5.2.1 基本初等函数的导数-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[16] 第五章5.25.2.1 基本初等函数的导数 A组·基础巩固 9.求下列函数的导数： 1.f(x)=lnx,则f'(e)的值为 (1)y=e; A.1 B.-1 C.e n日 2.函数y=x3在点(2,8)处的切线方程为 ( A.y=12x-16 B.y=12x+16 C.y=-12x-16 D.y=-12x+16 3.一质点的运动方程为s=cost,则t=1时质点 的瞬时速度为 A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1 4.(多选)若曲线f(x)=1上某点处的切线的倾 斜角为子，则该点的坐标为 A.(1,1) B.(-1,-1) (2)y=-2sin(1-2cos24） C.(-1,1) D.(1,-1) 5.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点 的切线为直线l,则直线1的倾斜角α的范围 是 A[o,牙]Um B.[0,T) c[] o,lu[受，] 6.已知函数f(x)=x“(∈R),若f'(-1)=-4, 则α的值等于 7.水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半 VT 径为50m时，圆面积的膨张率是 8.设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y= 1(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标 为 123 10.(1)求曲线y=e在x=2处的切线方程； B组·综合运用 11.（多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具 有T性质的是 () A.y=sinx B.y=In x C.y=e D.y =2x 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x)= ①f(x1x2)=f(x1)f(x2)； ②当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0; ③f'(x)是奇函数. 13.已知两条曲线y1=sinx,y2=cosx,是否存在 这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处， 两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. (2)求曲线y=e过原点的切线方程. C组·拓展提升 14.已知P为曲线y=lnx上的一动点，Q为直线 y=x+1上的一动点，则当P的坐标为 时，PQ最小，此时最小值为 124由=24x+1-6, Ly=-2x2-1, 得22+2x0x+2-x后=0， 则△=4x-8(2-x)=0, 每得6=25，周0=子 7 所以点P的坐标为（子）文(29子） 14.AD由已知得f'(x)=lim fx+△x)-fx）= △ △x （x+A+2x+△）2xL=1-0,设切点坐标 △x 为（西+2元）则切线方程为y-云。=(12元)✉ -o.又切线过点(1.0)，可得-2名=(1-2是)）1- xo),整理得2x6+2axo-a=0(*).因为曲线y=f(x)存在 两条过点(1,0)的切线，所以方程(*)有两个不等实根，即 满足4=4a2-8(-a)>0,解得a>0或a<-2.故选AD. 练案[16] 1Df()=将=e代人，得f(e)=日 2.A因为y=3x2,当x=2时，y=12,故切线的斜率为12，切 线方程为y=12x-16. 3.Bs'=-sint,当t=1时，s'=-sin1,所以当t=1时质点的 瞬时速度为-sin1. 4AB切线的斜率长=m子=-1，了()=亭，设切点为 3 (,0),则f()=-1,所以-之=-1，所以。=1或= -1,所以切点坐标为(1,1)或(-1，-1) 5.A(simx)'=c0sx,k,=c0sx,:-1≤cosx≤1，.-1≤ ama≤1，又ae[0,m),倾斜角ae[0,年]U[要 6.4f'(x)=aa-1f'(-1)=a(-1)-1=-4,.a=4. 7.100因为水波的半径扩张速度为：=二 m,故水波面积为 S=πr2=π(t)2=t子，故水波面积的膨胀率为S=2t.当水波 的半径为0时，由t=0,解得1=50，即可得S”=2×50 √行 =100. 8.(1,1)由y'=e,知曲线y=e*在点(0,1)处的切线斜率k =e”=1设P(m,),又y=(x>0)的导数y=-,曲线 -18 y=（x>0)在点P处的切线斜率与=一依题意6 -1,所以m=1,从而n=1.则点P的坐标为(1,1). 9.(解折】()y=(派)y=()y=号=子子 3 (2:y=-2sin(1-2ms￥） =2sin(2aos2-1） =2sincw =sin x,.'.y'=sinx)'=cos x. 10.