4.1 第2课时 数列的递推公式及前 n 项和-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

006 第2课时数列的递推公式及前n项和 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项. 逻辑推理、数学运算 2.理解数列的前n项和S.与am的关系 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 兔子繁殖数问题 如果每对免子（一雄一雌）每月能生殖一 [提示] 从数列的第三项起， 对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔 每一项都是前两项之 子第一个月没有生殖能力，但从第二个 和.数列1,1,2， 月以后便能每月生一对小兔子.假定这 3,5,8,13,21 些免子都没有死亡现象，那么从第一对 34,55,89,144,… 刚出生的兔子开始，12个月以后会有多 在现代物理、准晶体 结构、化学领域、几 少对兔子呢？试想一下，第一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一 何领域、生物领域甚 对兔子：第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子.第四 至美学领域等都影响 个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月 甚广，后人为了纪念 到第十二个月兔子的对数分别是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.这十 提出兔子繁殖问题的 数学家斐波那契，将 二个月兔子的对数构成一个数列，它的前后项之间有什么样的关系呢？ 这个兔子数列称为斐 [提示] 波那契数列. e新知初探 [知识点反思1] 知识点一数列的递推公式 有的数列没有递推公 如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 式。当一个数列有递 推公式时，已知首项 那么这个式子叫做这个数列的递推公式： [知识点反思1] 或前几项结合递推公 式就可以求出数列的 知识点二 数列的前n项和 每一项 1.数列{an}的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a.}的前n项和，[知识点反思2] 记作 ,即Sn= 在已知数列的前n项 2.数列{an}的前n项和公式 和公式求通项时， 如果数列{a,}的前n项和 与它的 之间的对应关系可以 an=S。-Sn-1只适用 于n≥2的情形，注意 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式 验证n=1时的情况. 3.n与Sn的关系 S1,n=1, a, ●[知识点反思2] 007 ©预习自测 1数列}-48-6…的第a项么，与第+1项a的关系是 ( 1 A.an+1=2a B.am+1=-2a C.a+1=24 D.d= 2% 2.符合递推关系式an=2a.-1的数列是 A.1,2,4,8,10,… B.1,2,4,8,… C.√2,2，W2,2,… D.0,2,2,2√2， 3.已知数列{an}的首项a1=1,且an=2am-1+1(n≥2)，则a5= ( A.7 B.15 C.30 D.31 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2”-1,则as= 题型探究提技能 题型一利用递推公式求特定项 [方法总结1] 递推公式反映的是相 1-,则a225= 例1.已知数列a中，4=1,1=1+ 邻两项（或n项）之间 的关系。要已知首项 A.1 B.-2 C.-2 D.-1 (或前几项)，才可依 次求得其他的项.若 ●[方法总结1] 序号很大，则应考虑 》跟踪训练1 数列是否具有规律性 已知数列{a.中，4=1，且满足a.=3a-1+-)(nN,且n>1),写 (周期性). 2 出数列{an}的前5项. 008 题型二 由递推公式求数列的通项公式 例2(1)在数列a,中，4=1，a1=a,+-则a.= nn+l A.1 B.2n-1 C.n-1 [方法总结2] n n n 0.2 由递推公式求通项公 (2)已知数列a,满足a,=1,a1=, 式的常用方法 n+1 an(n∈N*),则an=( (1)归纳法：根据数 A.n+1 B.n D 列的某项和递推公 n+1 2 式，求出数列的前几 P[方法总结2] 项，归纳出通项公 式.（只适用于选择 》跟踪训练2 题、填空题) (1)已知数列{an}满足：a1=1,a+1=an+2,n∈N·,则an= (2)累加法或累 (2)在数列{an}中，a1=1,an+1=2a,求数列{a.