5.2.2 导数的四则运算法则-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

所以sin2x=2,显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两 条切线互相垂直. 14.(1,0)2如图，当直线l与曲线y y y=x+1 =lnx相切且与直线y=x+1平行时， 1 y=Inx Q 切点到直线y=x+1的距离即为PQO 的最小值。 易（山=令=1，得=1，放此时点P的坐标为 (1,0),所以P0的最小值为-0+山=2. 2 练案[17] 1.B因为fx)=xnx,所以f'(x)=lnx+1(x>0),由f'() =2,得lnxo+1=2,即n=1,解得xo=e. 2.B由题意可得f'(x)=(2x+cosx)x-(2+snx) x- =t+xcos龙-sinx 3.Cy'=(sinx+e)'=cosx+e,当x=0时，切线的斜率k=2, 故曲线在点(0,1)处的切线方程是y-1=2(x-0),即2x-y +1=0. 4c因为)20是汉r) (x+1)2 an3年=-1，即30=-1，所以a=7. 5.BC由题意可知，f'(x)必为偶函数.对于A选项，f'(x)= -3sinx为奇函数；对于B选项，f'(x)=1+cosx为偶函数；对 于c选项()-1-为偶函数：对于D选项(=e+ 1为非奇非偶函数.故选BC. 6.BC因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cosx+2,所以f(0)= 2-f'(0).因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·simx,所以fP(0)= f(0).故f'(0)=f(0)=1.故选BC. 1由于f)=02故r)=子解得 a=1. 8.5在第6h附近时，原油温度大约以5℃/h的速度上升 f'(x)=2x-7,则f'(6)=2×6-7=5.在第6h附近时，原油 温度大约以5℃/h的速度上升. 91由题意可知()=名x·心了=2切线方程为) =2(x-1),即2x-y-2=0.令x=0得y=-2:令y=0得 x=1.曲线f(x)=2(x-1)e在点(1,0)处的切线与坐标 e 1 轴围成的面积S=2×2×1=1. 18 10【解析】(1)y=(hx+士) 2y=() _(cos x)'e"-cos x(e')' (e*)2 =sin x cosx (8y2+6r-yr3r+9+6 (4)y=（sinx)'t-simx·(xy (x“)3 =“cosx-nx"-sinx x2n xcos x nsin * 1.A)=子2+sm(受+x）=子+mf(x) 方-i血x易知∫()=分-血是奇函数，其图象关于 原点对称，做排除BD:由广（后）是-子<0，排除C故 选A. 12.25-1y=2x-1下则k=-1切线方程为y-1 -(x-1),即x+y-2=0,圆心(-2,0)到直线的距离d= 22,圆的半径r=1,∴所求最短距离为22-1. 13.y=3因为直线l:y=x+2是曲线y=f(x)在x=3处的切 线，由图象可知f(3)=1,又点(3,1)在直线1上，所以3k+2 =1,从而k=-子，所以f'(3)=6=-分，因为g() fx),所以g(3)=3f(3)=3,g'(x)=f(x)+f'(x),则 g(3)=3)+3f(3)=1+3×(-号）=0，即函数g() x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，所以函数 g(x)=(x)的图象在点(3，g(3)处的切线方程为y=3. 14.ABC f(x)=sin x+cos f'(x)cos x-sin x,f"(x)= -sinx-osx,当xe(0,受）时，恒有()<0，是凸函数， 放A正确)=hx-2x()=-2则r()= 当xe(0,受)时，恒有f(x)<0,是凸函数，放B正确代x) =-x3+2x-1,f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x,当xe (0,)时，恒有f(x)<0,是凸函数，故C正确f(x)=e, f'(x)=(x+1)e,f"(x)=(x+2)e,则f"(x)>0在x∈ (0,受)上恒成立，故不是凸函数，故D错误练案[17] 第五章5.25.2.2 导数的四则运算法则 A组·基础巩固 8.原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工 1.设f(x)=xnx,若f'(x)=2,则x=( 业原料和燃料.要从原油中提取各种原料需要 A.e2 将原油进行冷却和加热，如果xh时，原油温 B.e CIn2 度（单位：℃）为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤ 2 D.In 2 8).则第6h时，原油温度的瞬时变化率为 2.已知函数代x)=。+sim,则该函数的导函数 ℃/h,其意义为 9.曲线(x)=2(x-1)e在点(1,0)处的切线 f'(x)= e A.2x+cos B.+xcos-sin 与坐标轴围成的面积为 10.求下列函数的导数： C.2x+xcos x-sinx D.2x-cosx (1)y=lnx+; 3.曲线y=sinx+e在点(0,1)处的切线方程是 ( A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0 4.已知曲线f(x)=+在点(1,1)处的切 x+1 线的倾斜角为3平则实数a A.1 B.-1 C.7 D.-7 5.（多选)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关 于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( A.f(x)=3cos x B.f(x）=x+sinx (2)y=cos a. e+ 1 C.f(x)=x+ D.f(x)=e*+x 6.（多选)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)· cosx+2,其导函数为f'(x),则 A.f(0)=-1 B.f'(0)=1 C.f(0)=1 D.f'(0)=-1 7.设函数f()=x+若∫”(1)=子，则a= -125 (3)y=(+9)(x-3): 12.曲线y=2x之在点(1,1)处的切线为1，则1 上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最短 距离是 13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直 线y=x+2与函数f八x)的图象相切，如图所 示，求函数g(x)=f(x)的图象在点(3， g(3))处的切线方程. y y=fx) y=kx+2 O1234x (4)y=sin x x C组·拓展提升 14.(多选)(2025·湖州质检)给出定义：若函数 f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数 B组·综合运用 f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在 1.已知f()=+sin(受+x)f'()为f) 二阶导函数，记∫"(x)=[f'(x)]',若f"(x)< 0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数， 的导函数，则f'(x)的大致图象是 ( 以下四个函数在(0,7)上是凸函数的是 A.f(x)=sin x+cosx B.f(x)=In x-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=xe* 126