【解析】(1)曲线y=e在x=2处的切线的斜率为y1,=2= e1x=2=e2,切点坐标为(2，e2), 故所求切线方程为y-e2=e2(x-2), 即y=e2x-e2. (2)设切点坐标为(x,eo), 在该点处的切线的斜率为y1:=0=0, 故切线方程为y-e0=eo(x-x。), 当切线过原点时，有0-eo=e0·(0-x。), 解得o=1, 因此所求切线方程为y-e=e(x-1), 即y=ex. 11.AD设两切点坐标分别为(x,y),(x2,).A中，y= c0sx,对于cosx1Cos2=-1,当x1=0,x2=T时满足，故A 中的函数具有T性质；D中，y'=8x3,对于8x·8x=-1,当 ,=方。子时满足，放D中的函数具有T性质选项 B,C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为 -1. 12.x(答案不唯一)由题意，可考虑二次函数，如函数f(x)= x2,则f代x1x2)=xx号，f(x)=x,f(x2)=x,所以f(x1x2）= fx1)f2);因为f'(x)=2xf'(-x)=-2x=-f'(x),所以 f'(x)为奇函数，且当x>0时f'(x)>0.故函数f(x)=x2符 合题意 13.【解析】不存在，理由如下： 因为y1=sinx,y2=c0sx, 所以y1'=cosx,2'=-sinx 设两条曲线的一个公共点为点P(x0,), 则两条曲线在点P(,少)处的切线斜率分别为k1=c0sx, k2 =-sin xo. 若两条切线互相垂直， 则cosx0·（-sinx)=-1, 即sin0·cos %o=1, 3 所以sin2x=2,显然不成立， 所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两 条切线互相垂直. 14.(1,0)2如图，当直线l与曲线y y y=x+1 =lnx相切且与直线y=x+1平行时， 1 y=Inx Q 切点到直线y=x+1的距离即为PQO 的最小值。 易（山=令=1，得=1，放此时点P的坐标为 (1,0),所以P0的最小值为-0+山=2. 2 练案[17] 1.B因为fx)=xnx,所以f'(x)=lnx+1(x>0),由f'() =2,得lnxo+1=2,即n=1,解得xo=e. 2.B由题意可得f'(x)=(2x+cosx)x-(2+snx) x- =t+xcos龙-sinx 3.Cy'=(sinx+e)'=cosx+e,当x=0时，切线的斜率k=2, 故曲线在点(0,1)处的切线方程是y-1=2(x-0),即2x-y +1=0. 4c因为)20是汉r) (x+1)2 an3年=-1，即30=-1，所以a=7. 5.BC由题意可知，f'(x)必为偶函数.对于A选项，f'(x)= -3sinx为奇函数；对于B选项，f'(x)=1+cosx为偶函数；对 于c选项()-1-为偶函数：对于D选项(=e+ 1为非奇非偶函数.故选BC. 6.BC因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cosx+2,所以f(0)= 2-f'(0).因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·simx,所以fP(0)= f(0).故f'(0)=f(0)=1.故选BC. 1由于f)=02故r)=子解得 a=1. 8.5在第6h附近时，原油温度大约以5℃/h的速度上升 f'(x)=2x-7,则f'(6)=2×6-7=5.在第6h附近时，原油 温度大约以5℃/h的速度上升. 91由题意可知()=名x·心了=2切线方程为) =2(x-1),即2x-y-2=0.令x=0得y=-2:令y=0得 x=1.曲线f(x)=2(x-1)e在点(1,0)处的切线与坐标 e 1 轴围成的面积S=2×2×1=1. 18 10【解析】(1)y=(hx+士) 2y=() _(cos x)'e"-cos x(e')' (e*)2 =sin x cosx (8y2+6r-yr3r+9+6 (4)y=（sinx)'t-simx·(xy (x“)3 =“cosx-nx"-sinx x2n xcos x nsin * 1.A)=子2+sm(受+x）=子+mf(x) 方-i血x易知∫()=分-血是奇函数，其图象关于 原点对称，做排除BD:由广（后）是-子<0，排除C故 选A. 12.25-1y=2x-1下则k=-1切线方程为y-1 -(x-1),即x+y-2=0,圆心(-2,0)到直线的距离d= 22,圆的半径r=1,∴所求最短距离为22-1. 13.y=3因为直线l:y=x+2是曲线y=f(x)在x=3处的切 线，由图象可知f(3)=1,又点(3,1)在直线1上，所以3k+2 =1,从而k=-子，所以f'(3)=6=-分，因为g() fx),所以g(3)=3f(3)=3,g'(x)=f(x)+f'(x),则 g(3)=3)+3f(3)=1+3×(-号）=0，即函数g() x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，所以函数 g(x)=(x)的图象在点(3，g(3)处的切线方程为y=3. 14.ABC f(x)=sin x+cos f'(x)cos x-sin x,f"(x)= -sinx-osx,当xe(0,受）时，恒有()<0，是凸函数， 放A正确)=hx-2x()=-2则r()= 当xe(0,受)时，恒有f(x)<0,是凸函数，放B正确代x) =-x3+2x-1,f'(x)=-3x2+2,f"(x)=-6x,当xe (0,)时，恒有f(x)<0,是凸函数，故C正确f(x)=e, f'(x)=(x+1)e,f"(x)=(x+2)e,则f"(x)>0在x∈ (0,受)上恒成立，故不是凸函数，故D错误