}的通项公式 乘法： 0an+1-an=常数， 或an+l-aa=∫(n) (f(n)是可以求和 的)，使用累加法. ②an+i=pun（p为非零 常数)，或an+1三 f(n)an(f(n)是可以 求积的)，使用累 乘法 [方法总结3] 由Sn求通项公式an 题型三利用前n项和公式求通项公式 的步骤 例3已知数列a,的前n项和S=心+n+1,求通项a (1)当n=1时，a =S1 [方法总结3] (2)当n>2时，an= Sn-Sn-… （3)）验证a1与an的 关系 ①若a1适合am(n>≥ 2),则an=Sn-Sn- @若a1不适合an(n ≥2），则an= S1,n=1, S-S-1:n>2. ●009 〉跟踪训练3 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 随堂检测重反馈 1.已知数列{an}中，a2=l,a,+a+1=2n,n∈N,则a1+a的值为 A.4 B.5 C.6 D.8 2.已知数列{an}满足a1=1,√/a.+1-√an=1,则a1o= A.10 B.20 C.100 D.200 3.（多选)由1,3,5，…，2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时，bn=6,则 ( A.b3的值是7 B.b4的值是9 C.b,的值是15 D.b。的值是33 4.已知数列{an}的前n项和为Sn=3”-1,求数列{an}的通项公式. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2].n+2n-120=0, ∴.n=10或n=-12(舍)， 即0是数列a.的第10项 随堂检测重反馈 1.B因为{0,1,2,3,4,5}是集合，不是数列，故A错误：所有正 整数构成的数列是无穷数列，故B正确；由数列的定义可知， 数列中可以重复出现同一个数，如数列1,1,1,1，故C错误；数 列1,2,3,4，…，n,共有n项，是有穷数列，故D错误. 2.D方法一：将n=1,2,3,4代人各选项验证易得答案 方法二：将数列片，-子，号-子…变为行，-子，子 ,…,从而可知分子的规律为n,分母的规律为n+2,再结 4 合正负的调节，可知其通项公式为a,=(-1)-1” n+2 3D在数列a中，a,开异=1+中，由反比例函数的性 n+1 质得an}是递减数列. 4.B令n-2-5 2=方，整理，得5m-72m+14=0,解得n=12或 n=号（含去）.放选B 第2课时数列的递推公式及前n项和 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 相邻 知识点二 1.Sma1+a2+…+an 2.Sn序号n 3.Sn-Sn-1,n≥2 预习自测 1D后一项与前一项的比值为-之 2.BB项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关 系式an=2am-1… 3.Dam=2an-1+1(n≥2)，a1=1,.a5=2a4+1=4a3+3= 8a2+7=16a1+15=31.故选D. 4.128因为数列{an}的前n项和为Sm,Sm=2”-1,所以ag= S8-S7=28-1-(27-1)=27=128. 题型探究提技能 1:C当a=1时，%十。分当a2时，4 。-2,当n=3时，=7十0,1，当n=4时4 1+a2 7十。=-分，所以数列a,的周期为3，因为2025=3× 1+a4 674+3,所以a22s=a3=-2. 跟踪训练1：【解析】由题意，得a=3a,+-少， 2 而a=1,所以&=3x1+少=子 2 同理a3a+少063+少，3 +(-1) 2之=91 例2：(1)B(2)D 【解析】(1)方法一（归纳法）：数列的前5项分别为a1=1, 511 。-711 号所以u=2-=2n(n≥2)，又4=1清足上式，曲此 n n 可得数列的一个通项公式为口，=2n-山 n 方法二（累加法）：a+1-an= nn+1a=1,a3-a1=1- 11 1 11 11 1 2a-a4=2-3,a-a3-4,…a.-a,-12n- a≥2)，以上各我相加得a-1+1-子+分-方+ +六所以02(u≥2.因为4=1电道合上 n 式，所以a.=2n-l(neN). (2)方法-（累乘法）：由题意，因为数列a,清足a1十 a,n4i,所以a=%.%..&. (neN*),所以L=n an-1 an-2 %a,=n=lx-2x… a n n-I x号x宁1 n 方法二（杓造特陈数列法）：由a1=n中a,(neN~),得 (n+1)an+l=na,又1·a1=1,∴数列{nan}是常数列，.na. =1…a1=1a,=n 1 跟踪训练2：(1)2n-1,neN(2)见解析 【解析】(1)由a+1=an+2得a+1-a.=2,.a2-a=2,a -a2=2,a4-a3=2,…,am-an-1=2,将上述n-1个式子累 加得an=2n-1,neN". (2)由a1=2a,得0=2(n≥2)， an-1 所以2=2会=2,2-2品=2a≥2以#以上各等式 a a3 等号两边分别相乘， 得.4.4..