由S5=-25+7×24×25×d30,解得d 60 60 3.100S5= _5(a+a2_5×(15+25)=10. 2 2 题型探究提技能 例1：【解析】(1)设等差数列an}的公差为d, 则a4=a1+3d=1+3d=7, 所以d=2. 故S,=9a1+9×84=9+9×8×2=81. 2 17(a1+a)_17(a+a1s）=17×40=340. (2)S1,= 2 /53 （3)油题意得80a言，之】。-5 2 2 解得n=15. 又as-8+15-1d=-2 3 所以d=石 所以=15d=石 跟踪训练1：23=·弓+402×(-）=-15，整理 2 得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)，即n=12. 例2：【解析】Sn=2n2-3n-1, ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2, 当n≥2时，.-1=2(n-1)2-3(n-1)-1, ② -14 ①-②得a.=S.-S.-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1) -1]=4n-5, 经检验当n=1时，am=4n-5不成立， f-2,n=1, 故an= 4n-5,n≥2. 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公 差的等差数列. 跟踪训练2：(1)-2(2)-1 【解析】(1)方法一：当n=1时，a1=S,=-1+1=0; 当n≥2时，an=S.-Sm-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n- 1)]=-2n+2, 经检验，n=1时，a1=0也适合上式 故an=-2n+2(neN*), .d=-2. 方法二：由二次项系数为-1，则公差为2×(-1)=-2 (2)Sn=n2+2n+1+入， ∴.1+入=0，.入=-1. 例3：【解析】.a1=13,d=-4,∴.an=17-4n. 当n≤4时，Tn=|a1I+la2l+…+|an|=a1+a2+…+an =m,+nn,4=13n+nn,山×(-4）=15n-22: 2 2 当n≥5时，Tn=la1l+|a2l+…+lan1 =(a1+a2+a3+a4）-(a5+a6+…+an） =S4-(Sn-S4)=2S4-Sm =2x×13+1)x4-(15n-2n) 2 =56+2n2-15m. 一 跟踪训练3：【解析】(1)当n≥2时，an=S。-S.- =(100m-n2)-[100(n-1)-(n-1)2] =101-2n. :a1=S1=100×1-12=99,满足上式， .'a,=101-2n(nEN"). 又a+1-an=-2为常数， .数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. (2)令am=101-2n≥0，得n≤50.5， neN*,.n≤50(neN*). ①当1≤n≤50时，an>0,此时bn=lanI=an, ∴.数列{bn}的前n项和Tn=100n-n ②当n≥51时，an<0,此时bn=lan1=-am, 由bs1+b2+…+bn=-(a51+a2+…+an) =-(Sm-S50）=Ss0-Sm, 得数列{bn}的前n项和Tn=Ss0+(S0-Sn)=2S0-S.=2× 2500-(100n-n2)=5000-100n+n2. 由①②得数列{bn}的前n项和为 T.= l00n-n2,1≤n≤50，neN 5000-100n+n2,n≥51，neN*. 5