=9=2(n≥2). a az a3 an-1 al 因为a1=1， 所以数列{an}的通项公式为an=2"-l(n≥2). 当n=1时，a1=1,符合上式，所以an=2"-(neN*). 例3：【解析】当n≥2时，an=Sn-Sa-1 =(+2a+1）-[(m-12+m-1)+=2n-2 当n=1时，a=S=P+分+1=弓不特合上式 2n=1, .a= 1 2m-2n≥2 跟踪训练3：【解析】由a1+2a2+3a3+…+nan=n2, ① 当n≥2时，可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)·am-1=(n- 1)2, ② 所以由①-②得nam=n2-(n-1)2=2n-1, 即a,=2-(m≥2 当n=1时，a1=1也满足上式， 所以a=2-neN) 随堂检测重反馈 1.A由a2=1,am+a+1=2n,neN,可得a1+a2=2,a2+a3= 4,解得a1=1,a3=3,a1+a3=4. 2.C数列{an}满足a=1,√ani-√a=1,可得√a=1, √a,-√a=l,√a-√a2=1,…,√ao-ag=1,叠加可 得/a10=10,所以a1o=100. 3.BD因为bn=am-1,所以b2=a1=a2=3,b=a2=a3=5,b4 =a3=a5=9,b5=a4=ag=17,b6=ah5=a17=33. 4.【解析】当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，an=Sn-S。-1=3-1-(3"--1)=2×3"-1, 显然a1=2适合上式，所以an=2×3"-1(neN*). 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时等差数列的概念与通项公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 2差同一个常数公差d 知识点二 等差中项a+b 知识点三 a1+(n-1)d 预习自测 1.C:此等差数列的公差d=2,a1=4,∴am=4+(n-1)×2 =2n+2,令2024=2n+2,解得n=1011. 2.B设2与8的等差中项是x,则2x=2+8,解得x=5. 3.D由等差数列的定义可知a2-a1=a3-a2,所以a2=4,故公 差d=a2-a1=2. 4.Bn=1时，a1=-1,n=2时，a2=3-4×2=-5,所以公差d =a2-a1=-4 14 题型探究提技能 例1：ABCA项，由an=-2n+3(n∈N*),则a1=1,a2=-1, a3=-3,…,由等差数列的定义，故是等差数列；B项d=3,故 是等差数列；C项d=了，故是等差数列：D项每一项与它的前 一项的差不是同一个常数，故不是等差数列 跟踪训练1：【解析】(1)是，a1=1,d=2. (2)是，a1=9,d=-3. (3)不是. (4)是，a1=7,d=0. (5)不是 例2：(1)11(2)等边三角形 【解析】(1)因为a+3是2a-1和2a+1的等差中项，所以 2(a+3)=(2a-1)+(2a+1),解得a=3,则3a-5=4,4a+ 6=18,所以3a-5和4a+6的等差中项为4+18=11 2 (2)因为a,b,c成等差数列，√a,√b,E也成等差数列，所以 2b=a+c, 12/B=Ja+vc, 则4b=(a+)2=a+c+2ac,即a+c= 2√ac,所以(a-E)2=0,故a=c=b.所以△ABC为等边三 角形. 跟踪训练2：【解析】-1，a,b,c,7成等差数列， b是-1与7的等差中项，b=-1)+7=3: 2 又a是-1与3的等差中项，a=-)+3-l. 2 又c是3与7的等差中项，.c=37=5. 2 .该数列为-1,1,3,5,7 例3：【解析】设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d, 已知得a1+15-1)1=33,解得a1=23 la1+(61-1)d=217,ld=4. 所以an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令a.=153,即4n-27=153,解得n=45eN*,所以153是所 给数列的第45项. 跟踪训练3：【解析】(1)a5=-1,ag=2, 「a1+4d=-1 解得厂-5， la1+7d=2, d=1. (2)设数列{an}的公差为d, [a1+a1+5d=12. 由已知得， 解得∫a1, la1+3d=7. d=2. ∴.an=1+(n-1)×2=2n-1, .∴.a=2×9-1=17. 随堂检测重反馈 1.C对于A,6号≠)石，A不是等发数列：对于B,l归6 -g5≠s7-66,B不是等差数列：对于C,日-1=子-尽， C是等差数列：对于D,3-2≠5-3，D不是等差数列.故选C. 3